equation diff´ erentielle scalaire d’ordre 1 par la m´ ethode d’Euler

(1)

Lyc´ee Benjamin Franklin PT−2012-2013

D. Blotti`ere Maple

TP n˚5

Solutions approch´ ees d’une

´

equation diff´ erentielle scalaire d’ordre 1 par la m´ ethode d’Euler

Table des mati` eres

1 Biblioth`eques 2

2 Champ des vecteurs tangents et courbes int´egrales d’une EDS1 2

2.1 La théorie générale et un exemple de référence . . . 2

2.2 Etude d’une ´equation diff´erentielle `´ a champ de vecteurs tangents radial . . . 4

2.3 Etude d’une ´equation diff´erentielle de Riccati . . . .´ 6

3 Méthode d’Euler pour résoudre une EDS1 7 3.1 La méthode d’Euler : but et idée initiale . . . 7

3.2 Le principe de la m´ethode d’Euler . . . 7

3.3 Un exemple d’application de la m´ethode d’Euler^≪`a la main^≫ . . . 9

3.4 Proc´edure Maple . . . 11

(2)

1 Biblioth` eques

Dans ce TP, nous allons étudier des équations différentielles et afficher des graphiques (des courbes par exemples).

Pour pouvoir utiliser les fonctions Maple ayant trait aux équations différentielles, on charge la bibliothèque DEtoolsen saisissant la ligne suivante.

with(DEtools) ;

Les fonctions Maple gérant l’interface graphique sont rassemblées dans la bibliothèqueplots. Pour la charger, on saisit la ligne suivante.

with(plots) ;

2 Champ des vecteurs tangents et courbes int´ egrales d’une EDS1

2.1 La th´ eorie g´ en´ erale et un exemple de r´ ef´ erence

Définition (L’équation différentielle scalaire(E))

Soit I un intervalle de R et soit f: I×R → R une fonction de classe C¹ sur I×R. On considère l’EDS1 ( Équation Différentielle Scalaire d’ordre 1)

(E) : x^′ =f(t, x)

d’inconnue une fonction xde la variable t, `a valeurs dans R, d´efinie et d´erivable sur un sous-intervalleJ de I.

Exemple de référence L’équation différentielle

(E1) : x^′=−2t x

est une EDS1. C’est une EDS1 d’un type particulier, car elle est lin´eaire et homog`ene.

D´efinition (Champ des vecteurs tangents de (E))

On noteE l’ensemble des vecteurs du plan. Le champ des vecteurs tangents de(E)peut être défini comme étant l’application

X: I×R→ E; (t, y)7→−→

u(1, f(t, y)) Exemple de r´ef´erence (suite)

Le champ des vecteurs tangents de (E1) peut être défini comme étant l’application X1:R²→ E; (t, y)7→−→

u(1,−2ty)

Pour représenter ce champ de vecteurs, on représente en chaque point de coordonnéesM(t, y) du plan le vecteur

−

→u(1,−2ty) en prenant comme origine le point M.

Pour visualiser ce champ de vecteurs, on peut saisir les lignes de commandes suivantes.

X1 := dfieldplot(diff(x(t),t)=-2*t*x(t),x(t),t=-3..3,x=-20..20,color=blue) ; display(X1) ;

Dans la premi`ere ligne, on construit une partie du champ des vecteurs tangents de (E1) et on l’affecte dans la variableX1. La seconde ligne permet d’obtenir l’affichage deX1.

On observe que l’on n’obtient pas exactement l’affichage du champ des vecteurs tangents, pour deux raisons.

1. On n’a pas associé à tous les points de la fenêtre graphique [−3,3]×[−20,20] son vecteur. Seuls certains vecteurs tangents ont été affichés (ceci pour ne pas surcharger la figure).

2. Tous les vecteurs tracés ont la même norme. En fait, on a renormalisé les vecteurs tangents pour qu’ils aient la même norme (ceci permet d’avoir une figure plus lisible).

Ces modifications n’affectent en rien l’intérêt que l’on peut porter à cette dernière figure (cf. théorème suivant).

(3)

Théorème (Propriété fondamentale du champ des vecteurs tangents)

Les courbes intégrales de(E)(i.e. les courbes représentatives des solutions de (E)) ^≪épousent^≫ le champ de vecteurs X.

D´emonstration

En effet, considérons une solutionxde (E) définie sur un intervalleJ. Soitt∈J. Alors le pointM d’abscisset de la courbe représentativeC dexa pour coordonnées

(t, x(t)).

Au pointM, la tangenteTM `a la courbeC a pour coefficient directeur

x^′(t) =f(t, x(t)) (carxest une solution de (E) surJ) ce qui peut aussi se reformuler en disant que la droiteTM est dirig´ee par le vecteur

−

→u(1, f(t, x(t))) qui est un des vecteurs du champX (le vecteur associ´e `a (t, x(t))).

Corollaire (Conjecture de l’allure des courbes intégrale à l’aide du champ des vecteurs tangents) Comme les courbes intégrales de(E)^≪épousent^≫ le champ de vecteursX, on peut à l’aide de la représentation graphique deX conjecturer l’allure des courbes intégrales de(E).

Exercice 1

En utilisant le graphique de X1 obtenu précédemment grâce à Maple, conjecturer l’allure de quatre courbes intégrales de (E1).

5 10 15 20

−5

−10

−15

−20

1 2 3

−1

−2

−3

(4)

Exemple de r´ef´erence (suite)

On va maintenant tracer une famille de courbes intégrales de (E1) sur le champX1, afin de vérifier les conjec- tures émises dans l’exercice 1.

1. Résolution de l’équation différentielle (E1)

On affecte dans la variableSolutions1la^≪forme g´en´erale d’une solution de (E1)^≫ en saisissant la ligne suivante.

Solutions1 := dsolve(diff(x(t),t)=-2*t*x(t)) ;

Le symbole_C1qui apparaˆıt désigne une constante réelle quelconque. On en déduit que l’ensemble solution de (E1) surRest la droite vectorielle deF(R,R) engendrée par la fonction

R→R; t7→e⁻^t².

Ce résultat aurait bien sûr pu être obtenu sans Maple, en résolvant^≪à la main^≫ l’équation (E1) surR.

En effet, (E1) est une équation différentielle linéaire homogène d’ordre 1 et on sait résoudre explicitement de telles équations, à condition de savoir déterminer une certaine primitive (ici il s’agit de déterminer une primitive de la fonction R→R; t 7→2tet la fonctionR→R; t 7→t² convient).

On peut prélever le membre de droite (right hand side en anglais) du résultat affecté dans la variable Solutions1grâce à la commanderhsde Maple, en saisissant la ligne suivante.

rhs(Solutions1) ;

2. Construction d’une liste de courbes int´egrales (E1)

On construit la liste des courbes repr´esentatives des solutions de (E1) y^K:R→R; t7→K e⁻^t²

au-dessus de l’intervalle [−3,3] (cf. choix de la fenêtre graphique pour tracer le champ de vecteurs X1) pour K ∈J−20,20Ken saisissant les lignes suivantes. Dans le code, la constante réelleK est remplacée par_C1(cf. ^≪forme générale d’une solution de (E1)^≫ retournée par Maple).

L1:= NULL ; # Initialisation de la liste L1 `a la liste vide not´ee NULL for _C1 from -20 to 20 by 1 do

L1 := L1 , plot( rhs(Solutions1) , t=-3..3 , color=red ) ; od:

3. Trac´es

Enfin, on trace le champ de vecteurs X1 ainsi que la famille de courbes int´egrales construite en 2., en saisissant la ligne suivante.

display( X1 , L1 ) ;

Exercice 2

A l’aide du précédent graphique, discuter de la validité des quatre allures de courbes intégrales représentées` dans l’exercice 1.

2.2 Etude d’une ´ ´ equation diff´ erentielle ` a champ de vecteurs tangents radial

On se propose ici d’adapter l’étude faite dans l’exemple de référence dans d’autres situations.

Exercice 3

On considère l’équation différentielle

(E2) : x^′= 1 tx d’inconnue une fonction d´erivablex: ]0,+∞[→Rde la variablet.

(5)

1. D´efinir une variableChamp2dans laquelle on affectera le champ des vecteurs tangents de (E2). On choisira comme fenˆetre graphique [0.01,3]×[−7,7].

2. Afficher le champ de vecteursChamp2.

3. À l’aide du graphique précédent, conjecturer l’allure de quatre courbes intégrales de (E2).

2 4 6 8

−2

−4

−6

−8

1 2 3

4. Affecter dans la variable Solutions2^≪la forme g´en´erale d’une solution de (E2)^≫.

5. Traduire mathématiquement le résultat livré par Maple à la question précédente et le démontrer.

6. Construire une liste L2de courbes repr´esentatives des solutions de (E2) au-dessus de l’intervalle [0.01,3]

(cf. choix de la fenˆetre graphique pour tracer le champ de vecteurs X2).On fera en sorte que la liste L2 soit pertinente.

7. Afficher sur la mˆeme figure le champ de vecteursChamp2ainsi que la liste de courbes int´egrales construite en 5.

8. Discuter de la validité des quatre allures de courbes intégrales représentées à la question 3.

(6)

2.3 Etude d’une ´ ´ equation diff´ erentielle de Riccati

Exercice 4

On considère l’équation différentielle

(E3) : x^′ =−4 t² −1

tx+x² d’inconnue une fonction d´erivablex: ]0,+∞[→Rde la variablet.

1. D´efinir une variableChamp3dans laquelle on affectera le champ des vecteurs tangents de (E3). On choisira comme fenˆetre graphique [0.01,3]×[−20,20].

2. Afficher le champ de vecteursChamp3.

3. À l’aide du graphique précédent, conjecturer l’allure de quatre courbes intégrales de (E3).

2 4 6 8 10 12 14 16 18

−2

−4

−6

−8

−10

−12

−14

−16

−18

−20

1 2 3

4. Affecter dans la variable Solutions3^≪la forme g´en´erale d’une solution de (E3)^≫.

(7)

5. Construire une liste L3de courbes repr´esentatives des solutions de (E3) au-dessus de l’intervalle [0.01,3]

(cf. choix de la fenˆetre graphique pour tracer le champ de vecteurs X3).On fera en sorte que la liste L3 soit pertinente.

6. Afficher sur la mˆeme figure le champ de vecteursChamp3ainsi que la liste de courbes int´egrales construite en 5.

7. Discuter de la validité des quatre allures de courbes intégrales représentées à la question 3.

3 M´ ethode d’Euler pour r´ esoudre une EDS1

3.1 La m´ ethode d’Euler : but et id´ ee initiale

But de la m´ethode d’Euler

On considère à nouveau l’équation différentielle scalaire d’ordre 1 (E) : x^′ =f(t, x)

définie dans la partie 2.1. La méthode d’Euler a pour but de construire des solutions approchées de (E).

Deux observations ^≪cl´e^≫

Soitxune solution de (E) d´efinie sur un sous-intervalleJ deI. On fait les deux observations suivantes.

1. On note C la courbe repr´esentative de x. Alors en tout point t ∈ J, la tangente TM au point M de C d’abscisset(qui a donc comme coordonn´ees (t, x(t))) fournit une bonne approximation locale de la courbe C.

2. La tangente TM est la droite passant par le pointM(t, x(t)) et de coefficient directeurx^′(t) =f(t, x(t)), cette dernière égalité venant du fait que xest solution de (E).

Des deux observations précédentes, on déduit la remarque fondamentale suivante.

Remarque fondamentale `a l’origine de la m´ethode d’Euler

Si la courbe représentativeCde xpasse par le point de coordonnées(t, y), alors une bonne approximation locale de C est donnée par la droite

passant par le point de coordonn´ees(t, y); de coefficient directeurf(t, y).

Il y a un lien très ténu entre cette remarque et la propriété fondamentale du champ des vecteurs tangents de (E). Il s’agit en fait d’une reformulation (vecteurs directeurs versus coefficient directeur d’une droite).

3.2 Le principe de la m´ ethode d’Euler

Donn´ees initiales de la m´ethode d’Euler

On considère à nouveau l’équation différentielle scalaire d’ordre 1 (E) : x^′ =f(t, x) définie dans la partie 2.1. ainsi que les trois données suivantes :

• un pointt0 deI (temps initial) ;

• un nombre r´eelx0 (valeur au temps initial) ;

• un nombre r´eel strictement positifT (dur´ee de vie) tel quet0+T ∈I;

• N un entier naturel non nul (nombre de pas).

Hypoth`ese additionnelle (probl`eme d’existence)

On sait que si la solutionxde (E) sur [t0, t0+T] telle quex(t0) =x0existe, alors elle est unique (théorème de Cauchy-Lipschitz). En revanche, il n’est pas certain que la solutionxexiste sur l’intervalle [t0, t0+T] (considérer par exemple certaines courbes intégrales obtenues dans l’exercice 4). Dans la suite, afin de donner de la consis- tance à notre explication, on supposera que cette solution existe.

(8)

R´esultat de la m´ethode d’Euler

La m´ethode d’Euler permet d’obtenir une approximation de la solution x de (E) sur [t0, t0+T] telle que x(t0) =x0par une fonction xeaffine sur chacun des intervalles

t0+kT

N , t0+(k+ 1)T N

(k∈J0, N−1K) de longueur T

N obtenus en d´ecoupant l’intervalle [t0, t0+T] en N intervalles de mˆeme longueur. Compte tenu de la nature de la fonctionx, il suffit de connaˆıtre ses valeurs en chacun des pointse

t0, t1=t0+ T

N , t2=t0+2T

N , t3=t0+3T

N , . . . , t^N₋1=t0+(N−1)T

N , t^N =t0+N T

N =t0+T.

pour la d´eterminer compl`etement. Aussi la seule connaissance de la liste :

[t0,x(te 0)], [t1,x(te 1)], [t2,ex(t2)], [t3,ex(t3)], . . . , [t^N₋1,ex(t^N₋1)], [t^N,ex(t^N)]

suffit-elle pour d´eterminer la fonctionx.e

Construction de proche en proche des points [t^k,x(te ^k)], o`uk∈J0, NK

• Initialisation

Le pointt0est déjà défini (c’est une des données). On pose x(te 0) =x0

oùx0est une des données. Ce choix est pertinent car on cherche à approximer la solution de (E) vérifiant x(t0) =x0. Les fonctionsxetxeont donc même valeur ent0.

• Du point [t^k,x(te ^k)] au point [t^k+1,x(te ^k+1)],k∈J0, N−1K

Soitk∈J0, N−1Ktel que le point [t^k,ex(t^k)] est construit. On pose t^k+1=t0+(k+ 1)T

N .

Il reste à construire ex(tk+1). Cette construction, détaillée ci-dessous, s’appuie sur ^≪la remarque fondamentale à l’origine de la méthode d’Euler^≫ (cf. page précédente).

1. On calculef(t^k,x(te ^k)) qui serait le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de x, sixpassait effectivement par le point de coordonnées (t^k,x(te ^k)).

2. On calcule une équation cartésienne de la droiteDk qui passe par le point de coordonnées (t^k,x(te ^k)) et qui a comme coefficient directeurf(t^k,x(te ^k)).

3. On définitex(t^k+1) comme étant l’ordonnée du point deDk d’abscissetk+1.

Droite Dk passant par le point de coordonn´ees (t^k,x(te ^k)) et de coefficient directeurf(t^k,x(te ^k))

b b

b

t_k

b

tk+1

b

e x(tk)

b

e x(t_k+1)

(9)

3.3 Un exemple d’application de la m´ ethode d’Euler

^≪

` a la main

^≫

Exercice 5

On consid`ere ici l’EDS1

(E) : x^′ =−1

2x+t−2 et les donn´ees suivantes :

• t0= 0 (temps initial) ;

• x0= 8 (valeur au temps initial) ;

• T = 10 ;

• N = 5 (nombre de pas).

1. D´eterminer les points

[t0,ex(t0)], [t1,x(te 1)], [t2,x(te 2)], [t3,ex(t3)], [t4,ex(t4)], [t5,x(te 5)]

obtenu par la m´ethode d’Euler, et fournissant une approximation de la solutionxde (E) sur [0,10] telle quex(0) = 8.

(10)

2. Placer les points

[t0,ex(t0)], [t1,x(te 1)], [t2,x(te 2)], [t3,ex(t3)], [t4,ex(t4)], [t5,x(te 5)]

sur le graphique ci-dessous.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

−1

−2

−3

−4

2 4 6 8 10

3. D´eterminer l’unique solution xde (E) surRtelle que x(0) = 8 `a l’aide de Maple.

4. Tracer la courbe repr´esentative dexau-dessus de [0,8] et discuter de la qualit´e de l’approximation obtenue.

(11)

3.4 Proc´ edure Maple

Exercice 6

1. Construire une proc´edure Maple nomm´eeMethode_Eulerd’arguments

• une fonctionf de deux variables réelles, à valeurs réelles (servant à définir l’EDS1) ;

• un nombre r´eelt0 (temps initial) ;

• un nombre r´eelx0 (valeur au temps initial) ;

• un nombre r´eel positif T (dur´ee de vie) ;

• un nombre entier non nul N (nombre de pas) retournant la liste des points

[t0,ex(t0)], [t1,ex(t1)], [t2,x(te 2)], [t3,ex(t3)], . . . , [t^N₋1,ex(t^N₋1)], [t^N,x(te ^N)]

fournissant une solution approch´ee de la solutionxde l’´equation (E) : x^′=f(t, x) sur [t0, t0+T] telle quex(t0) =x0.

Indication : Pour construire une liste de proche en proche, on pourra s’inspirer de la construction de la liste L1donn´ee `a la page 4.

2. On consid`ere `a nouveau l’EDS1

(E) : x^′=−1

2x+t−2 et les donn´ees suivantes :

• t0= 0 (temps initial) ;

• x0= 8 (valeur au temps initial) ;

• T = 10 ;

• N = 5 (nombre de pas).

(a) Exécuter la procédureMethode_Euleravec ces données.

(b) Afficher le graphe de la fonction affine par morceaux correspondante. Comparer au graphique r´ealis´e

`a la page 10.

Indication : On pourra utiliser l’aide de la commande plotet l’option linestyle=solid. (c) Afficher sur le mˆeme graphique :

• la courbe repr´esentative de la solutionxde (E) telle quex(0) = 8, au-dessus de l’intervalle [0,10] ;

• plusieurs courbes de solutions approch´eesexobtenues par la m´ethode d’Euler, en modifiant la valeur N du nombre de pas.

(d) Donner un nombre de pas qui semble donner une approximationexsatisfaisante dex.

N =

3. On consid`ere le probl`eme de Cauchy :

x^′ = 3x−x²+t x(1) = 0

sur l’intervalle [1,20]. En utilisant des représentations graphiques de solutions approchées obtenues par la méthode d’Euler et la représentation graphique de la solution exacte, donner un nombre de pas qui semble donner une approximationxesatisfaisante dex.

N=