´Episode II : Nombres complexes et r´ecurrences lin´eaires

UNIVERSIT ´E DE BORDEAUX 2^`emeann´ee Licence Eco-Gestion

Semestre 1 2014/2015

´Episode II : Nombres complexes et r´ecurrences lin´eaires

E

1

Mettre sous forme alg´ebrique les nombres suivants : 1. 5 + 2i

−3 +i 2.

2−5i 3i

3.

1−i 1 +i

²

4.

2 +i⁵ 1 +i¹⁵

²

5. (1 +i)⁶ 6. (1 +i)⁸

1−i√ 3

7. (1 + 2i)(2−3i)(3−2i)

E

2

Rechercher les modules et arguments des nombres complexes suivants : 1. 1−i

2. (√

3 +i)×

√3 +i 1−i

3. 1 +√

√ 3i 3 +i 4. (1 +i)⁸(1−√

3i)⁻⁶

E

3

R´esoudre dansC: 1. 2z²−6z+ 5 = 0 2. z²+ 3 = 0 3. z²+z+ 1 = 0

4. z³+ 1 = 0 5. z⁴−1 = 0

6. z⁴−2z³−z²−2z+ 1 = 0(on pourra poserZ=z+1 z)

E

4

D´eterminer la forme trigonom´etrique et exponentielle des nombres suivants : 1. z= 3i

2. z= 1−i 3. z=−1 +i√

3 4. z= 1−i√

3 1 +i

5. z= 1−i

1 +i ²

6. z=−√ 2

cosπ

3 +isinπ 3

7. z= cosπ

8 +isinπ 8

⁶

E

5

Soienta,b ∈ N. On suppose quea = x² +y² etb = z² + t²avecx,y,z,t ∈ Z. D´emontrer que le produitabest encore la somme de deux carr´es.

E

6

R´esoudre les ´equations de r´ecurrence suivantes, en exprimant les solutions en fonction deu0: 1. ut+1= 3ut+ 4 u0= 1 puisu0=−2 avecvt=b

2. 3ut−2ut−1= 3

2

3 ^t

u0= 1 avecvt=bt 2

3 ^t

3. ut+1+³₅ut= 6 + 19 ²₃^t

u0= 14 avecvt=b etwt=b

2

3 ^t

4. ut−ut−1= 2t+ 1 u0= 1 avecvt=t(at+b)

E

7

R´esoudre les ´equations de r´ecurrence suivantes en exprimant les solutions en fonction des deux premiers termesu0etu1:

1. 2ut+2+ 3ut+1+ut= 2 −¹2

^t

+ 3.2^t u0= 0 u1= 1 avecvt=bt −¹2

^t

etwt=b2^t 2. ut+2−2ut+1+ 4ut= 2t−1 u0= 0 u1= 3 avecvt=at+b

3. ut+2−2ut+1+ut=t+ 1 u0= 1 u1= 2 avecvt=t²(at+b)

4. ut+2+ut+1−2u^t= 6 + 3.(−2)^t u0= 1 u1= 2 avecvt=bt etwt=bt(−2)^t

E

8

Ctd´esigne la consommation durant la p´eriodet,Ytle revenu durant cette p´eriode etItl’investissement pen- dant cette p´eriode.

On suppose que :

Ct= 0.8Y^t₋1

It= 0.6 (Ct−Ct−1) +I o `uIest une constante (investissement autonome).

1. En utilisant la relationYt=Ct+It, montrer que la suite(Y^t)est solution de l’´equation de r´ecurrence : Yt−1.28Yt−1+ 0.48Yt−2=I

2. Montrer que cette ´equation admet une solution constante.

3. Ecrire la solution g´en´erale de cette ´equation en fonction d’une solution complexer1 de l’´equation ca- ract´eristique. Montrer que le module der1est strictement inf´erieur `a 1 et en d´eduire le comportement asymptotique de(Y^t).