A4931. L'entier et son double mime
Déterminer le plus petit entier 𝑴 tel qu’il existe une première suite de 𝒏 entiers consécutifs positifs dont la somme des carrés est égale à 𝑴 et une deuxième suite de 𝟐𝒏 entiers consécutifs positifs dont la somme des carrés est égale à 𝟐𝑴.
Solution
Proposée par Fabien GIGANTE
Notations
Notons 𝑆(𝑥, 𝑛) la somme des carrés des entiers de 𝑥 + 1 à 𝑥 + 𝑛. On a : 𝑆(0, 𝑛) =1
6𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1) 𝑆(𝑥, 𝑛) = 𝑆(0, 𝑥 + 𝑛) − 𝑆(0, 𝑥) = 𝑛𝑥2+ 𝑛(𝑛 + 1)𝑥 +1
6𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1) On entendra « entier positif » au sens strict, excluant donc les suites commençant par zéro.
Notons ainsi la première suite 𝑥 + 1, … , 𝑥 + 𝑛 et la deuxième suite 𝑦 + 1, … , 𝑦 + 2𝑛.
Il s’agit alors de trouver la solution minimale en 𝑀 du système diophantien suivant pour 𝑥, 𝑦 ≥ 0, 𝑛 > 0 : { 𝑀 = 𝑆(𝑥, 𝑛)
2𝑀 = 𝑆(𝑦, 2𝑛) [1]
Résultats préliminaires
Il découle de [1] que :
𝑆(𝑦, 2𝑛) − 2𝑆(𝑥, 𝑛) = 0
2𝑦2+ 4𝑛𝑦 + 2𝑦 − 2𝑥2− 2𝑛𝑥 − 2𝑥 + 2𝑛2+ 𝑛 = 0 On peut réécrire cette égalité de deux façons différentes :
(2𝑥 + 2𝑦 + 3𝑛 + 2)(2𝑥 − 2𝑦 − 𝑛) = 𝑛2 [2]
(4𝑦 − 2𝑥 + 2𝑛 + 1)𝑛 = 2(𝑥 − 𝑦)(𝑥 + 𝑦 + 1) [3]
Dans l’équation [3], on observe que :
• (4𝑦 − 2𝑥 + 2𝑛 + 1) est impair,
• (𝑥 − 𝑦) et (𝑥 + 𝑦 + 1) sont de parités différentes.
De sorte que nécessairement :
4 divise 𝑛 [4]
Recherche de solutions
Résolvons alors l’équation [2], pour les valeurs 𝑛 = 4, 8, 12.
Cas 𝑛 = 4 :
L’équation [2] s’écrit : (2𝑥 + 2𝑦 + 14)(2𝑥 − 2𝑦 − 4) = 16 (2𝑥 + 2𝑦 + 14) (2𝑥 − 2𝑦 − 4)
16 1 Impossible par parité (second facteur)
≤ 8 ≥ 2 Contredit 𝑥, 𝑦 ≥ 0 (premier facteur)
Cas 𝑛 = 8 :
L’équation [2] s’écrit : (2𝑥 + 2𝑦 + 26)(2𝑥 − 2𝑦 − 8) = 64 (2𝑥 + 2𝑦 + 26) (2𝑥 − 2𝑦 − 8)
64 1 Impossible par parité (second facteur)
32 2 𝑥 = 4, 𝑦 = −1. Impossible.
≤ 16 ≥ 4 Contredit 𝑥, 𝑦 ≥ 0 (premier facteur)
Note : Dans une acception plus bourbakienne de l’énoncé, autorisant les suites à commencer à zéro, la solution 𝑥 = 4, 𝑦 = −1, 𝑛 = 8 conviendrait et fournirait une somme 𝑀 = 𝑆(4, 8) = 620
Cas 𝑛 = 12 :
L’équation [2] s’écrit : (2𝑥 + 2𝑦 + 38)(2𝑥 − 2𝑦 − 12) = 144 (2𝑥 + 2𝑦 + 38) (2𝑥 − 2𝑦 − 12)
144 1 Impossible par parité (second facteur)
72 2 𝑥 = 12, 𝑦 = 5.
48 3 Impossible par parité (second facteur)
≤ 36 ≥ 4 Contredit 𝑥, 𝑦 ≥ 0 (premier facteur) La solution 𝑥 = 12, 𝑦 = 5, 𝑛 = 12 convient et fournit une somme 𝑀 = 𝑆(12, 12) = 4250
Solution minimale
Supposons l’existence d’une autre solution telle que 𝑀 ≤ 4250 8500 ≥ 2𝑀 = 𝑆(𝑦, 2𝑛) ≥ 𝑆(0, 2𝑛) =1
3𝑛(2𝑛 + 1)(4𝑛 + 1) 𝑆(0,30) = 9455 > 8500 ⇒ 𝑛 ≤ 14
Or 4 divise 𝑛 d’après [4], et les cas 𝑛 = 4, 8, 12 ont déjà été étudiés.
Conclusion
Le plus petit entier vérifiant les propriétés demandées est : 𝑀 = 4250 Notes :
Dans une acception plus bourbakienne de l’énoncé, autorisant les suites à commencer à zéro, le plus petit entier vérifiant les propriétés demandées serait 𝑀 = 620
En autorisant les suites à contenir des entiers relatifs (on complète alors les tableaux ci-dessus avec les cas supplémentaires), on atteint le minimum 𝑀 = 30, avec par exemple 𝑥 = 0, 𝑦 = −3, 𝑛 = 4.
