Universit´ e Paris 13 M1 : de l’arithm´ etique ` a la th´ eorie des nombres

Universit´ e Paris 13 M1 : de l’arithm´ etique ` a la th´ eorie des nombres

Feuille de TD 3

Exercice 1. — Soit p un nombre premier impair.

— Montrer, en utilisant le lemme de Hensel, qu’un ´ el´ ement v ∈ Q ^× _p qu’on ´ ecrit sous la forme v = p ^r u avec u ∈ Z ^× _p , est un carr´ e si et seulement si r est pair et u est un carr´ e modulo p.

— D´ eduire de la question pr´ ec´ edente que Q ^× _p / Q ^×2 _p ' ( Z /2 Z ) ² . Remarque. On pourra aussi montrer que Q ^× ₂ / Q ^×2 ₂ ' ( Z /2 Z ) ³ .

— Quelles sont les extensions quadratiques de Q p ?

Remarque. Contrairement au cas de Q , il n’y a donc qu’un nombre fini d’extensions quadra- tiques de Q p . Cette propri´ et´ e est plus g´ en´ erale, puisque que Q p n’admet qu’un nombre fini d’extension de degr´ e n, comme nous allons le montrer dans les exercices suivants. Pour le montrer, on v´ erifie tout d’abord que toute extension L/ Q p admet une unique sous-extension K/Q p qui est non ramifi´ ee. En utilisant le lemme de Krasner ci-apr` es, on peut montrer que K admet un nombre fini d’extension totalement ramifi´ ee, ce qui donne donc un nombre fini de possibilit´ e pour L/K.

Exercice 2. — Soit α ∈ Q p . On d´ efinit alors ¯ v _p (x) := _[ ¹

Q

[α]: Q

] v _p N _Q

_[α]/Q

(α) .

— Soit σ un automorphisme du corps Q p . Montrer que pour tout α ∈ Q p , on a ¯ v _p (σ(α)) = w(α).

— (Lemme de Krasner) Soit α ₁ ∈ Q p s´ eparable de conjugu´ es α ₂ , · · · , α _n . On suppose qu’il existe β ∈ Q p tel que v ¯ p (β − α 1 ) > ¯ v p (β −α _i ) pour tout i = 2, · · · , n. Montrer alors que Q p (α ₁ ) ⊂ Q p (β).

— Soit f (X) = Q n

i=1 (X − α _i ) = X ⁿ + a ₁ X ⁿ⁻¹ + · · · + a _n ∈ Q p [X]. Montrer que pour tout i = 1, · · · , n, on a |α _i | := p ^{−¯ v}

^(α

⁾ < ||f|| ₁ := a 1 + · · · + a n .

— Avec les notations pr´ ec´ edentes, construire un r´ eel δ strictement positif tel que si g(X) ∈ Q p [X] est un polynˆ ome unitaire v´ erifiant ||f − g|| ₁ ≤ δ. Montrer alors que pour tout racine β de g(X), il existe α j tel que pour tout i 6= j, on ait |α _j − β| < |α _j − α i |, et en d´ eduire K(β) = K(α _j ) puis que g(X) est irr´ eductible et s´ eparable.

Exercice 3. — Soit p premier impair. Montrer que les racines de l’unit´ e de Q p sont les p − 1 solutions de l’´ equation X ^p−1 − 1.

1

2

1 (1) Rappelons que tout v ∈ Q ^× _p s’´ ecrit de mani` ere unique sous la forme v = p ^r u avec r ∈ Z et u ∈ Z ^× p . Si v = w ² on a alors r ≡ 0 mod 2 et u est un carr´ e de Z ^× p de sorte que son image modulo p est aussi un carr´ e.

R´ eciproquement si u est un carr´ e modulo p alors, d’apr` es le lemme de Hensel, u est un carr´ e dans Z ^× p et donc p ^2r u est un carr´ e.

(2) Le premier facteur correspond ` a l’image de r modulo 2 et le deuxi` eme ` a celle de u ∈ F ^× p / F ^×2 p ' Z /2 Z .

(3) Une extension quadratique de Q p s’´ ecrit Q p [X]/(aX ² +bX+c) = Q p [ √

d] o` u d = b ² −4ac.

D’apr` es la question pr´ ec´ edente, il y a donc exactement 3 extensions quadratiques. Pour p ≡ 1 mod 4, on trouve Q p [ √

−1], Q p [ √

p] et Q p [ √

−p].

2 (1) Comme α et σ(α) ont le mˆ eme polynˆ ome minimal, ils ont la mˆ eme norme et engendrent des corps isomorphes ; ils ont donc la mˆ eme valuation.

(2) Supposons α ₁ 6∈ Q p (β) et soit σ : Q p (α ₁ , β) −→ Q p qui fixe Q p (β) mais pas α ₁ . On a alors ¯ v _p (β − α ₁ ) = ¯ v _p (σ(β − α ₁ )) = ¯ v _p (β − α _i ) avec i ≥ 2. Or ¯ v _p (α ₁ − α _i ) = ¯ v _p ((α ₁ − β) + (β − α _i )) ≥ min{¯ v _p (α ₁ − β), v ¯ _p (β − α _i )} = ¯ v _p (α ₁ − β) ce qui contredit notre hypoth` ese.

(3) C’est clair si f(X) = X ⁿ . Sinon ||f || ₁ > 1. Pour |α _i | ≤ 1, il n’y a rien ` a faire et pour

|α _i | > 1, de |α _i | ⁿ = |a ₁ α ⁿ⁻¹ _i +· · ·+a _n−1 α _i +a _n | et donc |α _i | ≤ max{|a ₁ α ⁿ⁻¹ _i |, · · · , |a _n−1 α _i |, |a _n |}.

Pour j tel que a _j 6= 0, on a ainsi |α _i | ≤ |α ^n−j _i | ≤ |a _j | ≤ ||f|| ₁ . (4) Soit = min{1, min i6=j {|α _i − α j |}} puis δ = ( _2(||f||

1

+1) ) ⁿ < 1. Notons que g ∈ Q p [X]

unitaire, l’in´ egalit´ e ||f − g|| ₁ < δ, impose deg f = deg g. On ´ ecrit g(X) = X ⁿ + b 1 X ⁿ⁻¹ +

· · · + b ₁ X + b ₀ avec ||g|| ₁ ≤ ||f|| ₁ + ||g − f || ₁ < ||f || ₁ + δ. Pour β une racine de g(X), on a

|f (β)| = |f (β) − g(β)| ≤ P n

i=0 |a _i − b _i |.|β| ⁱ < P n

i=0 |a _i − b _i |.||g|| ⁱ ₁

≤ ||f − g|| ₁ .||g|| ⁿ ₁ < δ(||f || ₁ + δ) ⁿ < δ(||f || ₁ + 1) ⁿ = ( ₂ ) ⁿ . Par ailleurs on a f (β) = Q n

i=1 |β − α i | de sorte qu’il existe α j tel que |β − α j | < /2. D’apr` es la d´ efinition de , on a |α <sub>j</sub> − β| < |α <sub>j</sub> − α <sub>i</sub> | pour tout j 6= i. D’apr` es le lemme de Krasner, on a Q p (α _j ) ⊂ Q p (β). Comme en outre n = [ Q p (α _j ) : Q p ] ≤ [ Q p (β ) : Q p ] ≤ n et donc Q p (α j ) = Q p (β). En particulier β est s´ eparable et g est le polnynˆ ome minimal de β qui est donc irr´ eductible.

3 Si x ⁿ = 1 alors |x| ⁿ _p = 1 soit |x| _p = 1 et donc x ∈ Z ^× p . Pour m premier avec p, d’apr` es le lemme de Hensel si x ≡ y mod p sont deux solutions de X ^m − 1 alors x = y. Comme F ^× p ' Z /(p − 1) Z , alors m doit ˆ etre un diviseur de p − 1. R´ eciproquement le lemme de Hensel fournit des racines de X ^p−1 − 1.

Enfin pour f (X) = X ^p − 1, pour appliquer la version forte du lemme de Hensel ??, en

notant que |f ⁰ (x)| _p = |px ^p−1 | _p = 1/p, il suffit de montrer que x ≡ 1 mod p ² Z p . On ´ ecrit

x = 1 + py avec 1 = (1 + py) ^p ≡ 1 + p ² y mod p ³ et donc y ≡ 0 mod p. Le lemme de Hensel

donne alors x = 1 et donc la seule racine de X ^p − 1 est x = 1.