1Densit´edeprobabilit´e e e TD5:Th´eoriecin´etique e

S3-MIAS. Physique Statistique 17 janvier 2005 Universit´ e Paris-Sud

TD 5 : Th´ eorie cin´ etique

Int´ egrales gaussiennes. Calculer les int´ egrales : I

(a) = 2

Z

0

dx x

e

1 Densit´ e de probabilit´ e

Rappels : Les propri´ et´ es statistiques d’une variable al´ eatoire continue sont caract´ eris´ ee par la densit´ e de probabilit´ e p(x) d´ efinie comme suit : p(x)dx est la probabilit´ e pour que la variable al´ eatoire se trouve dans l’intervalle [x, x + dx[. La distribution doit ˆ etre normalis´ ee :

Z

−∞

dx p(x) = 1 . (1)

La valeur moyenne d’une fonction de la variable x s’exprime comme : hf (x)i =

Z

−∞

dx p(x) f (x) . (2)

1. Distribution gaussienne.

Soit la distribution

p(x) = 1

√

2πσ

e

2 2σ2

a) V´ erifier que la distribution est normalis´ ee.

b) Calculer la valeur moyenne hxi puis l’´ ecart type ∆x

= hx

i − hxi

. 2. Distribution de Poisson.

On consid` ere une variable al´ eatoire positive distibu´ ee selon la loi

p(x) = λ e

. (3)

a) Calculer hx

i puis l’´ ecart type ∆x

= hx

i − hxi

. Quelle est la relation entre hxi et ∆x ? b) Quelle est la probabilit´ e Proba[x > x

] ? Quelle est la valeur m´ ediane x

, d´ efinie par Proba[x > x

] = 1/2 ?

c) Soient deux variables x et y, statistiquement ind´ ependantes (d´ ecorr´ el´ ees) et distribu´ ees par cette loi. Calculer la distribution P

(S) de S = x + y. Quelle est la valeur moyenne hSi et l’´ ecart type ∆S ? Quelle est la valeur typique (valeur de S pour laquelle la distribution est maximale) ? d) On consid` ere maintenant N variables poissoniennes x

, ..., x

statistiquement ind´ ependantes.

On s’int´ eresse ` a la distribution P

(S) de S = x

+ · · · + x

. Trouver une relation de r´ ecurrence entre P

(S) et P

(S). En d´ eduire la distribution P

(S). V´ erifier la normalisation et calculer hSi et ∆S.

1

2 Distribution de Maxwell - Pression cin´ etique

On consid` ere un gaz parfait de N atomes contenu dans un volume V ` a temp´ erature T . 1. Distribution de Maxwell.

a) Quelle est la distribution p(~ v) de la vitesse d’un atome ?

b) Quelle est la distribution p

(v

) de la vitesse dans une direction ? c) Quelle est la distribution q(v) du module de la vitesse ?

2. La temp´ erature : une approche microscopique.

a) Que valent les valeurs moyennes suivantes h~ vi, hv

i, h~ v

i ? b) Calculer hE

i.

A.N. : Calculer l’ordre de grandeur de la vitesse des mol´ ecules d’un gaz d’Oxyg` ene ` a T = 300 K.

3. La pression : une approche microscopique.

a) On d´ efinit la fonction de distribution f (~ r, ~ v) comme suit : dN (~ r, ~ v) = f (~ r, ~ v)d~ rd~ v est le nombre d’atomes dans le volume d~ r autour de ~ r et de vitesses dans le volume d~ v autour de ~ v.

Donner f (~ r, ~ v).

b) On se place au voisinage d’une paroi du r´ ecipient. Quel est le nombre de particules ayant une vitesse ~ v qui frapperont une petite surface δS de la paroi pendant un intervalle de temps dt ? c) Si le choc de chaque atome avec la paroi est ´ elastique, quelle est l’impulsion transf´ er´ ee ` a la paroi au cours du choc ?

d) Quelle est l’impulsion moyenne transf´ er´ ee par les atomes ayant une vitesse ~ v ` a la paroi pendant dt ?

e) Quelle est la pression exerc´ ee par le gaz sur la paroi ?

f) Calculer la force moyenne exerc´ ee par un gaz ` a pression P =1 atm sur une paroi de 10×10 cm

.

3 Paradoxe de Gibbs et entropie de m´ elange

La fonction de partition d’une particule dans une boˆıte de volume V est z(T, V ) = V (aT )

o` u la constante a et l’exposant q d´ ependent de la nature du gaz (atomique, mol´ eculaire, masse des mol´ ecules, etc).

A. Particules discernables.

1. Donner la fonction de partition d’un gaz de N particules discernables. D´ eduire l’entropie canonique S(T, V, N ).

2. Un volume 2V contenant du gaz est s´ epar´ e en deux volumes ´ egaux par une paroi amovible.

La pression et la temp´ erature sont les mˆ emes dans chaque compartiment.

a) Calculer l’entropie totale S

du syst` eme.

b) On retire la paroi. Calculer l’entropie S

.

c) D´ eduire l’entropie de m´ elange ∆S

= S

−S

. Pourquoi ce r´ esultat est-il surprenant ? Comment l’interpr´ eter ?

B. Particules indiscernables.

1. Donner la fonction de partition d’un gaz de N particules indiscernables puis son entropie canonique S(T, V, N ).

2. Montrer que S(T, λV, λN ) = λS(T, V, N ), o` u λ est un param` etre r´ eel positif. En d´ eduire que l’entropie de m´ elange ∆S calcul´ ee au A.2 est maintenant nulle.

2

3. Entropie de m´ elange de deux gaz diff´ erents. On consid` ere deux gaz 1 et 2 de N

et N

mol´ ecules, contenus dans deux volumes V

et V

s´ epar´ es par une paroi.

a) Les deux gaz ont mˆ eme temp´ erature et mˆ eme pression. Quelles contraintes cela implique-t-il sur N

, N

, V

et V

?

b) Calculer l’entropie de m´ elange (variation d’entropie lorsqu’on retire la paroi) qu’on exprimera en fonction de N

et N

seulement.

4. Reprendre le calcul si les gaz sont identiques.

4 Gaz parfait monoatomique

Un gaz de N atomes sans interaction est contenu dans un volume V et se trouve ` a une temp´ erature T . L’´ energie des atomes est purement cin´ etique : H = P

i=1

~ p²_i

2m

. La fonction de partition classique est :

Z

= 1 N !

Z d~ r

· · · d~ r

d~ p

· · · d~ p

(2π ~ )

e

. (4) La pr´ esence de (2π ~ )

, o` u ~ est la constante de Planck, rend l’expression adimensionn´ ee car (2π ~ )

est le volume d’un ´ etat dans l’espace des phases ` a une particule. Justifier la pr´ esence du N !

1. Calculer explicitement la fonction de partition. On fera apparaˆıtre la longueur thermique de de Broglie Λ

=

q

mkT

(v´ erifier qu’elle a bien la dimension d’une longueur).

2. Calculer la pression canonique p = −

du gaz.

3. Formule de Sackur-T´ etrode. Calculer l’entropie canonique S = −

. V´ erifier qu’on obtient une quantit´ e extensive.

4. Calculer l’´ energie moyenne E puis la chaleur sp´ ecifique ` a volume constant C

=

V

.

5 Atmosph` ere isotherme dans un champ de pesanteur

Un gaz parfait est soumis au champ de pesanteur. On suppose que la temp´ erature du gaz est ind´ ependante de l’altitude z.

1. Donner la fonction de distribution f (~ r, ~ v) pour les particules du gaz. D´ eduire la densit´ e n du gaz en fonction de l’altitude.

2. On suppose que l’on peut utiliser localement l’´ equation d’´ etat des gaz parfaits. Comment la pression varie-t-elle avec l’altitude ?

3. Sachant que la masse volumique de l’air est de ρ

= 1.2 kg.m

dans les conditions normales de temp´ erature et de pression, donner la pression au sommet du Mont-Blanc.

6 Effusion

Un gaz est contenu dans un r´ ecipient de volume V . Un petit trou de surface δS est fait dans une paroi, par lequel les mol´ ecules du gaz peuvent s’´ echapper. Le trou est suffisamment petit pour que l’on puisse supposer que le gaz est ` a l’´ equilibre thermodynamique dans l’enceinte.

1. Imaginons que toutes les mol´ ecules ont la mˆ eme vitesse v

~ u

, perpendiculaire ` a la paroi. Quel est le nombre de mol´ ecules qui sortent du r´ ecipient pendant un intervalle de temps dt ?

3

2. On suppose que le gaz est ` a temp´ erature T . Les vitesses des mol´ ecules sont distribu´ ees par la loi de Maxwell. Quel est alors le nombre de mol´ ecules sortant du r´ ecipient pendant un intervalle de temps dt ?

3. On suppose que la temp´ erature est maintenue constante.

a) Comment le nombre N de mol´ ecules contenues dans le r´ ecipient varie-t-il au cours du temps ? b) Consid´ erons un gaz d’Helium contenu dans un r´ ecipient de 1 litre ` a temp´ erature ambiante et initialement ` a 1 atm. Le trou a une surface de δS = 1 µm

. Au bout de combien de temps le r´ ecipient aura-t-il perdu la moiti´ e de ses atomes ?

4. Deux gaz parfaits 1 et 2 sont s´ epar´ es par une paroi perc´ ee. Le gaz 1 (resp. 2) est ` a temp´ erature T

et pression p

(resp. T

et p

). ` A quelle condition sur les temp´ eratures et les pressions les nombres de particules dans les deux r´ ecipients restent-ils constants ?

5. Enrichissement de l’Uranium. On consid` ere un gaz d’hexafluorure d’Uranium U F

contenu dans un r´ ecipent de volume V perc´ e d’un petit trou. On n´ eglige par la suite la variation du nombre de mol´ ecules dans le r´ ecipient. Les deux isotopes de l’uranium,

U et

U , sont natu- rellement dans des proportions 99.3% et 0.7%. On appelle N

(resp. N

) le nombre de mol´ ecules contenant l’isotope

U (resp.

U ).

a) Montrer que la proportion des isotopes n’est pas la mˆ eme dans le gaz ayant quitt´ e le r´ ecipient par effusion.

b) Comment faut-il proc´ eder pour obtenir une proportion de 2.5% d’

U ?

6. Effusion depuis une enceinte adiabatique. A la question ` 3, on a ´ etudi´ e la variation du nombre de particules contenues dans le r´ ecipient lorsque ce dernier est maintenu ` a une temp´ erature T constante. Dans cette question on fait l’hypoth` ese que les parois du r´ ecipient sont adiabatiques. En perdant des particules, le gaz perd de l’´ energie et sa temp´ erature d´ ecroit. On suppose que le trou est assez petit pour que la distribution des vitesses soit encore la distribution d’´ equilibre de Maxwell, avec une temp´ erature d´ ependant lentement du temps.

a) Calculer l’´ energie perdue par le gaz pendant un intervalle de temps dt. On consid` erera un gaz monoatomique.

b) On pose λ =

q

2πm

. ´ Ecrire deux ´ equations diff´ erentielles pour N et T .

c) R´ esoudre ces ´ equations diff´ erentielles. Pour cela il est plus simple de consid´ erer les variables x = N et y = N T , fonctions de τ = λt. Comparer le comportement ` a grand temps de N avec celui trouv´ e ` a la question 3.

Une int´ egrale utile.

On d´ efinit la fonction Γ :

Γ(z) = Z

0

dx t

e

. On peut facilement prouver que Γ(z + 1) = z Γ(z).

Pour un argument entier : Γ(n + 1) = n!

Pour un argument demi entier Γ(1/2) = √

π, Γ(3/2) = √

π/2, etc...

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