COURS CHAPITRE 07 : MULTIPLIER UN ENTIER PAR UN DECIMAL, DIVISER UN ENTIER PAR UN ENTIER, QUOTIENTS.

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IREM de Strasbourg 224

COURS CHAPITRE 07 : MULTIPLIER UN ENTIER PAR UN DECIMAL, DIVISER UN ENTIER PAR UN ENTIER, QUOTIENTS.

MULTIPLIER UN NOMBRE ENTIER PAR 0,1 ou 0,01 ou 0,001 Propriété :

• Multiplier un nombre par 0,1 revient à le diviser par 10.

• Multiplier un nombre par 0,01 revient à le diviser par 100.

• Multiplier un nombre par 0,001 revient à le diviser par 1 000.

Remarques :

On peut comprendre et retenir ces propriétés si on sait que :

0,1 est égal à un dixième ; 0,01 est égal à un centième ; 0,001 est égal à un millième.

Multiplier par 0,1 : 0 1 1

, = 10

Multiplier par 0,01 : 0 01 1

, = 100

Multiplier par 0,001 :

0 001 1

1 000

, =

× 1 10

... ...

× 1 ... ÷ 10

× 0,1

÷ 10

× 1 1 000

... ...

× 1 ... ÷ 1 000 × 0,001

÷ 1 000

× 1 100

... ...

× 1 ... ÷ 100 × 0,01

÷ 100

MULTIPLIER UN NOMBRE ENTIER PAR UN NOMBRE DECIMAL

Exemples : On peut adopter les points de vue ci-dessous pour multiplier 34 par 0,12 :

Ecriture décimale :

En ligne : 34 0 12 40 8 × , = , Opération posée :

× 0, 1 2 3 4

6 8 3 4

1

4, 0 8

Opération posée :

3 4 3 4

× 0, 1 2 × 1 2

6 8 6 8

3 4 3 4

1 1

4, 0 8 4 0 8

Utilisation des opérateurs : On sait que : 0 12 12

, = 100

Fractions décimales :

( )

34 0 12 34 12 100 34 12 100 408 100 4 08

×

= ×

= × ÷

= ÷

= ,

,

× 12 408 ÷ 100 × 0,12

34 4,08

Deux chiffres après la virgule

× 100

÷ 100

× 100

×12 100

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IREM de Strasbourg 225

MULTIPLIER un nombre par 0,5 ou par 0,25 Propriété :

• Multiplier un nombre par 0,5 revient à le diviser par 2.

• Multiplier un nombre par 0,25 revient à le diviser par 4.

Exemples :

8 2 16 5 , 0

16 × = ÷ = 16 × 0 , 25 = 16 ÷ 4 = 4

NOTATION DU QUOTIENT

Notation : Le quotient de la division d’un nombre a par un nombre b différent de zéro se note

b

a et se lit

« a divisé par b » ou « a sur b ».

QUOTIENT DE DEUX ENTIERS

Le quotient de deux nombres peut être décimal. Le quotient de deux nombres peut ne pas être décimal.

Exemple :

8 22 est un nombre décimal.

2 2 8

- 1 6 2, 7 5

6 0 - 5 6

4 0 - 4 0 0

On vérifie que le quotient est bien 2,75 : 75

, 8 2

22 = car 8 × 2 , 75 = 22

Exemple :

6 17 n’est pas un nombre décimal.

1 7 6

- 1 2 2, 8 3 3

5 0 - 4 8

2 0 - 1 8

2 0 - 1 8 2

On vérifie que 2,833 n’est pas le quotient exact : 833

, 6 2

17 ≠ car 6 × 2 , 833 = 16 , 998

Mais on obtient alors l’encadrement suivant au millième près :

834 , 6 2 833 17 ,

2 < <

LA MULTIPLICATION PAR UN NOMBRE DECIMAL PEUT AUGMENTER OU DIMINUER UN NOMBRE.

Multiplier par un nombre supérieur à 1 agrandit.

AGRANDISSEMENT car 1,2 est supérieur à 1.

Multiplier par un nombre inférieur à 1 diminue :

DIMINUTION car 0,8 est inférieur à 1.

42 50,4

× 1,2

42 33,6

× 0,8

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IREM de Strasbourg 226

DIFFERENTES ECRITURES D’UN QUOTIENT

Propriété : a, b et k sont deux nombres, et b et k sont différents de zéro.

On ne change pas la valeur d’un quotient en multipliant ou en divisant le dividende et le diviseur b par le même nombre k.

b a b k

a

k =

×

Exemple 1 :

Pour effectuer le quotient de 7 800 par 260, on peut aussi effectuer le quotient de 780 par 26.

26 780 260

800 7 =

26 780 10 26

10 780 26 800

7 =

×

= ×

÷ 10

Exemple 2 : Ecrire la fraction

5 7 avec le nombre 10 comme dénominateur pour calculer sa valeur décimale :

10 14 5

7 =

10 14 2 5

2 7 5

7 =

×

= × la valeur décimale de

5 7 est donc 1,4.

× 2

POINTS DE REPERE / METHODES /

EXERCICE MODELE .

E NONCE :

Un morceau de viande est vendu 85 F le kg. On veut calculer le prix d’un rôti de 600 g.

S OLUTION (on présente quatre démarches différentes qui aboutissent bien sûr au même résultat) : Il faut d’abord faire les conversions nécessaires :

1 kg = 1 000g 600 g = 0,6 kg

Schéma au brouillon :

: 5

3 1000 g 85 F

200 g

600 g

17 F

51 F coûtent

coûtent

Calcul à effectuer :

( 85 ÷ 5 ) × 3 = 17 × 3 = 51 Le rôti coûte donc 51 F

Schéma au brouillon :

: 10

6 1000 g 85 F

100 g

600 g

8,5 F

51 F coûtent

coûtent

Calcul à effectuer :

( 85 ÷ 10 ) × 6 = 8,5 × 6 = 51

Le rôti coûte 51 F

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IREM de Strasbourg 227

Schéma au brouillon :

0,6

1000 g coûtent 85 F

600 g coûtent 51 F

Rédaction :

85 × 0,6 = 51 Le rôti coûte 51 F

Schéma au brouillon :

0,6

1 kg coûtent 85 F

0,6 kg coûtent 51 F

Rédaction :

85 × 0,6 = 51

Le rôti coûte 51 F

Multiplications ou divisions successives.

En l’absence de parenthèses, on peut appliquer les opérateurs de multiplications et les opérateurs de divisions dans n’importe quel ordre. Cette propriété permet souvent de simplifier les calculs :

60 5

×12

15 60

× 3 × 4

Multiplier un nombre par 3, puis multiplier le résultat par 4, revient à multiplier ce nombre par 12 car 3 × 4=12.

5 75

÷15

25 5

÷ 3 ÷ 5

Diviser un nombre par trois, puis diviser le résultat par 5, revient à diviser ce nombre par 15 car 3 × 5 = 15.

Utiliser un ordre de grandeur pour déterminer un quotient.

Il est facile de vérifier que 7 ÷ 5 = 1,4.

Grâce à ce résultat, on peut calculer le quotient de la division 7000 ÷ 50.

On sait que les chiffres qui composent les nombres sont 1 et 4, mais on peut hésiter entre les nombres :

14 000 1 400 140.

Pour choisir parmi ces nombres, on procède par essai-erreur en faisant la multiplication associée.

On estime l’ordre de grandeur du résultat (sans poser de multiplication) : 50 × 14 000 = 5 × 14 × 10 × 1 000 = 70 × 10 000 = 700 000. non.

50 × 1 400 = 5 × 14 × 10 × 100 = 70 × 1 000 = 70 000 non.

50 × 140 = 5 × 14 × 10 × 10 = 70 × 100 = 7 000 juste.

Les opérations ci-dessus montrent que 7 000 ÷ 50 = 140.