A20440. De troncatures en entier
Un entier ket un réel xvérifient 1/k= 1/b2xc+ 1/b5xc
(on notebyc la partie entière dey).
Quelles sont les valeurs possibles dek? Solution
Soit d le PGCD des entiers b2xc et b5xc. Alors b2xc = ad, b5xc = bd, k= abd/(a+b) et a+b divise d=c(a+b) car a et b sont premiers entre eux et aveca+b.
Les inégalités de partie entière donnent deux encadrements de x, d’où on tire −2
c(a+b) <2b−5a < 5 c(a+b).
a≥1,b≥2a,a+b≥3, 2b−5a= 0 ou 1, d’où deux familles de solutions : (a, b) = (2,5) avec d= 7c,k= 10c, 7c≤x <7c+ 1/5 ;
et (a, b) = (1,3) avec d= 4, k= 3, 12/5≤x <5/2.
Les valeurs possibles dek sont 3 et les multiples de 10.
