´Episode II : Nombres complexes et r´ecurrences lin´eaires

UNIVERSIT ´E MONTESQUIEU BORDEAUX IV 2^`emeann´ee Licence Eco-Gestion

Semestre 1 2013/2014

´Episode II : Nombres complexes et r´ecurrences lin´eaires

E

1

Mettre sous forme alg´ebrique les nombres suivants : 1. 5 + 2i

−3 +i 2.

2−5i 3i

3.

1−i 1 +i

²

4.

2 +i⁵ 1 +i¹⁵

²

5. (1 +i)⁶ 6. (1 +i)⁸ 1−i√

3

7. (1 + 2i)(2−3i)(3−2i)

E

2

Rechercher les modules et arguments des nombres complexes suivants : 1. 1−i

2. (√

3 +i)×

√3 +i 1−i

3. 1 +√

√ 3i 3 +i 4. (1 +i)⁸(1−√

3i)⁻⁶

E

3

R´esoudre dansC: 1. 2z²−6z+ 5 = 0 2. z²+ 3 = 0 3. z²+z+ 1 = 0

4. z³+ 1 = 0 5. z⁴−1 = 0

6. z⁴−2z³−z²−2z+ 1 = 0(on pourra poserZ =z+1 z)

E

4

D´eterminer la forme trigonom´etrique et exponentielle des nombres suivants : 1. z= 3i

2. z= 1−i 3. z=−1 +i√

3 4. z= 1−i√

3 1 +i

5. z= 1−i

1 +i ²

6. z=−√ 2

cosπ

3 +isinπ 3

7. z= cosπ

8 +isinπ 8

⁶

E

5

Soitz1=√

2(1 +i)etz2=

√3−i

2 . SoitZ =z1

z2

. 1. D´eterminer la forme alg´ebrique deZ.

2. (a) D´eterminer une forme exponentielle dez1etz2. (b) D´eterminer une forme exponentielle deZ. 3. (a) En d´eduire la valeur exacte decos5π

12 etsin5π 12. (b) D´eterminer alorscos π

12etsin π 12.

E

6

Calculer de deux fac¸ons diff´erentes le nombre e^ix4

(pourx∈ R) et en d´eduire les expressions decos 4xet sin 4xen fonction decosxetsinx.

E

7

Soienta,b ∈ N. On suppose quea = x² +y² etb = z² + t²avecx,y,z,t ∈ Z. D´emontrer que le produitabest encore la somme de deux carr´es.

E

8

R´esoudre les ´equations de r´ecurrence suivantes, en exprimant les solutions en fonction deu0: 1. ut+1= 3ut+ 4 u0= 1 puisu0=−2 avecvt=b

2. 3u^t−2u^t₋1= 3

2

3 ^t

u0= 1 avecvt=bt

2

3 ^t

3. ut+1+³₅ut= 6 + 19 ²₃^t

u0= 14 avecvt=b etwt=b

2

3 ^t

4. u^t−u^t₋1= 2t+ 1 u0= 1 avecv^t=t(at+b)

E

9

R´esoudre les ´equations de r´ecurrence suivantes en exprimant les solutions en fonction des deux premiers termesu0etu1:

1. 2ut+2+ 3ut+1+ut= 2 −¹2

^t

+ 3.2^t u0= 0 u1= 1 avecvt=bt −¹2

^t

etwt=b2^t 2. ut+2−2ut+1+ 4ut= 2t−1 u0= 0 u1= 3 avecvt=at+b

3. ut+2−2ut+1+ut=t+ 1 u0= 1 u1= 2 avecvt=t²(at+b)

4. ut+2+ut+1−2ut= 6 + 3.(−2)^t u0= 1 u1= 2 avecvt=bt etwt=bt(−2)^t

E

10

Ctd´esigne la consommation durant la p´eriodet,Ytle revenu durant cette p´eriode etItl’investissement pen- dant cette p´eriode.

On suppose que :

Ct= 0.8Y^t₋1

It= 0.6 (C^t−Ct−1) +I o `uIest une constante (investissement autonome).

1. En utilisant la relationYt=Ct+It, montrer que la suite(Y^t)est solution de l’´equation de r´ecurrence : Yt−1.28Y^t₋1+ 0.48Y^t₋2=I

2. Montrer que cette ´equation admet une solution constante.

3. Ecrire la solution g´en´erale de cette ´equation en fonction d’une solution complexer1de l’´equation ca- ract´eristique. Montrer que le module der1est strictement inf´erieur `a 1 et en d´eduire le comportement asymptotique de(Y^t).