MT 28 - Printemps 2017
Examen du 30 juin 2017: 8h00-10h00
Exercice 1 Etudier l’existence et l’unicit´e de la solution de l’´equation diff´erentielle y0(t) = |y|
1 +t2.
Exercice 2: R´esoudre explicitement le probl`eme de Cauchy,
y0(t) = ey2(t)(t+t3)
y(t) pourt >0 y(0) = 1.
Exercice 3: On consid`ere l’´equation diff´erentielle vectorielle X0(t) =AX(t) pour t >0
o`u A est une matrice 2×2 diagonalisable et d’´el´ements propres (λ1,V1) et (λ2,V2).
a. Rappeler la d´efinition de l’exponentielle de la matrice A et rappeler la solution de l’´equation diff´erentielle vectorielle ci-dessus `a l’aide d’une exponentielle.
b. D´emontrer que la solution g´en´erale de l’´equation diff´erentielle s’´ecrit X(t) =c1eλ1tV1+c2eλ2tV2
o`u c1 etc2 sont deux constantes quelconques et en d´eduire l’expression de l’exponentielle de la matrice tA.
c. En d´eduire la solution g´en´erale de l’´equation diff´erentielle vectorielle pour la matrice A=
1 1 4 −2
.
d. Puis d´eduire la solution passant par la condition initiale X0 = 1
0
` a t= 0.
e. Calculer la solution de l’´equation avec second membre X0(t) = AX(t) +
1 e−t
en utilisant la formule de Duhamel et l’expression de l’exponentielle d’une matrice trouv´ee
`
a la question b. (Attention: il est inutile de r´epondre `a cette question par une m´ethode diff´erente).
1
Exercice 4: On consid`ere l’´equation diff´erentielle
y0(t) =f(t, y) pour t >0. (1)
a. En utilisant l’approximation de la d´eriv´ee par la formule du point milieu y0(t+ h
2) = y(t+h)−y(t)
h +O(h),
construire le sch´ema suivant
yn+1 =yn+hf(tn+h
2, yn+h
2f(tn, yn))
appel´e lesch´ema du point milieu pour la r´esolution de l’´equation diff´erentielley0 =f(t, y).
b. Utiliser la condition de consistance `a l’ordre 1
f(t, y) = Φ(t, y,0) (2)
pour v´erifier que le sch´ema du point milieu est consistant `a l’ordre 1.
c. Etudier la stabilit´e du sch´ema dans le cas o`u y 7→ f(t, y) est lipschitzienne uni- form´ement par rapport `at et en d´eduire s’il est convergent?
d. Etudier la convergence dans le cas particulier o`u f(t, y) =e−y + cos(t).
e. D´eterminer la condition de stabilit´e absolue pour le probl`eme mod`ele y0 = λy en fonction de z =hλ.
Exercice 5: Le champ de temp´eratureT(t, x) dans un barreau de longueur L = 1 dont les deux extr´emit´es sont isol´ees et dont la temp´erature initiale est ´egale `a T0(x) est r´egi par le probl`eme aux limites suivant,
∂T
∂t(t, x)−k∂2T
∂x2(t, x) = 0 pour x∈]0,1[ et t >0
∂T
∂x(t,0) = 0, ∂T
∂x(t,1) = 0 pour t >0, etT(0, x) = T0(x) pour x∈]0,1[.
a. Quelle est la nature de cette ´equation aux d´eriv´ees partielles?
b. Est-ce que les conditions initiales et aux limites sont en bon nombre?
c. D´emontrer que ce probl`eme est ´equivalent `a la formulation variationnelle construite avec l’espace de fonctions admissibles VN =H1(]0,1[): pour tout t >0
x7→u(t, x)∈ VN et
Z 1 0
∂T
∂t(t, x)v(x) +k∂T
∂x(t, x)∂v
∂x(x) dx= 0 pour tout v ∈ VN, munie la condition initiale
T(0, x) =T0(x) pour x∈]0,1[.
2
