Universit´e de Pau et des Pays de l’Adour Ann´ee Scolaire
D´epartement de Math´ematiques 2017-2018
Licence Math´ematiques - Analyse Num´erique des Syst`emes Lin´eaires Exercices de r´evisions
Exercice 1 : Diagonalisation en dimension 2 SoitA=
1 −1
2 4
.
1) D´eterminer l’ensemble σ(A) des valeurs propres de A.
2) D´emontrer queA est diagonalisable.
3) D´eterminer le(s) sous-espace(s) propre(s) associ´e(s) `a σ(A).
4) En d´eduireAk pour toutk∈N.
Exercice 2 : Un exemple en dimension 3 SoitA=
0 1 0
−4 4 0
−2 1 2
.
1) D´eterminer l’ensemble σ(A) des valeurs propres de A.
2) La matriceA est-elle diagonalisable ? Exercice 3
SoitI3 la matrice identit´e deR3×3 etI∈R3×3 d´efinie parIij = 1 pour tousi, j= 1, . . . ,3.
On note :
u1 =
1
−1 0
, u2 =
1 0
−1
, u3 =
1 1 1
,
1) a. Calculer Iu1,Iu2 etIu3.
b. Montrer que u1, u2 et u3 sont des vecteurs propres de I. Pr´eciser les valeurs propres associ´es.
c. Montrer que (u1, u2) est une base de KerI. d. En d´eduire une base de vecteurs propres deI.
2) SoitA:= 3I3+I. A partir des r´esultats pr´ec´edents, d´eterminer σ(A).
Exercice 4 : Matrices hermitiennes
SoitA∈Cn×n. On note (., .) le produit scalaire hermitien surCn.
1) Montrer queA est hermitienne si et seulement si∀x∈Cn, (Ax, x)∈R. 2) En d´eduire que les valeurs propres d’une telle matrice sont r´eelles.
Indication: 1) On pourra d´evelopper les expressions (A(x+y), x+y) et (A(x+iy), x+iy) puis d´emontrer et exploiter les relations suivantes Im(Ax, y) =−Im(Ay , x) et Re(Ax, y) =
1
Re(Ay , x) pour tout x, y∈Cn.
Exercice 5 : Matrices orthogonales
SoitQ∈Rn×n une matrice orthogonale. On noteq1, ..., qn ses vecteurs colonnes.
1. D´eterminer Q−1.
2. D´eterminer le sous-espace vectoriel Vect{q1, ..., qn}.
3. Montrer queQ conserve la norme euclidienne.
Exercice 6 : Le proc´ed´e de Gram-Schmidt
Soit v1 =
0 0 1
, v2 =
0 1 1
, v3 =
1 1 1
. Ces vecteurs constituent une base de R3. D´eterminer `a partir de ces vecteurs une base orthonorm´ee par le proc´ed´e de Gram-Schmidt.
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