Nombres complexes

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Nombres complexes

1. Exemples de questions de cours

1. Qu’est ce qu’un groupe ? En donner des exemples.

2. Définition du conjugué. Représentation graphique. Propriétés usuelles.

3. Démontrer que le quotient de conjugués est égal au conjugué du quotient.

4. Module et argument : définitions et interprétations géométriques.

5. D´emontrer que le module d’un produit est ´egal au produit des modules.

6. Démontrer l’inégalité triangulaire.

7. Démontrer que l’argument d’un produit est égal, modulo2πà la somme des arguments.

8. EnsembleU: d´efinition, structure de groupe.

9. Exponentielle d’un imaginaire pur : propri´et´es.

10. Formule de Moivre, application.

11. Formules d’Euler, application.

12. Racinesn-ième de l’unité : définition et valeur de ces racines.

13. Racines carrées, cubiques et quatrièmes de l’unité.

14. Comment obtenir la forme algébrique d’une racine carrée complexe ? 15. Racinesn-ième d’un complexe non nul donné par sa forme trigonométrique.

16. Résolution de l’équation du second degré.

17. Exponentielle complexe : d´efinition.

18. D´emontrer quee^z= e^z.

19. Propri´et´es de l’exponentielle complexe.

20. Interprétations géométriques de ^z−a_z−b. 21. Barycentre : définition.

22. ´Ecriture complexe d’une translation.

23. ´Ecriture complexe d’une homoth´etie.

24. Propri´et´es d’une similitude directe.

25. Inversion : d´efinition et ´ecriture complexe.

2. Exemples d’exercices et indications

Exercice 1 *

1. R´esoudre(1 + i)z+ 1−i = (2−2i)z+ 3 + 3i.

2. R´esoudre _z+1^z−i = 2i et ^z−2_z+i = ^z−2i_z+1.

Exercice 2 *

1. R´esoudre le syst`eme

ß 2ia−b= 1 + 4i a−ib= 1−i . 2. R´esoudre le syst`eme

ß (1−i)a+ (1 + i)b= 5−i (1 + i)a−(1−i)b=−1−i .

(2)

Exercice 3 *

R´esoudre le syst`eme suivant dansC³:







2a−b+ ic=−3−3i a+b−c= 2−4i ia−ib+ 2c= 2 + 8i

Exercice 4 *

R´esoudre le syst`eme suivant dansC³:







x=yz y+xz= 0 z=xy

Exercice 5 *

R´esoudrez+ 2iz= i.

Exercice 6 *

D´eterminer le point d’affixeztelle que :

z= 2iz−1

Exercice 7 *

1. R´esoudre l’´equation2z+ iz= 3.

2. R´esoudre l’´equationz+zz= 1.

Exercice 8 *

La transformation du plan dont l’´ecriture complexe est z⁰ =z+ 6i admet-elle des points invariants ? Les repr´esenter.

Exercice 9 **

Pour toutz∈C^∗, on pose :

Z= 3−2i z

1. On note x+ iy la forme algébrique dez. Déterminer les parties réelle et imaginaire deZ en fonction de xety.

2. Déterminer et représenter dans le plan complexe les ensembles D1 et D2 des points d’affixe z ∈ C^∗ tels queZ soit un réel, respectivement un imaginaire pur.

Exercice 10 *

R´esoudre dansCl’´equation :

z+z=z⁴

Exercice 11 *

1. D´emontrer que :

∀z∈C, |Rez|+|Imz|

√

2 6|z|

2. Représenter l’ensemble des pointsM d’affixeztels que l’inégalité précédente soit une égalité.

St´ephane – TSI1 – Lyc´ee Louis

(3)

Exercice 12 *

1. Démontrer l’égalité ci-dessous appelée identité du parallélogramme :

∀(z, z⁰)∈C², |z+z⁰|²+|z−z⁰|²= 2 |z|²+|z⁰|²

2. Interpréter géométriquement cette propriété.

Exercice 13 **

Dans cet exercice, a,betz de forme alg´ebriquex+iy d´esignent trois nombres complexes quelconques.

1. D´emontrer que2Rez61 +|z|².

2. (a) En d´eduire que|a+b|²6 1 +|a|²

1 +|b|² . (b) Étudier le cas d’égalité.

Exercice 14 **

1. Montrer que, pour tout(z, z⁰)∈C²:

|z z⁰+ 1|²+|z−z⁰|²= 1 +|z|²

1 +|z⁰|² (E)

2. Montrer que, pour tout(z, z⁰)∈C²:

|z z⁰−1|²− |z−z⁰|²= 1− |z|²

1− |z⁰|² (F)

Exercice 15 **

Soient a,betc trois nombres complexes tels quec6=aetc6=b|a|=|b|=|c|= 1.

1. D´emontrer queArgÄ

c−b c−a

ä2 a b

= 0 (2π).

2. (a) En d´eduire queArg^c−b_c−a =¹₂Arg^b_a (π).

(b) Comment interpréter géométriquement cette dernière égalité ?

Exercice 16 *

D´eterminer le module et un argument dez= 1 + e^iθpour θ∈]−π, π].

Exercice 17 *

1. Simplifier (1−i)⁵⁰⁰. 2. CalculerÄ

1+i√

√ 3 2+i√

2

ä2012

. 3. Calculer

e^iπ6+i e^iπ3+1

¹⁰⁰ .

Exercice 18 *

Soitn∈N. `A quelle condition a-t-on Ä e^iπ⁶än

= j?

Exercice 19 *

Soitn∈N. `A quelle condition Ä

1−i√ 3 1+i

än

est-il un r´eel ?

(4)

Exercice 20 *

1. Donner la forme alg´ebrique et trigonom´etrique dea= ^1+e

iπ 4

1−e^iπ4

2. Soitn∈N. `A quelle condition aⁿ est-il un r´eel ?

Exercice 21 **

Soient (a, b)∈U² tel quea+b6= 0et a−b6= 0.

1. D´emontrer queu=^1+ab_a+b est un r´eel.

2. D´emontrer que pour toutz∈C, v= z+abz−(a+b)

a−b est un imaginaire pur.

Exercice 22 **

Soit(z, z⁰)∈U² eta∈R. On note :

Z =z+z⁰+azz⁰+ 1 Z⁰=z+z⁰+zz⁰+a 1. D´emontrer queZ⁰ =zz⁰Z puis que |Z⁰|=|Z|.

2. On suppose dorénavant que1 +zz⁰ 6= 0et on souhaite démontrer que le nombreu=_1+zz^z+z⁰0 est un réel de deux fa¸cons :

(a) En comparantZ et Z⁰ poura= 1.

(b) En ´ecrivant quez∈R⇔u=u.

Exercice 23 **

D´emontrer que pour toutz∈U\R, il existet∈Rtel que : z= 1 + it

1−it

Exercice 24 **

Soit(n, θ)∈N×R.

1. D´evelopper 1 + e^iθ+ e^2iθ

1−e^iθ

. Comment généraliser cette propriété ? 2. (a) CalculerC_n= 1 + cosθ+ cos 2θ+· · ·+ cosnθ.

(b) CalculerSn = 1 + sinθ+ sin 2θ+· · ·+ sinnθ.

Exercice 25 *

1. Lin´eariser cos⁴x.

2. Lin´eariser sin³x.

3. Lin´eariser cos²xsin²x.

Exercice 26 *

1. Factoriser sin 3x.

2. Factoriser cos 2xet en d´eduire la valeur exacte decos₁₂^π.

(5)

Exercice 27 **

1. (a) Factorisercos 4x.

(b) Comment proc´eder sous Maple^®?

2. (a) En déduire quecos²^π₈ etsin²^π₈ sont solutions d’une même équation.

(b) En d´eduire les valeurs exactes decos^π₈ etsin^π₈.

Exercice 28 **

Soit(p, q)∈R².

1. Factoriser eîp+ eîq pour en déduire une expression factorisée decosp+ cosqpuissinp+ sinq.

2. R´esoudre l’´equation :

sinx+ cos 3x= 0 (E)

Exercice 29 **

1. Soitθ∈R, d´emontrer que :

1−eîθ=−2i sinθ 2eîθ² 2. (a) Démontrer que :

Ä

1−e^2iπ¹¹ä Ä

e¹¹^iπ + e^3iπ¹¹ + e^5iπ¹¹ + e^7iπ¹¹ + e^9iπ¹¹ä

= e¹¹^iπ Ä

1−e^10iπ¹¹ ä

(b) En d´eduire que :

e^iπ¹¹ + e^3iπ¹¹ + e^5iπ¹¹ + e^7iπ¹¹ + e^9iπ¹¹ = e^5iπ¹¹ sin^5π₁₁ sin₁₁^π

(c) En d´eduire enfin que :

cos π

11+ cos3π

11 + cos5π

11+ cos7π

11 + cos9π 11 = 1

2

Exercice 30 *

Simplifier 1 + 2j + 3j²−j³−2j⁴−3j⁵.

Exercice 31 *

1. Quelles sont les racines huiti`eme de l’unit´e ?

2. Déterminer les racines sixièmes de l’unité (donner les mesures principales des arguments).

Exercice 32 *

z⁵= 32

Exercice 33 *

R´esoudre dansCl’´equation : z³=−8 etz³=−8i.

(6)

Exercice 34 **

1. (a) Écrire la forme algébrique et trigonométrique du nombre complexe :

z=

1+i√ 3 2 (1+i)√

2 2

(b) En déduirecos₁₂^π,sin₁₂^π,tan₁₂^π et tan^5π₁₂. 2. Résoudre dansCl’équationz²⁴= 1.

Exercice 35 **

On note x= ^2π₅ etω= e^ix.

1. Déterminer les racines cinquièmes de l’unité (et représenter leurs images).

2. Calculer(1−ω)(1 +ω+ω²+ω³+ω⁴)et en d´eduire que : 1 +ω+w+ω²+ω²= 0 3. Factoriser cos 2xet d´emontrer que4 cos²x+ 2 cosx−1 = 0.

4. En d´eduire la valeur exacte decosx.

Exercice 36 **

1. R´esoudre dansCl’´equation(E)ci-dessous :

16z⁴−20z²+ 5 = 0 (E) 2. (a) Factorisercos 5x(pour toutx∈R).

(b) Comment proc´eder avec Maple^®?

3. Déduire des questions précédentes la valeur exacte decos₁₀^π.

Exercice 37 **

1. Résoudre dansC² le système suivant (écrire la forme algébrique des solutions) : (S)

ß z₁+z₂=−1 z₁=_z²

2

2. On poseω= e^2iπ⁷ ,A=ω+ω²+ω⁴ etB =ω³+ω⁵+ω⁶. D´emontrer queAet B sont conjugu´es.

3. (a) Calculer(1−ω)(1 +A+B)et en d´eduireA+B.

(b) CalculerAB.

(c) En d´eduireAetB.

Exercice 38 *

R´esoudre dansC³ le syst`eme suivant :





 x=y² y=z² z=x²

Exercice 39 *

Soient n∈N^∗ etθ∈R. Quelles sont les racinesn-i`emes dee^inθ?

(7)

Exercice 40 *

Soitn>2. R´esoudre dansCl’´equation :

zⁿ=z

Exercice 41 **

1. Expliciter sous forme exponentielle les solutions dez³−j = 0etz³−j = 0.

2. R´esoudre dansCl’´equation suivante :

(z−1)⁶+ (z−1)³+ 1 = 0 (E) 3. (a) D´emontrer que :

∀α∈R, 1 + e^iα= 2 cosα 2 eⁱ^α² (b) En d´eduire les formes exponentielles des solutions de(E).

Exercice 42 **

Soitn∈Ntel quen>2 etω une racinen-i`eme de l’unit´e.

1. (a) Développer(1−ω)(1 +ω+· · ·+ωⁿ⁻¹)et en déduire1 +ω+· · ·+ωⁿ⁻¹. (b) Interpréter graphiquement l’égalité précédente.

2. On note dor´enavantω= e^2iπⁿ etAk le point image deω^k pour k∈J0, n−1K. D´emontrer que : A0A1=· · ·=A_n−2A_n−1=A_n−1A0= 2 sinπ

n 3. (a) D´eterminer l’ensemble :

Γ₁=n

M ∈ Ptel que

# »

M A₀+· · ·+M A# »_n−1 =no (b) D´eterminer l’ensemble :

Γ2=

M ∈ Ptel que M A²₀+· · ·+M A²_n−1= 2n

Exercice 43 *

Quelles sont les racines carr´ees complexes de−15−8i?

Exercice 44 *

1. R´esoudre2z²+ (−1 + 3i)z+ 4−6i = 0.

2. R´esoudre dansCl’´equationz²+ (1 + i)z+ i = 0.

3. R´esoudrez²−(3 + 4i)z−1 + 5i = 0.

Exercice 45 *

z²= i

Exercice 46 **

Soitz∈C^∗ donné sous sa forme trigonométrique reîα. 1. Déterminer les racines cubiques deznotéesa,bet c.

2. Calculer les nombres complexes :







a+b+c a²+b²+c²

1

a +¹_b +¹_c

(8)

Exercice 47 **

Soit(x, y, z)∈U³ tel quex+y+z= 1.

1. D´emontrer que ¹_x+¹_y+¹_z = 1.

2. On suppose de plus que xyz= 1.

(a) D´emontrer quexy+yz+zx= 1.

(b) Calculerx,y etz.

Exercice 48 *

1. R´esoudre ^z−1_z+i =_z−1^z−i.

2. R´esoudre dansC\{2i}l’´equation :

2z−i z−2i =z

Se ramener à une équation du second degré dont les solutions sont1+

√2 2 +iÄ

1 +

√2 2

ä et1−

√2 2 +iÄ

1−

√2 2

ä .

Exercice 49 *

R´esoudrez⁴+z²+ 1 = 0et z⁴+ 6z²+ 25 = 0.

Exercice 50 **

1. (a) D´eterminer les racines cubiques dei.

(b) R´esoudrez⁶+ (2i−1)z³= 1 + idansC. 2. Comment proc´eder sous Maple^®?

Exercice 51 *

1. Quelles sont les racines carrées complexes de−2? 2. Résoudre l’équationz³+ 2z=z²+ 2.

Exercice 52 **

Pour toutz∈C, on pose :

P(z) =z³−z²−3z+ 6 1. Montrer que siz₀ est une racine deP alorsz₀l’est ´egalement.

2. D´eterminer trois r´eelsa,b etc tels que :

∀z∈C, P(z) = (z+ 2)(az²+bz+c)

3. R´esoudre l’´equationP(z) = 0.

Exercice 53 **

P(z) =z³+ (1 + i)z²+ (i−1)z−i 1. D´eterminer trois r´eelsa,b etc tels que :

∀z∈C, P(z) = (z+ai)(z²+bz+c) 2. En d´eduire les racines deP.

(9)

Exercice 54 **

P(z) =z⁴−6z³+ 23z²−34z+ 26 1. Montrer que siz0 est une racine deP alorsz0l’est ´egalement.

2. (a) CalculerP(1 + i).

(b) R´esoudre l’´equationP(z) = 0.

(c) Comment résoudre cette équation à l’aide de Maple^®?

Exercice 55 **

Soit l’équation(E)suivante à résoudre dansC:

z³+ (1−i)z²+ (1−i)z−i = 0 (E) 1. V´erifier que(E)a une solution imaginaire pure not´eeαet la calculer.

2. En déduire les autres solutions (notéesβ etγ) de cette équation.

3. On noteA,B etC les points d’affixeα,β,γ.

(a) Calculer ^β−γ_α .

(b) Que peut-on dire des droites(OA)et (BC)?

Exercice 56 **

P(z) = 2z⁴−6z³+ 9z²−6z+ 2 1. Montrer que siz₀ est une racine deP alors _z¹

0 etz₀ le sont ´egalement.

2. Pour toutz∈C^∗, on poseZ =z+¹_z.

(a) Démontrer que siz est une racine deP alorsZ est solution d’une équation que l’on résoudra.

(b) En d´eduire toutes les racines deP.

(c) Comment vérifier vos résultats à l’aide de Maple^®?

Exercice 57 *

R´esoudre dansCl’´equation(z+ 1)⁴= (z−1)⁴ de deux fa¸cons.

1. En utilisant les racines quatri`emes de l’unit´e.

2. En d´eveloppant.

Exercice 58 *

Soitn∈Nsupérieur ou égal à 2. Résoudre l’équation : (z+ 1)ⁿ= (z−1)ⁿ

Exercice 59 **

Soient(α, β, γ)∈R³eta= eîα,b= eîβetc= eîγ trois nombres complexes de module1tels quea+b+c= 0.

1. D´emontrer que

cos^β−γ₂ =¹₂. 2. En d´eduire que :

a³=b³=c³

(10)

Exercice 60 *

Soitt∈R. Résoudre l’équation ci-dessous d’inconnuez∈C(et préciser le cas des racines doubles) : z²−i(cost+ sint)z=sin 2t

2

Exercice 61 **

Soitα∈R\S

k∈Z{^π₂+kπ}, on notet= tanα.

1. (a) Déterminer la forme exponentielle dez= ^1+it_1−it. (b) Déterminer la forme algébrique dez.

2. En d´eduire une expression decos 2αetsin 2αen fonction detanα.

Exercice 62 **

On consid`ere l’´equation suivante d’inconnue z∈C: Å1 + iz

1−iz ã3

=1 +itanα 1−itanα 1. Préciser pour quelles valeurs deαetz cette équation est définie.

2. R´esoudre cette ´equation.

Exercice 63 *

On consid`ere la fonction suivante :

f : C\ {1} −→ C z 7−→ ^z+1_z−1 1. Montrer que|z|= 1 etz6= 1⇒f(z)imaginaire pur.

2. Résoudre les équationsf(z) =z etf(z) =iz (donner les formes algébriques des solutions).

Exercice 64 *

Soitx∈R. Calculer les parties r´eelles et imaginaires des nombres complexes suivants : a= (3−2i)e^5iπ⁶ b= (−2 + i)e^6−ix c=a+b

Exercice 65 *

R´esoudree^z+ 3i = 0.

Exercice 66 *

R´esoudre l’´equation suivante d’inconnuez∈C:

e^1+z=1−i√ 3 2

Exercice 67 *

Soita∈C. Quel est l’ensemble des pointsM d’affixeztelle que(z−a)(z−a) =aa?

Exercice 68 *

D´eterminer l’ensemble des pointsM d’affixez∈Ctelle que| −2iz+ i−4|= 2.

(11)

Exercice 69 *

D´eterminer l’ensemble des pointsM d’affixez∈Ctelle que|z+ i|= 1.

Exercice 70 **

On consid`ere la fonction suivante :

f : C\ {i} −→ C z 7−→ ^z+i_z−i 1. On veut démontrer la propriété ci-dessous par deux méthodes :

∀z∈C\ {i}, z∈R⇔ |f(z)|= 1 (a) En ´ecrivant que|f(z)|²=f(z)f(z).

(b) En interpr´etant graphiquement|f(z)|.

2. R´esoudre l’´equationf(z) =z.

Exercice 71 **

Soit(a, b)∈C²et AetB leurs points images. On consid`ere la fonction suivante : f : C\ {b} −→ C

z 7−→ ^z−a_z−b

Par ailleurs on noteM le point d’affixez∈C\ {b} etM⁰ le point d’affixef(z).

1. (a) Simplifier l’expression|f(z)−1| × |z−b|pour toutz∈C\ {b}.

(b) En déduire que siM décrit un cercle de centreB et de rayonr∈R^∗+alors le pointM⁰ est situé sur un cercle dont on donnera le centre et le rayon.

2. (a) Démontrer quef(z)∈Rsi et seulement siM appartient à un ensemble à déterminer.

(b) Démontrer quef(z)∈iRsi et seulement siM appartient à un ensemble à déterminer.

Exercice 72 *

Soit(a, b)∈R^∗×R. On consid`ere l’´equation :

az²+bz=az²+bz

Montrer que cette équation admet une infinité de solutions et les représenter graphiquement.

Exercice 73 *

1. (a) D´eterminer l’ensemble des complexesztelle quez etz² ont mˆeme module.

(b) Repr´esenter l’ensemble des points images de ces complexes.

2. D´eterminer l’ensemble des points d’affixez telle que|z|= _|z|¹ =|z−1|.

Exercice 74 *

Quel est l’ensemble des points M d’affixeztelle que |z+ i|=|z+ i|?

Exercice 75 **

On se place dans le plan complexe. SoientA(−1)etB(1)et E l’ensemble des points distincts deO,Aet B.

A tout point` M ∈ E d’affixez on associe les pointsN d’affixez² etP d’affixez³. 1. D´emontrer que les pointsM,N et P sont deux `a deux distincts.

2. D´emontrer queM N P est un triangle rectangle enP si et seulement si : Å

z+1 2

ã Å z+1

2 ã

= 1 4

3. En d´eduire l’ensemble des pointsM tels que le triangleM N P est rectangle.

(12)

Exercice 76 **

On se place dans le plan complexe et on noteAetB les point d’affixe1et−1respectivement. De plus, pour toutz∈C, on consid`ere les pointsM et M⁰ d’affixeszet z³ respectivement.

1. À quelle condition les pointsA, M etM⁰ sont-ils deux à deux distincts ? 2. (a) Développer(z−1)(z²+z+ 1).

(b) On suppose dans cette question queA, M et M⁰ sont deux à deux distincts. Déterminer l’ensemble des pointsM tels queA, M etM⁰ sont alignés.

3. Repr´esenter l’ensemble des points tels queA,M etM⁰ sont align´es.

Exercice 77 **

1. R´esoudre dansCl’´equationzz+ 1 =z+z.

2. Soita∈R. On cherche par deux méthodes l’ensemble des pointsM d’affixez vérifiant l’équation(E): zz+ 1 =z+z+a

(a) En d´ev´eloppant|z−1|².

(b) En utilisant la forme alg´ebrique dez.

Exercice 78 *

Quel est l’ensemble des points M d’affixeztelle que Arg^z+2i_z+2 = ^π₂ (π)?

Exercice 79 **

Soient AetB deux points distincts d’affixesaetb.

D´eterminer l’ensemble des pointsM tels que :

Re (z−a)(b−a)

= 0

Exercice 80 *

SoitA(1)et B(2i). D´eterminer les pointsM tels queABM est ´equilat´eral.

Exercice 81 **

Soient AetB deux points distincts deO tels queOAB est un triangle isoc`ele en O.

1. (a) D´emontrer, `a l’aide des complexes, que :

(BO,# » BA) = (# » AB,# » AO) (2π)# » (b) Qu’a-t-on démontré d’un point de vue géométrique ?

2. SoitC un point du cercle de centreO passant parA.

(a) D´emontrer que

(# » CA,# »

CB) =1 2(# »

OA,# » OB) (π) (b) Quels théorèmes classiques de géométrie peut-on en déduire ?

Exercice 82 **

Soient A,B etC trois points distincts deux `a deux d’affixesa,b etc respectivement.

1. (a) D´emontrer que :

ABC´equilat´eral direct⇔a+bj +cj²= 0

(b) Donner une condition nécessaire et suffisante assurant le fait que ABC est équilatéral indirect.

2. Déterminerz∈Ctel que les points d’affixes1,zet z² forment un triangle équilatéral.

(13)

Exercice 83 **

SoitAle point d’affixe ³₈, M le point d’affixez∈CetN le point d’affixez². 1. `A quelle condition ces points sont-ils deux `a deux distincts ?

2. `A quelle condition le triangleAM N v´erifie-t-il(# »

AM ,# »

AN) = ^π₆ (2π)et (# »

N A,# »

N M) =^π₃ (2π)?

Exercice 84 **

On note A le point d’affixe 1 et pour tout z ∈ C\{1}, on consid`ere M le point d’affixe z et M⁰ le point d’affixez⁰ tel que :

z⁰ =z−1 1−z 1. `A quelle condition sur M a-t-onA=M⁰?

2. (a) Démontrer quez⁰∈Uet interpréter graphiquement cette propriété.

(b) Démontrer que ^z_z−1⁰⁻¹ ∈Ret interpréter graphiquement cette propriété.

3. Donner une construction g´eom´etrique deM⁰ connaissant M.

Exercice 85 **

SoitA etB les points d’affixes−1et −i. `A tout pointM d’affixez tel queM 6=B, on associe le pointM⁰ d’affixe :

z⁰= i +z i−z 1. (a) D´emontrer queM⁰ appartient au cercle trigonom´etrique.

(b) `A quelle condition sur M a-t-onA=M⁰? (c) D´emontrer que siM⁰6=AalorsÄ# »

BM ,# » AM⁰ä

=^π₂ (π).

2. (a) En déduire une construction géométrique deM⁰ connaissantM.

(b) Donner, par une construction g´eom´etrique, l’ensemble des pointsM tels queM⁰=B.

Exercice 86 *

Soient A,B,C etD les points d’affixesa=−1 + i,b=−1−i,c= 2i etd= 2−2i.

1. (a) Calculer ^c−a_d−a et ^c−b_d−b.

(b) Comment effectuer ces calculs sous Maple^®?

2. Que peut-on en d´eduire concernantACD?BCD? les quatres points A,B,C etD?

Exercice 87 **

SoitM un point d’affixe z∈Cet A,Let M⁰ les points d’affixes1,ietiz.

1. Donner une condition n´ecessaire et suffisante assurant que les pointsL,M etM⁰sont deux `a deux distincts.

2. D´eterminer l’ensemble des pointsM tels queL,M et M⁰ sont align´es.

Exercice 88 **

1. SoitΩle point d’affixeω= ¹⁺ⁱ₂ etCle cercle de centreΩet passant parO. Soit enfinM un point d’affixe z∈C.

(a) Traduire `a l’aide d’un module le fait que M ∈ C.

(b) En d´eduire que :

M ∈ C ⇔2zz= (1−i)z+ (1 + i)z 2. On consid`ere le pointM⁰ d’affixeiz etLet Ales points d’affixesiet 1.

(a) Montrer que siM =O ouM =LouM =Aalors les pointsL, M etM⁰ sont align´es.

(b) D´emontrer que :

L, M, M⁰ align´es ⇔M ∈ C

(14)

Exercice 89 **

1. Déterminer la forme complexe de la rotationrde centreΩ(−1) et d’angle ^π₃ et préciser l’image parrdu pointA d’affixee⁻îπ³.

2. Soittla transformation qui `a tout pointM d’affixezassocie le pointM1d’affixez1=z−√

3i. Caract´eriser la transformation t.

3. D´eterminer les images par l’inversion complexe de1 + iet 1 + e^iπ³.

Exercice 90 **

Soitf la transformation du plan dont l’´ecriture complexe est : z⁰+ 3−4i = 2(z+ 3−4i) 1. Quelle est la nature def?

Reconnaˆıtre une homoth´etie.

2. D´eterminer l’imageC⁰ parf du cercleC de centreA(−2 + i)et de rayon 1.

Exercice 91 **

On consid`ere l’applicationsdeP dansP dont l’´ecriture complexe est : z⁰= 1 + i

2 z 1. Reconnaˆıtre l’applications.

2. On posez₀= 2et :

∀n∈N, z_n+1=z_n⁰ (a) Simplifier le quotient ^zⁿ_−z^−zⁿ⁺¹

n+1 .

(b) On noteAn le point image dezn. Quel est la nature deOAnAn+1?

Exercice 92 **

SoitA(2 + i),B(1 + 3i)etC(−1 + 2i).

1. Que dire de ABC?

2. D´eterminerD de sorte queC soit l’isobarycentre deABD.

3. D´eterminer le couple (a, b)∈ C² tel que z⁰ =az+b soit l’´ecriture complexe de la similitude directe de centre AenvoyantB surC.

Exercice 93 *

SoitR(3 + i),S(2i)et T(2−2i) trois points du plan.

1. Calculer ^z_z^T^−z^R

S−z_R et en déduire la nature du triangleRST. 2. Déterminer l’affixe du pointU tel queRST U soit un carré.

Exercice 94 **

Soitρ >0,θ∈R. On considère l’équation(E)ci-dessous : z²=ρeîθz 1. Résoudre(E).

2. Démontrer que les images des solutions non nulles de(E)sont les sommets d’un triangle équilatéral dont O est le centre de gravité par deux méthodes.

(a) `A l’aide d’une rotation d’angle ^π₃. (b) `A l’aide d’une similitude directe.

(15)

Exercice 95 **

Soient Aet B deux points distincts deO d’affixesaet b. On consid`ere de plus C le point tel queABC est un triangle direct isoc`ele rectangle enC.

1. (a) Justifier queCest l’image deApar une similitude `a pr´eciser.

(b) En d´eduire une expression decaffixe de Cen fonction de aetb.

2. Déterminer de même det e affixes de D et E tels que OAD et BOE sont des triangles directs isocèles rectangles respectivement enD etE.

3. Que dire des segments[AE]et[DC]?

Exercice 96 **

SoitABCD un quadrilat`ere indirect non crois´e. On notea, b,cet dles affixes des pointsA, B,Cet D.

1. (a) On construit, extérieurement àABCDle pointM(m)tel queAM Best isocèle rectangle. En utilisant une similitude directe de centre A, exprimermen fonction deaetb.

(b) On construit également, extérieurement à ABCDles pointN(n),P(p)etQ(q)tel queBN C,CP D et DQAsoient isocèles rectangles. Exprimern,petqen fonction de a,b,c etd.

2. (a) D´emontrer que les vecteurs # »

M P et # »

N Qsont orthogonaux et de mˆeme norme.

(b) À quelle condition le quadrilatèreM N P Qest-il un carré ?

Exercice 97 **

Soit A, B et C trois points distincts deux à deux d’affixesa, b et c respectivement tels que ABC est un triangle direct. On construit extérieurement à ABC les points A⁰, B⁰ et C⁰ de sorte que les triangles CBA⁰, ACB⁰ et BAC⁰ soient équilatéraux.

1. Calculer les affixes deA⁰,B⁰ etC⁰ en fonction de a,bet c.

2. (a) D´emontrer que(# » AA⁰,# »

BB⁰) = ^2π₃ (2π)et AA⁰=BB⁰. (b) Comment peut-on généraliser les égalités précédentes ?

Exercice 98 **

Soit A, B et C trois points distincts deux à deux d’affixesa, b et c respectivement tels que ABC est un triangle direct. On construit extérieurement à ABC les points A⁰, B⁰ et C⁰ de sorte que les triangles CBA⁰, ACB⁰ et BAC⁰ soient équilatéraux. Enfin on noteL,M etN les isobarycentres de ces triangles équilatéraux.

1. (a) Justifier queLest l’image deB par une similitudes₁ de centreC et en pr´eciser l’angle et le rapprt.

(b) En d´eduire l’affixeldeL.

(c) Donner ´egalement les affixes deM et N.

2. Démontrer queLM N est un triangle équilatéral direct.

Exercice 99 **

Soita∈R^∗,Ale point d’affixeaetM un point d’affixe z∈C^∗.

1. Démontrer queRez=asi et seulement siM appartient à une droitedà déterminer.

2. On noteA⁰ etM⁰ les images deAet M par l’inversion complexe etC le cercle de diam`etre[OA⁰].

(a) D´emontrer queM ∈dsi et seulement siM⁰∈ C\{O}.

(b) En déduire une construction deM⁰ à la règle et au compas.

(16)

Exercice 100 **

Soitz∈C^∗ etM d’affixez etM⁰ l’image de M par l’inversion complexe.

1. SoitAun point d’affixe a∈C^∗et C le cercle de centreApassant par O.

(a) D´emontrer queM ∈ C\{A} si et seulement sizz=az+az.

(b) Soit B(b) le point de C diamètralement opposé à O et B⁰ l’image de B par l’inversion complexe.

D´emontrer que :

M ∈ C\{A} ⇔(# » B⁰O,# »

B⁰M⁰) =π 2 (π) (c) Interpréter géométriquement la relation précédente.

2. Quelle est l’image d’une droitedne passant pas parO par l’inversion complexe ?

Exercice 101 *

Les ensembles ci-dessous sont-ils des groupes (justifier la r´eponse) ? (N,×) (Z,+) (C,×)