M1Math ´e matiques

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Enonc´ ´ e des travaux dirig´ es

M1 Math´ematiques

Programmation - Python

etienne.birmele@parisdescartes.fr

Automne 2019 Universit´e Paris Descartes

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Travaux dirig´ es 1

TP1 - Introduction

Python est un logiciel libre de programmation. On peut ex´ecuter une commande soit en la tapant directement en ligne de commande, soit en ex´ecutant un script qui est une suite de commandes qui se trouvent dans un fichier dont l’extension est ”.py”.

Des environnements telsJupyterpermettent ´egalement de coder tout en commentant son code et en l’organisant tel un projet. C’est principalement dans cet environnement que se d´eroulera ce cours.

Avant d’aborder les notions essentielles, quelques points importants à garder en mémoire, quelque soit le langage utilisé :

1. La commande la plus importante est sans doute l’aide des fonctions, ici?. A utiliser abondamment avant d’appeler `a l’aide.

2. Ne pas hésiter également à utiliser internet pour trouver des pages où la gestion du problème ou du message d’erreur auquel vous êtes confronté est détaillée.

3. Toujours donner des noms explicites à vos variables et fonctions, commenter les passages qui ne sont pas intuitifs, indenter correctement (l’avantage de Python est de ne pas vous laisser le choix de ce point de vue). Il faut écrire votre code en vous disant que vous devez être capable de le comprendre à la relecture dans trois ans (cela vous arrivera en pratique !).

1.1 Un cours introductif

Il existe de nombreux cours et pages web comportant des introductions `a Python.

Parmi eux, le cours disponible surhttps://python.sdv.univ-paris-diderot.fr/

cours-python.pdf est un document tr`es clair et avec de nombreux exercices.

Les chapitres 1 à 12 sont faciles, rapides à lire et donnent l’essentiel pour pouvoir commencer à coder.

Quelques remarques pour ceux d’entre vous qui n’ont jamais codé sous Python : 1. L’appel à l’aide de la fonctionfonct se fait à l’aide de la commande ?fonct 2. Les indices dans les listes et tableaux démarrent à 0.

3. Les identations se font `a l’aide de quatre espaces.

Une ligne précédent une indentation (commen¸cant par if, elif, else, for, while) se termine par un :. C’est la fin de l’indentation qui marque la fin du code qui est concernée par le test ou la boucle.

Pour parcourir tous les nombres de 0 `a n−1, le plus simple est d’utiliser range(n). Ainsi

for i in range(n):

print(n)

affichera tous les entiers de 0`an. A noter querangepeut ne pas partir de0et ne pas augmenter de 1en 1 (cf?range).

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1.2. Exercices

4. De nombreuses fonctions et constantes sont disponibles dans des modules qu’il faut charger. Par exemple, pour utiliser la fonction exp du package numpy, il faudra en pr´eambule importer numpy :

import numpy

puis appeler la fonction `a l’aide denumpy.exp().

Quand un module est appel´e tr`es souvent ou a un nom trop long, on peut lui affecter un nom plus court :

import numpy as np

puis appeler la fonction via np.exp()

5. Le mot-clé pour définir une fonction estdef, la ou les variables à retourner sont inclues dans une commande return.

Par exemple, la fonction suivante renvoie les coordonnées cartésiennes d’un point défini par ses coordonnées polaire :

def coordonnees_cartesienne(r,theta):

x=r*math.cos(theta) y=r*math.sin(theta) return(x,y)

L’appel [x,y]=coordonnees_cartesiennes (2,np.pi/4) entraine alors la cr´eation de deux variablesxetycontenant respectivement les parties r´eelles et imaginaires de 2eⁱ^π⁴.

6. Attention ! La copie de variables peut révéler des surprises car elle est gérée différemment sous Python que sous la plupart des autres langages. Recopiez par exemple le code suivant :

x=[1,2,3]

y=x y[2]=10 print(x)

L’op´erationy=xne cr´ee en fait pas une copie dexmais seulement une vue surx.

Afin de cr´eer une copie, le plus simple est d’utiliserdeepcopydu modulecopy.

7. Un nombre complexe se d´efini par un j sur sa partie imaginaire. 4+3is’´ecrira ainsi 4+3j.

1.2 Exercices

Exercices - Manipulation de tableaux

1. On consid`ere les vecteurs de R³ suivants

~u=



 1 2 3



, ~v=





−5 2 1



 et~w=





−1

−3 7



.

(a) Cr´eer des tableaux correspondants `a ces vecteurs.

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Chapitre 1. TP1 - Introduction

(b) Calculer~u+~v,~u+3~v−5w,~ ¹₅~w.

(c) En utilisant les commandes appropri´ees, calculer k~uk₂, k~vk₁, k~wk_∞ et le cosinus de l’angle form´e par les vecteurs~uet~v.

2. On consid`ere les matrices suivantes : A=

2 3 6 5

et B=





2 3 4 7 6 5 2 8 7



.

(a) Cr´eer des tableaux correspondants `a Aet B.

(b) En utilisant les commandes appropriées, calculer leurs déterminants, in- verses et valeurs propres et vecteurs propres associé.

3. Pour n ∈ _N, n ≥ 2 , créer le tableau correspondant à la matrice tridiagonale d’ordre n définie par

A_n=







2 −1

−1 2 −1 . .. ... ...

−1 2 −1

−1 2





 .

Exercices - Ecriture de fonctions

1. Écrire une fonction nommée polaire, prenant comme arguments d’entrée les coordonées cartésiennes (x,y)d’un point deR² et renvoyant en sortie les coor- données polaires(r,θ)de ce point¹.

2. Ecrire une fonction nommée profil qui associe à toute matrice A à m lignes et n colonnes son profil, c’est-à-dire la suite d’entiers {φ(i)}_i₌_1,...,m avec φune application de {1, . . . ,m} dansNtelle que

φ(i) =

(inf

j∈ {1, . . . ,n} |a_ij 6=0 si la i^`^eme ligne de Aest non nulle,

n+i sinon.

3. Suite de Fibonacci

(a) ´Ecrire une boucle calculant les valeurs des vingt premiers termes de la suite de Fibonacci d´efinie par

u⁽⁰⁾=0, u⁽¹⁾=1 etu⁽^k⁺²⁾ =u⁽^k⁺¹⁾+u⁽^k⁾, ∀k ∈_N, et conservant ces valeurs dans un vecteur.

1. On rappelle que, en vertu du th´eor`eme de Pythagore, on ar=^px²+y²et que, pour obtenir l’angleθ dans l’intervalle[0, 2π[, on utilise les formules suivantes :

θ=











arctan ^y_x

six>₀ety≥0, arctan ^y_x

+2π six>0ety<0, arctan ^y_x

+π six<0,

π

2 six=0ety>0,

3π

2 six=0ety<0.

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1.2. Exercices

(b) Écrire une boucle calculant les termes successifs de la suite de Fibonacci dont la valeur est inférieure ou égale à 50000 et afficher le dernier de ces termes.

(c) Écrire enfin une fonction fibonacci(n) calculant de manière itérative le nî`ême terme de la suite de Fibonacci, sans toutefois conserver les valeurs de tous les termes de la suite.

4. Suites adajacentes

On d´efinit deux suites (u⁽^k⁾)_k_∈_N et(v⁽^k⁾)_k_∈_N par u⁽⁰⁾=1, v⁽⁰⁾=2, u⁽^k⁺¹⁾ = ^u

(k)+v⁽^k⁾

2 , v⁽^k⁺¹⁾ =^pu⁽^k⁺¹⁾v⁽^k⁾, ∀n∈_N.

On admet que ces suites sont adjacentes, de limite

√ 27 π .

(a) ´Ecrire un programme lisant² un entier n et affichant l’approximation du nombre π obtenue `a partir de la valeur dev⁽ⁿ⁾.

(b) Écrire un programme lisant un réel ε strictement positif et affichant l’approximation du nombre π obtenue à partir de la valeur de v⁽ⁿ⁾, premier terme de la suite (v⁽^k⁾)_k_∈_N à satisfaire la condition

u⁽ⁿ⁾−v⁽ⁿ⁾ u⁽ⁿ⁾+v⁽ⁿ⁾

≤ε,

avec ε un r´eel strictement positif fix´e

5. Calcul d’une valeur approchée deπ par la méthode de Monte-Carlo³ Pour obtenir une valeur approchée du nombre π par la méthode de Monte- Carlo, on tire au hasard⁴, dans un carré de côté de longueur égale à 2, des points de coordonnées (x,y)et l’on vérifie s’ils appartiennent ou non au disque de rayon 1 et de centre le centre du carré. Ces points pouvant être tirés avec la même probabilité dans l’ensemble du carré, le rapport entre le nombre de points tirés dans le disque et le nombre de points tirés au total tend, lorsque le nombre de tirages tend vers l’infini, vers le rapport des surfaces du cercle et du carré, soit ^π₄, en vertu de la loi des grands nombres.

Au moyen de la commanderandom.uniform, écrire une fonction prenant comme argument le nombre de tirages à réaliser et renvoyant la valeur approchée de π obtenue par la méthode de Monte-Carlo décrite ci-dessus (on peut également se restreindre au quart de carré contenu dans l’orthant positif deR² et utiliser random.random).

6. Programmation r´ecursive

2. Utiliser par exemple la fonctioninputpour demander `a l’utilisateur de fournir une r´eponse.

3. On appelle méthode de Monte-Carlo toute méthode visant à calculer une approximation nu- mérique par utilisation d’un procédé aléatoire. Le nom de ce type de méthode, qui fait allusion aux jeux de hasard pratiqués dans le célèbre casino d’un des quartiers de la cité- État de la principauté de Monaco, a été inventé en 1947 par Nicholas Metropolis et publié pour la première fois en 1949 dans un article co-écrit avec Stanislas Ulam.

4. C’est-`a-dire selon une loi de probabilit´e uniforme.

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Chapitre 1. TP1 - Introduction

En informatique, une fonction dite récursive lorsqu’elle s’appelle elle-même. En pratique, une telle fonction aura toujours au moins une instruction condition- nelle, afin que, dans certains cas au moins, il n’y ait pas d’appel récursif (sans quoi la fonction s’appellerait indéfiniment jusqu’à la saturation de la pile, pro- voquant une interruption du programme). Le concept de fonction récursive est généralement opposé à celui de fonction itérative, qui s’exécute sans s’invoquer ou s’appeler explicitement.

Bien que cette forme de programmation aboutisse à des programmes concis et proches des formulations mathématiques qui en sont à l’origine, il peut parfois ˆ

etre mal indiqué ou même catastrophique d’employer la récursivité (toute fonction récursive pouvant être remplacée par une fonction itérative), comme on le vérifiera à la troisième question du présent exercice.

(a) ´Ecrire une fonction r´ecursive rfactorielle(n)calculant n!.

(b) Écrire, en utilisant la fonction%donnant le reste de la division euclidienne de deux entiers, une fonction récursivePGCD(a,b)renvoyant le plus grand commun diviseur⁵des entiers naturelsaetbcalculé par l’algorithme d’Eu- clide⁶.

(c) Écrire une fonction récursive rfibonacci(n) calculant le nî`ême terme de la suite de Fibonacci et comparer son temps d’exécution avec celui de la fonction fibonacci(n)de l’exercice3.

Exercices - Repr´esentations graphiques

Les fonctions de base permettant des repr´esentations graphiques sont disponibles dans le module matplotlib.pyplot.

1. Tracer une repr´esentation graphique de la fonction f(x) = exp(−x)sin(4x)

´

echantillonn´ee sur 101 valeurs ´equidistantes sur l’intervalle [_{0, 2}π].

2. Tracer sur une mˆeme figure une repr´esentation graphique des fonctions x 7→

x² et x 7→ x²sin(x)exp(−x) sur l’intervalle [−1, 1], en utilisant des couleurs diff´erentes pour chacune d’entre elles.

5. C’est-`a-dire le plus grand entier naturel qui divise simultan´ement ces deux entiers.

6. Cet algorithme est basé sur la propriété suivante :on suppose que a≥bet on note rle reste de la division euclidienne deaparb; alors le pgcd deaetbest le pgcd debetr. En pratique, il suffit donc de faire des divisions euclidiennes successives jusqu’à trouver un reste nul. Le dernier reste non nul est le PGCD.

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Travaux dirig´ es 2

TP2 - Alg`ebre lin´eaire

Pour r´ealiser ce TP, les modules suivants sont conseill´e :numpypour la manipulation desarrays,timepour la mesure des temps de calcul etcopysi vous avez besoin d’utiliser copy.deepcopy.

Exercice 2.1((procédé d’orthonormalisation de Gram–Schmidt)). On rappelle que, par- tant d’une famille B = {x₁, . . . ,x_m} de vecteurs linéairement indépendants de Rⁿ, avec m et n des entiers tels que 2 ≤ m ≤ n, le procédé d’orthonormalisation de Gram–Schmidt permet de construire une famille B⁰ = {q₁, . . . ,q_m} de vecteurs or- thonormaux donnés par

q₁ = ^x¹ kx₁k^, q_k = ^q^e^k

kq_e_kk^, ^avec ^q^e^k = x_k−

k−1 i

∑

=1

(x_k,q_i)q_i, k=_{2, . . . ,}m.

Le pseudo-code pour cet algorithme peut ˆetre ´ecrit sous la forme : Gram-Schmidt

for k=1 tom do s =0

for i=1to k−1 do s=s+< x_k,q_i > q_i s =x_k−s

if ksk 6=0 then q_k =s/ksk else

q_k =0

1. Écrire une fonction nomméegramschmidt, prenant comme paramètre d’entrée une matrice ayant pour colonnes lesmvecteurs de la familleBet retournant en sortie une matrice ayant pour colonnes les mvecteurs de la famille B⁰, obtenue en appliquant à B le procédé d’orthonormalisation de Gram–Schmidt.

2. On poseε=10⁻⁸. Tester la fonction gramschmidt avec la famille

B =















 1 ε 0 0





 ,





 1 0 ε 0





 ,





 1 0 0 ε















 ,

puis v´erifier si les vecteurs obtenus sont bien orthogonaux deux `a deux. Que constate-t-on ?

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3. Pour pallier les défauts d’orthogonalité des vecteurs de la famille B⁰ obser- vés (qui sont dûs aux erreurs d’arrondi en arithmétique à virgule flottante), il faut utiliser une version plus stable de la méthode, appelée procédé de Gram–

Schmidt modifié. On procède alors de la manière suivante. A la première étape, on calcule

q₁= ^x¹ kx₁k^,

et on remplace chaque x_i par x_i−(q₁,x_i)q₁ pour i>1. Ensuite, une fois qu’on a calcul´e lesk−1vecteurs q₁, . . .q_k₋₁, on poseq_k = _k^x^k

xkk et on remplace chaque x_i par x_i−(q_k,x_i)q_k pour touti> k.

Implémenter, en modifiant la fonction déjà existante, cette variante pour obtenir une nouvelle fonction qu’on nommera modgramschmidt. Effectuer alors l’orthonormalisation de la famille B donnée dans la question précédente. Qu’observe- t-on ?

Exercice 2.2 ((Résolution de systèmes linéaires carrés)). Dans cet exercice, on considère le système linéaire Ax=b, où A∈ M_n(_R) matrice inversible, etb∈_Rⁿ.

1. Formules de Cramer On rappelle que si A est une matrice inversible de colonnes a_i, la solution du système linéaire Ax=b est donnée par

x_i = ^det(a₁, . . . ,a_i−1,b,a_i+1, . . . ,a_n)

det(A) ^.

(a) Écrire une fonction recursive_det(A), qui prend en entrée une matrice carrée et renvoie son déterminant calculé de fa¸con récursive.

Comparer à la vitesse d’exécution de la fonctionnumpy.linalg.det() de numpy. Pour cela, utiliser time.time()avant et après l’exécution dont on souhaite mesurer la durée.

(b) Écrire une fonction cramer(A,b), qui résout le système Ax=b par la mé- thode de Cramer. Cette solution est-elle efficace ?

2. D´ecomposition LU

(a) Implémenter la décomposition LU de A en utilisant l’algorithme ci- dessous. Pour la fonction LU_decomposition(A), utiliser les opérations par blocs de matrices afin de diminuer le nombre de boucles à une.

Note : on suppose que la matrice Ane contient pas de z´eros sur la diago- nale !

Factorisation LU : U=On, L= In

for i=1 ton do for j=i+1 ton do

l_ji= a_ji/a_ii for j=ito n do

u_ij =a_ij

for j=i+1 ton do

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Chapitre 2. TP2 - Alg`ebre lin´eaire

for k =i+1to ndo a_jk =a_jk−l_ji·u_ik Fin

(b) ´Ecrire, en utilisant la fonction LU_decomposition(A), une fonction [d]=LU_det(A) qui calcule le d´eterminant.

(c) Comparer exp´erimentalement la rapidit´e des fonctionsrecursive_det(), numpy.linalg.det() etLU_det().

(d) Écrire, en utilisant la décomposition LU, une fonctionLU_linsolve(A,b), qui résout le système Ax = b à l’aide de la résolution de deux systèmes triangulaires.

Remarque : Comme dans le cas du déterminant,numpypropose la fonction numpy.solve qui permet de résoudre les systèmes linéaires.

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Travaux dirig´ es 3

TP3 - Résolution d’équations non-linéaires

Dans ce TP, on souhaite utiliser sur des exemples différentes méthodes d’approximation d’un zéro d’une fonction. Il est à noter que Python dispose de la fonction scipy.optimize.fsolve pour cela mais le but du TP est d’explorer les méthodes sous-jacentes sans utiliser cette fonction.

Exercice 3.1 (m´ethodes de dichotomie et de Newton–Raphson, d’apr`es A. Quarteroni).

1. On consid`ere tout d’abord la fonction g(x) = ^x

2 −sin(x) + ^π 6 −

√3

2 sur l’intervalle

−^π₂_,π

, en observant qu’elle y poss`ede deux z´eros.

a. D´efinir la fonctiongdans Python. Tracer son graphe sur

−^π₂,π .

Expliquer pourquoi la méthode de dichotomie ne peut être utilisée que pour approcher l’un des deux zéros de g, que l’on noteraξ dans la suite.

b. Ecrire une fonction dichotomie(f,a,b,tolerance,nmax) implémentant la méthode de dichotomie pour l’approximation d’un zéro d’une fonction f don- née, compris dans un intervalle [a,b] tel que f(a)f(b)<0. Les autres para- mètres d’entréetoletnmax de la fonctiondichotomiesont respectivement la tolérance pour le critère d’arrêt de la méthode et le nombre maximum d’itérations à effectuer.

La sortie devra comprendre

— zero, l’approximation du z´ero obtenu ;

— iterations, le nombre d’it´erations n´ecessaire au calcul de cette approximation ;

— res, la valeur de la fonction f en ce point ;

— inc, un vecteur contenant la suite des valeurs absolues des différences entre deux approximations successives (dite suite des incréments). Si on note x⁽^k⁾ l’approximation du zéro à la kîeme itération de la dichotomie, inc(k)doit donc contenir la valeur de l’incrément|x⁽^k⁾−x⁽^k⁻¹⁾|.

c. Utiliser la fonction dichotomie sur la fonction g de la question a) pour calculer une approximation de ξ avec une tolérance égale à 10⁻¹⁰ pour le critère d’arrêt à partir du choix d’un intervalle [a,b] convenable.

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d. A quel vitesse les incréments tendent-ils vers 0? S’en convaincre en tra¸cant leur évolution dans une échelle semi-logarithmique à l’aide de la commande plt.gca().set_yscale('log')

plac´ee avant la d´efinition du plot.

2. On souhaite maintenant utiliser la méthode de Newton pour approcher les zéros d’une fonction f. On rappelle qu’on part d’un point x₀ dans l’ensemble de définition de la fonction et qu’on construit la suite :

x_k+1 =x_k− ^f(x_k)

f⁰(x_k)^. ^(3.1)

Le point x_k₊₁ est en fait l’intersection de la droite y = f(x_k) +f⁰(x_k)(x−x_k) avec l’axe des abcisses. Pour appliquer la méthode de Newton à une fonction f donnée, il faudra non seulement définir f (comme on l’a fait pour g dans la question a.), mais également la fonctiond f qui correspond à la dérivée de f. a. Ecrire une fonction newton(f,df,x0,tolerance,nmax) qui implémente la

méthode de Newton–Raphson pour l’approximation d’un zéro d’une fonction dérivable f donnée. Les paramètres d’entréedf,x0, tolerance etnmax re- présentent respectivement le nom de la fonction correspondant à la fonction f⁰, l’initialisation de la méthode, la tolérance pour le critère d’arrêt de la méthode et le nombre maximum d’itérations à effectuer.

En sortie, les param`etres sont identiques `a ceux de la fonctiondichotomie.

b. Calculer la dérivéeg⁰ de la fonction gdéfinie en a., et définir une fonctiondg qui correspond à cette dérivée. Calculer des approximations des deux zéros ξ et ζ de la fonction g avec la méthode de Newton–Raphson, en prenant une tolérance égale à 10⁻¹⁰ pour le critère d’arrêt et comme initialisation le point π pour ξ et −^π₂ pour ζ. Comparer les nombres d’itérations effec- tuées pour obtenir une approximation de chacun des zéros. Pourquoi sont-ils très différents ? Comparer également les graphes des suites des incréments obtenus.

c. On cherche à réduire le nombre d’itérations nécessaires à l’obtention d’une approximation du zéro négatif ζ de la fonction g. La méthode de Newton–

Raphson modifiée, basée sur la modification suivante de la relation de récur- rence de la méthode de Newton–Raphson

x⁽^k⁺¹⁾ =x⁽^k⁾−2 f(x⁽^k⁾) f⁰(x⁽^k⁾)^,

a une convergence quadratique si f⁰(ζ) = 0. Implémenter cette méthode dans une fonction modnewton. Appliquer cette méthode sur la fonction g et observer combien d’itérations sont nécessaires pour qu’elle fournisse une approximation de ζ avec une tolérance égale à10⁻¹⁰ pour le critère d’arrêt.

3. On considère à présent la fonction g(x) = x+e⁻²⁰^x² cos(x), dont on veut approcher les zéros par la méthode de Newton–Raphson.

(a) Définir une première fonction pour g, puis une seconde pour sa dérivéeg⁰. page 12

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Chapitre 3. TP3 - Résolution d’équations non-linéaires

(b) Utiliser la fonction newton pour essayer d’approcher un zéro de gen prenant x⁽⁰⁾ = 0 pour initialisation et une tolérance égale à 10⁻¹⁰ pour le critère d’arrêt.

(c) Tracer le graphe de g sur l’intervalle [−1, 1] et tenter de donner une ex- plication qualitative du fait la méthode de Newton–Raphson ne converge pas avec l’initialisation précédente.

(d) Appliquer la méthode de dichotomie à la fonction gsur l’intervalle [−1, 1] pour la recherche d’un zéro deg.

4. Renommer et modifier la fonction dichotomiepour obtenir, sur le même mo- dèle, une fonction regulafalsi implémentant la méthode de la fausse position¹. De la même manière, écrire une fonction qui implémente la méthode de la sécante² à partir de la fonctionnewton.

Exercice 3.2 (calcul de√

2). Dans cet exercice, on cherche `a calculer une approximation de √

2 de diverses fa¸cons.

1. On peut tout d’abord obtenir une valeur approch´ee de√

2en cherchant la racine positive du polynôme f(x) = x²−2. Pour cela, appliquer successivement à f les méthodes de dichotomie, de la fausse position, de Newton–Raphson et de la sécante sur l’intervalle [1, 2]et déterminer celles qui convergent.

2. On peut également se servir de méthodes de point fixe, définies à partir des applications suivantes

g₁(x) =2+x−x², g₂(x) = ²

x et g₃(x) = ^x+2 x+₁^, consid´er´ees sur l’intervalle [1, 2].

(a) Parmi les trois fonctions ci-dessus, lesquelles conduisent `a une m´ethode de point fixe convergente ?

(b) Vérifier ces affirmations en calculant les 20 premiers termes des suites définies par les relations de récurrence

x⁽⁰⁾= ³

2, x⁽^k⁺¹⁾ =g_i(x⁽^k⁾), k∈_N, i∈ {1, 2, 3}. ,

Exercice 3.3 ((bassins de convergence de la méthode de Newton–Raphson)). On s’in- téresse à la recherche des solutions complexes de l’équation z³ = ₁ par la méthode de Newton–Raphson. On considère pour cela la fonction d’une variable complexe

f(z) =z³−1, qui s’annule en chaque point z du plan complexe tel quez³=1.

1. On rappelle que, pour cette méthode, l’approximation du zéro à l’itérationk x^(k) est donnée par l’abscisse de l’intersection de la droite passant par les points(a^(k),f(a^(k)))et(b^(k),f(b^(k)))avec l’axe des abscisses, c’est-à-dire

x^(k)=a^(k)− ^a

(k)−b^(k)

f(a^(k))−f(b^(k))^f(a^(k)).

2. On rappelle que la méthode de la sécante peut être obtenue à partir de la méthode de Newton–

Raphson en rempla¸cant la quantit´e f⁰ x^(k)

apparaissant dans la relation de r´ecurrence par le quotient ^f(x^(k))−f(x^(k−1))

x^(k)−x^(k)−1 . L’initialisation de cette m´ethode n´ecessite donc deux points distincts,x⁽⁻¹⁾

etx⁽⁰⁾, si possible proches du z´ero recherch´e.

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1. D´efinir deux fonctions fetdf renvoyant respectivement les valeurs de f et de f⁰ en un point quelconque deC.

2. Pour tout entier n ≥ 2, on définit une grille de pas h = ³_n couvrant le carré [−1.5, 1.5]×[−1.5i, 1.5i]. Écrire un programme résolvant, pour une valeur don- née de n, l’équation f(z) =0 avec une tolérance égale à 10⁻⁴ par la méthode de Newton–Raphson³ initialisée successivement en chaque point de la grille z_ij = −1, 5(1+i) + (i+ji)h, 0 ≤ i,j ≤ n. Pour chaque couple (i,j), stocker dans le tableau à deux dimensionsnracle numérok(k=1,2ou3) de la racine cubique complexe de l’unitéeⁱ^2kπ³ vers laquelle la méthode aura convergée à partir dez_ij (en posantk =₄lorsque la méthode n’a pas convergé aprèsnmax=100 itérations) et dans le tableauniterle nombre d’itérations nécessaires pour at- teindre la convergence (en stockant le nombre maximal d’itérations autorisées nmax en l’absence de convergence).

3. Afficher une repr´esentation de chacun des tableauxnracetniterobtenus pour n=100(on pourra utiliser la fonctionimagesc).

4. Refaire des tracés pour des pas de grille plus petits (i.e., de plus grandes valeurs de n). Que dire desfrontières des trois bassins de convergence de la méthode ?

3. On pourra pour cela utiliser la fonctionnewton´ecrite `a l’exercice3.1.

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