Equations du premier degr´ e

Equations du premier degr´ e

Exercice 1

R´esoudre dansRles ´equations suivantes :

7^p2x3^q 5^p4x 1^q6x 2

p3x 4^qp2x 7^q0 x²1000

9^px1^q2px4^q20 3

x 2 5 x2 0

Exercice 2 Mise en ´equation

Le prix d’un article est de 180AC . Ce prix subit une majoration au taux de 25% puis une minoration `a un taux inconnu, t%, sur le prix major´e.

Calculer t sachant que le prix de l’article est `a nouveau 180AC .

Fiche issue dehttp://www.ilemaths.net 1

Correction

Exercice 1

7^p2x3^q 5^p4x 1^q6x 2 Cette ´equation est d´efinie sur R.

7^p2x3^q 5^p4x 1^q6x 2

ðñ72x7^p3^q 54x 516x 2

ðñ14x 21 20x 5 6x2

ðñ14x 20x 6x2215

ðñ12x24

ðñx24 12

ðñx2 D’o`u : S^t2^u

p3x 4^qp2x 7^q0

Cette ´equation est d´efinie sur R.

Si un produit de deux facteurs est nul, alors au moins l’un des facteurs est nul.

p3x 4^qp2x 7^q0

ðñ3x 40 ou 2x 70

ðñ3x4 ou 2x7

ðñx4

3 oux 7 2

ðñx4

3 oux7 2 D’o`u : S^t7

2;4 3^u

x²1000

Cette ´equation est d´efinie sur R.

x²1000

ðñx²10²0

C’est une identit´e remarquable de la forme : a² - b² = (a - b)(a + b), donc : x²1000

ðñpx10^qpx 10^q0

ðñx10 oux10 D’o`u : S^t10; 10^u.

9^px1^q2px4^q20 Cette ´equation est d´efinie sur R.

9^px1^q2px4^q20

ðñr3^px1^qs2px4^q20

ðñr3^px1^qpx4^qsr3^px1^{q p}x4^qs0

ðñp3x3x 4^qp3x3 x4^q0

ðñp2x 1^qp4x7^q0

ðñ2x 10 ou 4x70

ðñ2x1 ou 4x7

ðñx1

2 oux 7 4 D’o`u : S^t1

2;7 4^u

3 x 2

5 x2 0

Cette ´equation n’existe pas six 20 et six20. Les valeurs interdites de cette ´equation sont -2 et 2.

L’´equation est donc d´efinie surR{-2 ; 2.

On commence par r´eduire au mˆeme d´enominateur les deux fractions. Le d´enominateur commun est ^px 2^qpx2^q:

3 x 2

5 x2 0

ðñ

3^px2^q

px 2^qpx2^q

5^px 2^q

px2^qpx 2^q 0

Fiche issue dehttp://www.ilemaths.net 2

ðñ

3^px2^q5^px 2^q

px 2^qpx2^q 0

ðñ

p3x65x10^q

px 2^qpx2^q 0

ðñ

2x16

px 2^qpx2^q0

Donc :2x160 car le d´enominateur ne peut pas s’annuler.

ðñ2x16

ðñx 16

2

ðñx8

D’o`u : -8 appartient `a l’ensemble de d´efinition de l’´equation, donc :S^t8^u

Exercice 2 Ancien prix : 180AC

Augmenter un article de 25% revient `a le multiplier par 1 25

100 1,25 Le nouveau prix est donc : 1801,25 = 225AC

Baisser un article de t% revient `a le multiplier par 1 t 100 L’´equation pour retrouver le taux s’´ecrit donc : 225

1 t 100

180 Ce qui ´equivaut `a : 225225t

100 180

ðñ225180 225t 100

ðñ45 259t 254

ðñ45 9t 4

ðñ4549t

ðñt 180 9

ðñt20

Le nouveau taux appliqu´e pour minorer l’article est de 20%.

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