Montrer que les vecteurs colonnes de Mx0(t, t0) sont solutions de l’´equation lin´earis´ee x0 = A(t)x

ENS Lyon Syst`emes Dynamiques

M1 2007-2008

TD 5 : Comportement au voisinage d’une orbite p´eriodique

Exercice 1

On consid`ere l’´equation diff´erentielle x<sup>0</sup> = f(x) dans R<sup>n</sup>, o`u f est localement lip- schitzienne. Soit φ le flot associ´e. On suppose qu’il existe une solution p´eriodique φ_t(x₀) de p´eriode T, d’orbite γ. On noteA(t) =df_φt(x0) la lin´earisation def le long de cette orbite p´eriodique.

1. Soit M_x0(t, t₀) la matrice ^∂φ_∂x^t−t0(φ_t0(x₀)). Montrer que les vecteurs colonnes de M_x0(t, t₀) sont solutions de l’´equation lin´earis´ee x⁰ = A(t)x. Quelle est la condition initiale ?

2. Montrer quef(φ_t0(x₀)) est vecteur propre deM_x0(T+t₀, t₀) associ´e `a la valeur propre 1.

3. Soit P_Σ l’application de Poincar´e sur un hyperplan Σ orthogonal enx₀ `a γ.

(a) V´erifier que x₀ est un point fixe de P_Σ. On dit que x₀ est stable si pour tout voisinage U de x₀ dans Σ, il existe un voisinage V dex₀ dans Σ tel que pour tout n, P_Σⁿ(V)⊂U. On dit que x₀ estasymptotiquement stable si x₀ est stable et s’il existe un voisinage W de x₀ dans Σ tel que pour tout x∈W, P_Σⁿ(x)→x₀.

(b) Montrer queγ est stable (resp. asymptotiquement stable) si et seulement si x₀ est stable (resp. asymptotiquement stable) pour P_Σ.

4. Montrer que Mx0(T,0) est de la forme

dPΣ(x0) 0

∗ 1

dans une base bien choisie. En d´eduire que les valeurs propres de dPΣ(x0) sont ind´ependantes du choix de Σ.

Exercice 2

Soit f le champ de vecteurs sur R³ :

f(x, y, z) =

y+xcos²zx²+y²−1

x²+y²+ 1,−x+ycos²zx²+y²−1 x²+y²+ 1,−z

.

Montrer que les solutions de l’´equation diff´erentielle associ´ee sont d´efinies sur R. D´eterminer les singularit´es et les orbites p´eriodiques.

Exercice 3

On fixe λ∈R. Soitf le champ de vecteurs sur R² d´efini par f(x, y) = (y,−x) + (x²+y²−1)(1 +λx²)(x, y).

1. Ecrire l’´equation diff´erentielle correspondante en coordonn´ees polaires. V´erifier que γ(t) = (cost,sint) est une orbite p´eriodique.

1

2. Pour r >0, on noteP(r) l’abscisse du premier point o`u la trajectoire issue de (r,0) retraverse l’axe des abscisses. Montrer qu’il existe ε > 0 tel que P soit bien d´efinie sur ]1−ε; 1 +ε[.

3. D’apr`es la question 1, on peut ´ecrire le flot φ_t(r,0) sous la forme R(r, t)e^−it pour tousr, ttels queφ_t(r,0) soit d´efini. Montrer que t7→ ^∂R_∂r(1, t) est solution d’une ´equation diff´erentielle lin´eaire. Pr´eciser la condition initiale.

4. Quel est le lien entre P etR?

5. D´eduire de ce qui pr´ec`ede la valeur de P⁰(1).

2