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tel que U=λ.V Donc

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Academic year: 2021

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(1)www.elmerouani.jimdo.com. MARIAM EL HIHI S3 CNE 2825698179. lM ®E. EXERCICE N° 1.6 PAGE 17. 1) → Deux vecteurs, sont linéairement dépendants c-à-d il existe un scalaire λ ∈ IR² tel que U=λ.V Donc. ero. α=λ λβ=1 α=β. (α,1,β)=λ(1,β,α) on encore (α,1,β)=(λ,λβ,λα) αβ=1 α²=β. ⇒. αβ=1 α³=1. ⇒. α=1 β=1. ua. Alors. ⇒. α=β=1 → U et V sont indépendants c-à-d α ≠ 1 et β ≠ 1.. ni FP. 2) U et V sont orthogonaux si U.V=0 On encore (α,1,β) . (1,β,α)=0 (α×1) + (1×β) + (β×α)=0 α+β+αβ=0. 3) Soit W (x,y,z) ∈ IR³ orthogonaux à U et V. On a ⇒. ⇒. (1-αβ)y+(β-α²)z=0 (1-αβ)x+(αβ²)z=0. Premier cas :. y= -αx-βz x=-βy-αz. an. α(-βy-αz)+y+βz=0 x+β(-αx-βz)+αz=0. ⇒. tou. ⇒. αx+y+βz=0 x+βy+αz=0. Te. W . U= 0 W . V= 0. 1-αβ=0. 1.

(2) www.elmerouani.jimdo.com. Le système devient. (β-α²)z=0 (α-β²)z=0. Si z≠0 alors αβ=α³=1 αβ=β³=1. lM ®E. β=α² α=β². α=1 β=1. Ce qui est impossible car d’après la question -1- U et V sont linéairement indépendants donc z=0 et alors x+βy=0 ce qui implique x=-βy Par suite W a la forme (βy ,y,0)=y(-β,1,0) avec y ∈ IR* 1 - αβ = 0. ero. Deuxième cas : Alors. x=. (β²-α). z. et. y=. z. 1-αβ. ua. 1-αβ. (α²-β). Donc W=. β²-α. z. =. α²-1. z. 1-αβ. ni. 1-αβ. ,. (β²-α , α²-β , 1-αβ). FP. z 1-αβ. = λ ( β²-α , α²-β , 1-αβ). Te. Avec λ =. z. ∈ IR. tou. 1-αβ. Donc les vecteurs orthogonaux à U et V dans le cas αβ≠1 ont la forme W= λ (β²-α , α²-β, 1-αβ) U,V,W. an. 4) Pour que. forment une base orthonormée de IR³ il faut que. U = V  = W  = 1 Et U.V=0 U.W=0 V.W=0. 2.

(3) www.elmerouani.jimdo.com. U²= α²+1+β²=1. α²+β²=0. α=β=0. V²= 1+β²+α²=1 Par suite W = λ(0,0,1) avec λ∈ IR* (on traite le cas ou αβ≠0). lM ®E. W²= λ² = λ= 1 ou -1 W(0,0,1) ou W(0,0,-1) On a α+β+αβ=0 (car α=β=0). Ceci implique que U et V sont orthogonaux. Donc {U, V,W} est libre et sont en nombre 3= dim IR³ d’où ils forment une base orthonormée à IR³. ero. EXERCICE N° 1.7 PAGE. ua. 1)_ U= (1,3,2). ni. V= (1,-2,0) W= (2,1,3) Ces vecteurs sont en nombre 3 il suffit de démontrer que {U ,V ,W} est libre pour qu’elle soit une base de IR³ qui est de dimension 3. Soient α,β ∈ IR tel que αU+βV+δW=0 Ceci implique t-il que α=β=δ=0. ?. α+β+2δ=0 3α-2β+δ=0 2α+3δ=0. -2/3α+2β=0 7/3α-2β=0 δ= -2/3α. Conclusion {U,V,W} est libre par suite elle est 3. an. α=0 β=0 δ=0. 5/3α=0 7/3α-2β=0 δ= -2/3α. tou. -α/3+β=0 7/3α-2β=0 δ= -2/3. α+β+[2*(-2/3)]=α-4/3α+β=0 3α-2β-2/3α=7/3α-2β=0 δ= -2/3 α. Te. 2 ×. FP. α(1,3,2)+β(1,-2,3)+δ(2,1,3)=(0,0 ;0).

(4) www.elmerouani.jimdo.com. 2)_ soient x’ et x ’’ et x’’’ les composants de x dans la base {U,V,W} On a donc X= x’U +x’’V+x ’’’W (0,0,-1)=x’(1,3,2)+x’’(1,-2,0)+x’’’(2,1,3). lM ®E x’+x’’+2x’’’=0 3x’-2x’’+x’’’=0 2x’+3x ‘’’= -1. 3×. 3x’+3x’’+6x’’’=0 3x’-2x’’+x’’’=0 2x’+3x’’’= -1. 5x’’+5x’’’=0 3x’+2x’’+x’’’=0 2x’+3x’’’= -1. x’’= -x ‘’’ 3x’+2x’’+x’’’= 0 2x’+3x’’’= -1. ero x’’= -x’’’ x’ = -x’’’ -2x’’’+3x’’’= -1. x’’= -x’’’ x’= -x’’’ x’’’= -1. x’=1 x’’=1 x’’’= -1. ua. Donc X=U+V-W. Y est orthogonal à U et V si. Y.U=0. ni. 3)_. Y.V=0. a=1 b= -5/3. FP. 2+3a+2b=0 2-a=0. an. tou. Te. Donc y(2,1,-5/3) est orthogonal à V et U.. 4.

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