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λn= min V ⊂H01(I) dim V =n u∈maxV ∩SQ(u)

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Academic year: 2022

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Mathématiques Générales première année

Introduction aux équations aux dérivées partielles Année 2007-2008

Devoir maison no 4+ Feuille d’exercices no 11

Ici, λn = λn(α, a) et un = un(α, a) sont définis comme dans la feuille 10. Les hypothèses sur α eta sont celles de la feuille 10. S est la sphère unité de L2(I).

Exercice 1.

a) Montrer que Q(u) =X

λn(u, un)2, ∀ u∈H01(I).

[On pourra raisonner par densité.]

b) Soit V un sous espace de dimension n de H01(I). Montrer qu’il existe un u ∈ V tel que kukL2 = 1 etQ(u)≥λn.

c) En déduire la formule "min-max"

λn= min V ⊂H01(I) dim V =n

u∈maxV ∩SQ(u).

d) En déduire que, si α ≤β et a≤b, alorsλn(α, a)≤λn(β, b).

Exercice 2.

a) Soient (µn) une suite strictement croissante et (vn)⊂ H01(I) une base orthonormée de L2(I)telles que −(αv0n)0+avn =µnvn, ∀ n. Montrer que λn =µn et vn =±un. b) Trouver λn etun si α= 1 eta= 0.

Exercice 3.Montrer qu’il existe C1, C2 >0(dépendant deα eta) telles queC1n2 ≤λn≤ C2n2.

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