Macs2&M1 (Institut Galil´ee, Universit´e Paris 13) Janvier 2017
Examen de Processus Stochastiques `a temps discrets
Dur´ee: 3h. Aucun document n’est autoris´e sauf 1 page manuscrite de format A4.
Exercice 1 Soitp∈]0,1[. SoientX, Y deux variables al´eatoires ind´ependantes, de loi g´eom´etrique de param`etrep: pour toutk ∈N∗,P(X =k) = (1−p)k−1p. PosonsZ =X+Y.
1. D´eterminer la loi deZ. (Quel est l’ensemble des valeurs que peut prendreZ ?) 2. D´eterminer la loi conditionnelle deX sachantZ.
3. En d´eduireE(X|Z).
Exercice 2 Soit(X, Y)un vecteur al´eatoire r´eel dont la loi a pour densit´e f(x, y) = c y
x2e−λx1(0<y<x),
o`uλ >0est un param`etre fix´e etc >0est une constante `a d´eterminer.
1. D´eterminer la constantec. Quelle est la loi deX?
2. D´eterminer la loi conditionnelle deY sachantX.
3. CalculerE
Y2 X
.
Exercice 3 SoitX, Y, Ztrois variables al´eatoires, avecXint´egrable. On veut d´emontrer que : si(X, Y)est ind´ependante deZ, alorsE(X|Y, Z) =E(X|Y).
1. On suppose(X, Y)ind´ependante deZ. Soitf :R2 →Rune fonction mesurable born´ee.
(a) ´Ecrire E(Xf(Y, Z)) sous la forme E(ϕ(Z)), pour une fonction ϕ : z 7→ ϕ(z) `a pr´eciser.
(b) Utiliser la d´efinition deE(X|Y)pour r´e´ecrireϕ(z), et conclure queE(Xf(Y, Z)) = E(E(X|Y)f(Y, Z)).
(c) Conclure.
2. Montrons maintenant que le r´esultat est faux si on suppose seulementXind´ependante deZ.
Supposons queXetZsont ind´ependantes et de mˆeme loi, int´egrables, et posonsY =X+Z.
(a) Que vautE(X|Y, Z)?
(b) CalculerE(X|Y). (Calculer d’abordE(X|Y) +E(Z|Y)et utiliser une sym´etrie) (c) Comparer et conclure.
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Exercice 4 Soient(Xn)une(Fn)-martingale etτ un(Fn)-temps d’arrˆet. On dit que(X, τ)satis- fait (H) si
(H) P(τ <∞) = 1, E|Xτ|<∞, lim
n→∞E
|Xn|1(τ >n)
= 0.
1. On suppose que(X, τ)satisfait (H).
(a) Montrer queE |Xτ|1(τ >n)
→0etE|Xτ −Xτ∧n| →0.
(b) En d´eduire queE(Xτ) =E(X0).
2. Dans la suite de cet exercice on consid`ere X0 = 0, Xn = ξ1 +· · ·+ξn,n ≥ 1, o`u(ξi)i≥1
est une suite de v.a. i.i.d. de loiP(ξ1 = 1) =P(ξ1 =−1) = 12.
Soientaetbdeux entiers naturels etτ = inf{n≥1 :Xn=−aoub}.
(a) Donner un choix de la filtration(Fn)et v´erifier que(Xn)est une(Fn)-martingale.
(b) Montrer queτ est un(Fn)-temps d’arrˆet et que(X, τ)v´erifie la condition (H).
(c) Quelle est valeur deE(Xτ)? En d´eduireP(Xτ =b)etP(Xτ =−a).
(d) Montrer queYn :=Xn2−n, n≥0,est une(Fn)-martingale.
(e) CalculerE(Yn∧τ)pourn ≥0, et en d´eduire queE(τ)<∞.
(f) V´erifier que(Y, τ)satisfait (H).
(g) Quelle est la valeur deE(Yτ)? En d´eduireE(τ).
Exercice 5 Soit(Xn)n≥1 une suite de variables al´eatoires telles que presque sˆurement, pour tout n≥1, on a0≤Xn≤1. SoitFn =σ(X1, ..., Xn)etF0la tribu triviale. Pourn ≥1, on d´efinit
Yn :=Xn−E(Xn|Fn−1) et Zn:=
n
X
i=1
Yi. 1. Montrer que(Zn)n≥1 est une(Fn)n≥1-martingale.
2. Soitr∈R. On noteτ := inf{n ≥1 :Zn > r}.
(a) Montrer queτ est un(Fn)n≥1-temps d’arrˆet.
(b) Montrer que presque sˆurement,Zτ∧n converge quand n → ∞ et en d´eduire que sur {supn≥1Zn ≤r},Znconverge quandn→ ∞.
3. En d´eduire que presque sˆurement, sur{lim sup
n→∞
Zn<∞},Znconverge quandn→ ∞.
4. Montrer que presque sˆurement, sur{lim inf
n→∞ Zn >−∞},Znconverge quandn → ∞.
5. En d´eduire que presque sˆurement nX∞
n=1
Xn < ∞o
= nX∞
n=1
E(Xn|Fn−1) < ∞o
. (Pour deux ´ev´enementsA, B, on dit queA=B presque sˆurement si1A=1Bpresque sˆurement)
— FIN — 2
