Méthodes numériques II (cours 1 et 2)

(1)

Méthodes numériques II (cours 1 et 2)

François Cuvelier

Laboratoire d'Analyse Géométrie et Applications Institut Galilée

Université Paris XIII.

2018/03/05

2018/03/05 1 / 85

(2)

Part IV

Résolution numérique des E.D.P.

2018/03/05 2 / 85

(3)

1

Exemples d'E.D.P.

2

Méthodes de résolution numérique d'EDP

3

Opérateurs aux diérences nies

4

Méthode des diérences nies 1D

5

Problème modèle évolutif

2018/03/05 3 / 85

(4)

Plan

1

Exemples d'E.D.P.

Equation de Laplace/Poisson Equation de la chaleur Equation des ondes

2

Méthodes de résolution numérique d'EDP

3

Opérateurs aux diérences nies Dimension 1

Dimension n ą 1

4

Méthode des diérences nies 1D EDP stationnaire 1D +

Dirichlet

EDP stationnaire + CL mixtes

5

Problème modèle évolutif Schéma explicite Schéma implicite

Exemples d'E.D.P. 2018/03/05 4 / 85

(5)

Equation de Laplace et équation de Poisson

Pierre-Simon Laplace 1749-1827, mathématicien, astronome, physicien et homme politique français

Siméon Denis Poisson 1781-1840, mathématicien, géomètre et physicien français

´ ∆ u “ f , dans Ω Ă R

ⁿ

(4.1)

où ∆ est l'opérateur laplacien : ∆u “

^B_Bx²^u₂

1

` . . . `

^B_B²_x^u₂

n

. Equation de Laplace si f “ 0 , sinon équation de Poisson.

Exemples d'E.D.P. Equation de Laplace/Poisson 2018/03/05 5 / 85

(6)

Conditions aux limites

´ ∆ u “ f , dans Ω Ă R

ⁿ

‚ Dirichlet si on impose, sur une partie de BΩ,

u “ g , sur Γ

_D

Ă BΩ. (4.2)

‚ Neumann si on impose sur une partie de BΩ, Bu

Bn “ g , sur Γ

_N

Ă BΩ. (4.3) où

^B_B^u_n

“ xgrad grad grad u , nnny avec nnn normale exterieure unitaire à Ω

‚ Robin si on impose sur une partie de BΩ Bu

Bn ` α u “ g , sur Γ

_R

Ă BΩ. (4.4)

(7)

Problème de condensateur en 2D

Find u: ΩÝÑRsuch that

´∆u “ 0 inΩĂR², u “ 0 onΓ₁₀, u “ ´1 onΓ₂YΓ3, u “ 1 onΓ₁YΓ4,

!₁ !₂

!₃ !

4

!10

(8)

Problème de condensateur en 2D

!₁ !₂

!₃ !

4

!10

(9)

Problème de condensateur en 2D

!₁ !₂

!₃ !

4

!10

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

(10)

Champ de vitesses en 2D :VVV “ ∇ ∇ ∇ u

Trouver u: ΩÝÑRtel que

´∆u “ 0 dansΩĂR², u “ ´1 surΓ₂YΓ3, u “ 1 surΓ₁YΓ4, Bu

Bn “ 0 surΓ₁₀.

!₁ !₂

!₃ !₄

!₁₀

(11)

Champ de vitesses en 2D :VVV “ ∇ ∇ ∇ u

!₁ !₂

!₃ !₄

!₁₀

(12)

Champ de vitesses en 2D :VVV “ ∇ ∇ ∇ u

!₁ !₂

!₃ !₄

!₁₀

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

(13)

Problème mal posé

Problème en dimension n Find u : Ω ÝÑ R such that

´∆ u “ f in Ω Ă R

ⁿ

, Bu

Bn “ g sur BΩ.

où Ω est un domaine borné de R

ⁿ

.

Ce problème est mal posé : non unicité de la solution.

u solution ñ u ` constante solution

(14)

Bu

Bt pt, xxx q ´ D∆u pt, xxxq “ f pt, xxxq

ρ c , @xxx P Ω, @t P r0, T s (4.5)

‚ Ω Ă R

^d

de frontière BΩ

‚ D , coecient de diusivité thermique (en m

²

{s),

‚ f , production volumique de chaleur (en W {m

³

),

‚ ρ, masse volumique du matériau (en kg {m

³

),

‚ c , chaleur spécique massique du matériau (en J{kg {K),

‚ ∆ u laplacien (en espace) : ∆ u “

^B_B²_x^u₂

1

` . . . `

^B_B²_x^u₂

d

Problème bien posé ?

Exemples d'E.D.P. Equation de la chaleur 2018/03/05 10 / 85

(15)

Bu

Bt pt , xxx q ´ D ∆ u pt , xxxq “ f pt , xxxq

ρ c , @xxx P Ω, @t P r0 , T s (4.5) Problème bien posé :

‚ condition initiale

@xxx P Ω, up0 , xxxq “ u

0

pxxxq (4.6)

‚ conditions aux limites sur BΩ

§ Dirichlet :

@xxx P Γ

_D

Ă BΩ, @t P r0 , T s upt , xxxq “ g

_D

pt , xxxq

§ Neumann :

@xxx P Γ

_N

Ă BΩ, @t P r0 , T s D Bu

B n pt , xxxq “ g

_N

pt , xxxq

§ Robin :

@xxx P Γ

_R

Ă BΩ, @t P r0 , T s D Bu

Bn pt , xxxq ` α upt , xxxq “ g

_N

pt , xxxq

(16)

Problème de chaleur en 2D

Find u: ΩĂR²ÝÑRsuch that

Bu

Bt ´D∆u “ 0 inr0,Ts ˆΩ, up0,xxxq “ 20@xxxPΩ,

Bu

Bn “ 0 onΓ₁₀, u “ g1 onΓ₂YΓ3, u “ g2 onΓ₁YΓ4,

où Ω (cotés de 20cm)

‚ D “ 98 . 8 ˆ 10

^´6

(aluminium) ou D “ 23 . 9 ˆ 10

^´6

(plomb),

‚ @xxx P Γ

₂

Y Γ 3 ,

g

1

pt , xxxq “ p20 ` 40tq si t ă“ 1 et g

1

pt , xxxq “ 60 sinon,

‚ @xxx P Γ

₁

Y Γ 4 ,

g

2

p t , xxx q “ p 20 ` 80t q si t ă“ 1 et g

2

p t , xxx q “ 100 sinon.

!1 !2

!3 !4

!10

(17)

Equation des ondes

B

²

u

Bt

²

pt , xxx q ´ c

²

∆ u pt , xxx q “ 0 , @xxx P Ω, @t P r0 , T s (4.7)

‚ Ω Ă R

^d

de frontière BΩ

‚ c ą 0 vitesse de propagation de l'onde, Problème bien posé ?

Exemples d'E.D.P. Equation des ondes 2018/03/05 12 / 85

(18)

B

²

u

Bt

²

pt , xxx q ´ c

²

∆ u pt , xxx q “ 0 , @xxx P Ω, @t P r0 , T s

‚ conditions initiales

up0 , xxx q “ u

0

pxxx q, @xxx P Ω [position initiale] (4.8) Bu

Bt p0 , xxx q “ v

₀

pxxx q, @xxx P Ω [vitesse initiale] (4.9)

‚ conditions aux limites sur BΩ

§ Dirichlet :

@ xxx P Γ

_D

Ă BΩ, @ t P r 0 , T s, u p t , xxx q “ g

D

p t , xxx q

§ Neumann :

@ xxx P Γ

_N

Ă BΩ, @ t P r 0 , T s, c

²

B u

Bn p t , xxx q “ g

N

p t , xxx q

§ Robin :

@ xxx P Γ

_R

Ă BΩ, @ t P r 0 , T s, c

²

B u

B n p t , xxx q ` α u p t , xxx q “ g

N

p t , xxx q

Exemples d'E.D.P. Equation des ondes 2018/03/05 13 / 85

(19)

Plan

1

Exemples d'E.D.P.

Equation de Laplace/Poisson Equation de la chaleur Equation des ondes

2

Méthodes de résolution numérique d'EDP

3

Opérateurs aux diérences nies Dimension 1

Dimension n ą 1

4

Méthode des diérences nies 1D EDP stationnaire 1D +

Dirichlet

EDP stationnaire + CL mixtes

5

Problème modèle évolutif Schéma explicite Schéma implicite

Méthodes de résolution numérique

d'EDP 2018/03/05 14 / 85

(20)

Résolution numérique d'EDP

Méthodes déterministes :

‚ méthode des diérences nies

‚ méthode des éléments nis

‚ méthode des volumes nis

Méthodes de résolution numérique

d'EDP 2018/03/05 15 / 85

(21)

Plan

1

Exemples d'E.D.P.

Equation de Laplace/Poisson Equation de la chaleur Equation des ondes

2

Méthodes de résolution numérique d'EDP

3

Opérateurs aux diérences nies Dimension 1

Dimension n ą 1

4

Méthode des diérences nies 1D EDP stationnaire 1D +

Dirichlet

EDP stationnaire + CL mixtes

5

Problème modèle évolutif Schéma explicite Schéma implicite

Opérateurs aux diérences nies 2018/03/05 16 / 85

(22)

Opérateurs aux diérences nies

Soient ϕ : R ÝÑ R susament régulière, h ą 0 et x P R pD

_h^`

ϕqpx q “ 1

h pϕpx ` hq ´ ϕpx qq (4.12)

pD

_h^´

ϕqpx q “ 1

h pϕpx q ´ ϕpx ´ hqq (4.13)

pD

_h⁰

ϕqpx q “ 1

2h pϕpx ` hq ´ ϕpx ´ hqq (4.14)

‚ D

_h^`

opérateur progressif/décentré avancé

‚ D

_h^´

opérateur rétrograde/décentré retardé

‚ D

_h⁰

opérateur centré

Opérateurs aux diérences nies Dimension 1 2018/03/05 17 / 85

(23)

Denition 4.1

Soit h ą 0 . On dit qu'un opérateur aux diérences nies D

_h

est une approximation consistante d'ordre p de

^d_dx^k^ϕk

si pour tout ϕ : ra , bs ÝÑ R susament régulière on a

x

max

Pra,bs

ˇ ˇ ˇ

ˇ pD

_h

ϕqpx q ´ d

^k

ϕ dx

^k

px q

ˇ ˇ ˇ

ˇ ď Ch

^p

, (4.15) où C est une constante indépendante de h .

Proposition 4.2

Si ϕ : R ÝÑ R est susament régulière, les opérateurs D

_h^`

et D

_h^´

appliqués à ϕ sont des approximations consistantes d'ordre 1 de

^d_dx^ϕ

et l'opérateur D

_h⁰

appliqué à ϕ est une approximation consistante d'ordre 2 de

^d_dx^ϕ

.

(24)

TD

Exercise 7.1

Soient h ą et les trois opérateurs aux diérences nies suivant p D

_h^`

ϕqp x q “ 1

h pϕp x ` h q ´ ϕp x qq p D

_h^´

ϕqp x q “ 1

h pϕp x q ´ ϕp x ´ h qq p D

_h⁰

ϕqp x q “ 1

2h pϕp x ` h q ´ ϕp x ´ h qq

Q.1 Monter que ces trois opérateurs sont linéaires (i.e. @pλ, µq P R

²

,

@ϕ : R ÝÑ R , @ψ : R ÝÑ R , D

h

pλϕ ` µψq “ λ D

h

ϕ ` µ D

h

ψ. )

Q.2 On suppose que ϕ P C

^k

pra , bs; Rq avec k ě 2 . Montrer que les opérateurs D

_h^`

et D

_h^´

sont des approximations consistantes d'ordre 1 de

^d_dx^ϕ

.

Q.3 On suppose que ϕ P C

^k

pra , bs; Rq avec k ě 3 . Montrer que l'opérateur D

_h⁰

est une approximation consistante d'ordre 2 de

^d_dx^ϕ

.

(25)

Proposition 4.3

Soient ϕ P C

⁴

pra , bs; Rq. On note D

_h²

l'opérateur déni, pour tout x Psa , br et h ą 0 tels que x ˘ h P ra , bs, par

p D

_h²

ϕqp x q

^def

“ 1

h

²

rϕp x ` h q ´ 2 ϕp x q ` ϕp x ´ h qs . (4.16) Alors D

_h²

ϕ appliqué à ϕ est une approximation consistante d'ordre 2 de

^d_dx²^ϕ2

. De plus on a

D

_h²

ϕ “ D

⁰h 2

p D

⁰h

2

ϕq “ D

_h^`

p D

_h^´

ϕq “ D

_h^´

p D

_h^`

ϕq (4.17) est une approximation consistante d'ordre 2 de

^d_dx²^ϕ2

.

Démonstration en exercice

(26)

Dimension n ą 1

Proposition 4.4: (admis)

Soit U un ouvert non vide de R

ⁿ

et f une application f : U Ă R

ⁿ

ÝÑ R . Si f P C

^r^`¹

pUq alors @xxx P U, @h P R

^˚

vériant xxx ` heee

^rⁱ^s

P U ,

@i P v1 , nw, il existe θ Ps0 , 1r tel quel f pxxx `heee

^rⁱ^s

q “ f pxxx q `

ÿ

r

k“1

h

^k

k !

B

^k

f

Bx

_i^k

pxxx q ` h

^r^`¹

pr ` 1q!

B

^r

f

Bx

_i^r

pxxx `θheee

^rⁱ^s

q (4.18) où eee

^ris

est le i-ème vecteur de la base canonique de R

ⁿ

.

Opérateurs aux diérences nies Dimension ną1 2018/03/05 21 / 85

(27)

Opérateurs aux diérences nies en dimension n ą 1

Soient ϕ : U Ă R

ⁿ

ÝÑ R susament régulière, h ą 0 et i P v1 , nw pD

_h^`_,_i

ϕqpxxx q “ 1

h

´ ϕpxxx ` heee

^ris

q ´ ϕpxxx q

¯ (4.19)

pD

_h^´_,_i

ϕqpxxx q “ 1 h

´ ϕpxxxq ´ ϕpxxx ´ heee

^ris

q

¯ (4.20)

pD

_h⁰_,_i

ϕqpxxx q “ 1 2h

´ ϕpxxx ` heee

^ris

q ´ ϕpxxx ´ heee

^ris

q

¯ (4.21)

(28)

Exercise 7.2

Soient ϕ : U Ă R

²

ÝÑ R une fonction susament régulière, h ą 0 et les trois opérateurs aux diérences nies suivant dénis pour i P v 1 , 2 w

p D

_h^`,i

ϕqp xxx q “ 1 h

´

ϕp xxx ` heee

^ris

q ´ ϕp xxx q

¯

p D

_h^´,i

ϕqp xxx q “ 1 h

´

ϕp xxx q ´ ϕp xxx ´ heee

^ris

q

¯

pD

_h⁰,i

ϕqpxxx q “ 1 2h

´ ϕpxxx ` heee

^ris

q ´ ϕpxxx ´ heee

^ris

q

¯

avec eee

^r¹^s

“ ˆ 1

0 ˙

et eee

^r²^s

“ ˆ 0

1 ˙ .

Q.1 Monter que ces trois opérateurs sont linéaires (i.e. @pλ, µq P R

²

, @ϕ : U Ă R

²

ÝÑ R , @ψ : U Ă R

²

ÝÑ R , D

_h,i

pλϕ ` µψq “ λ D

_h,i

ϕ ` µ D

_h,i

ψ. ) Q.2 On suppose que ϕ P C

^k

p U Ă R

²

; Rq avec k ě 2 . Montrer que les opérateurs D

_h^`,i

et D

_h^´,i

appliqués à ϕ sont des approximations consistantes d'ordre 1 de

_B^Bϕ_x_i

.

Q.3 On suppose que ϕ P C

^k

p U Ă R

²

; R q avec k ě 3 . Montrer que l'opérateur D

_h⁰,i

appliqué à ϕ est une approximation consistante d'ordre 2 de

_Bx^Bϕ_i

.

(29)

Proposition 4.5

Si

ϕ:

U

ĂRⁿÝÑR

est susament régulière, les opérateurs D

_h,i^`

et D

_h,i^´

appliqués à

ϕ

sont des approximations consistantes d'ordre 1 de

_Bx^Bϕ_i

et l'opérateur D

_h,i⁰

appliqué à

ϕ

est une approximation consistante d'ordre 2 de

_Bx^Bϕ_i.

Proposition 4.6

Soient i

P v1,

nw

, ϕPC⁴pUĂRⁿ;Rq.

On note D

_h²,i

l'opérateur déni, pour tout xxx

P

U et h

ą

0 vériant xxx

˘

heee

^risP

U

,

par

pD_h,i² ϕqpxxxq^def“

1 h

²

”

ϕpxxx`

heee

^risq ´

2

ϕpxxxq `ϕpxxx´

heee

^risq

ı

(4.22)

Alors D

_h²,iϕ

est approximation consistante d'ordre 2 de

^B_Bx²^ϕ2 i .

De plus, on a

D

_h,i² ϕ“

D

⁰h 2,ipD⁰h

2,iϕq “

D

_h,i^`pD_h,i^´ϕq “

D

_h,i^´pD_h,i^`ϕq.

(4.23)

(30)

Plan

1

Exemples d'E.D.P.

Equation de Laplace/Poisson Equation de la chaleur Equation des ondes

2

Méthodes de résolution numérique d'EDP

3

Opérateurs aux diérences nies Dimension 1

Dimension n ą 1

4

Méthode des diérences nies 1D EDP stationnaire 1D +

Dirichlet

EDP stationnaire + CL mixtes

5

Problème modèle évolutif Schéma explicite Schéma implicite

Méthode des diérences nies 1D 2018/03/05 25 / 85

(31)

1

Exemples d'E.D.P.

Equation de Laplace/Poisson Equation de la chaleur Equation des ondes

2

Méthodes de résolution numérique d'EDP

3

Opérateurs aux diérences nies Dimension 1

Dimension n ą 1

4

Méthode des diérences nies 1D EDP stationnaire 1D +

Dirichlet

EDP stationnaire + CL mixtes

5

Problème modèle évolutif Schéma explicite Schéma implicite

Méthode des diérences nies 1D EDP stationnaire 1D + Dirichlet 2018/03/05 26 / 85

(32)

Soient a ă b , c ą 0 , α P R , β P R , et f : ra , bs ÝÑ R donnés.

EDP modèle stationnaire 1D Trouver u : ra , bs ÝÑ R telle que

´u

²

` cu “ f in sa , br, (4.24)

upaq “ α, (4.25)

upbq “ β. (4.26)

ou

EDP modèle stationnaire 1D : formulation aux points Trouver upx q P R , @x P ra , bs telle que

´u

²

px q ` cupx q “ f px q @x Psa, br, (4.27)

u paq “ α, (4.28)

upbq “ β. (4.29)

Chercher u ou upx q, @x P ra , bs (innité de points!)

(33)

EDP modèle stationnaire 1D : formulation aux points Trouver upx q P R , @x P ra , bs telle que

´u

²

px q ` cupx q “ f px q @x Psa , br, upaq “ α,

upbq “ β.

x

_i

“ a ` ih, @i P v0, N w, avec h “ b ´ a N .

EDP modèle stationnaire1D : formulation aux points de discrétisation

Trouver upx

i

q P R , @i P v0 , N w tels que

´u

²

px

i

q ` cupx

i

q “ f px

i

q @i Pw0 , Nv, (4.30)

upx

₀

q “ α, (4.31)

upx

_N

q “ β. (4.32)

(34)

EDP modèle stationnaire1D : formulation aux points de dis- crétisation

Trouver u p x

i

q P R , @ i P v 0 , N w tels que

´ u

²

p x

i

q ` cu p x

i

q “ f p x

i

q @ i Pw 0 , N v, u p x

0

q “ α,

u p x

N

q “ β.

u

²

px

i

q “ pD

_h²

uqpx

i

q ` Oph

²

q “ upx

i`1

q ´ 2upx

i

q ` upx

i´1

q

h

²

` Oph

²

q.

EDP modèle stationnaire en dimension 1 : formulation aux points de discrétisation (bis)

Trouver u p x

i

q P R , @ i P v 0 , N w tels que

´ upx

i`1

q ´ 2upx

i

q ` upx

i´1

q

h

²

´ Oph

²

q ` cupx

i

q “ f px

i

q @i Pw0 , Nv, (4.33) u p x

0

q “ α, (4.34) u p x

N

q “ β. (4.35)

(35)

EDP modèle stationnaire1D : formulation aux points de dis- crétisation

Trouver u p x

i

q P R , @ i P v 0 , N w tels que

´ u

²

p x

i

q ` cu p x

i

q “ f p x

i

q @ i Pw 0 , N v, u p x

0

q “ α,

u p x

N

q “ β.

u

²

px

i

q “ pD

_h²

uqpx

i

q ` Oph

²

q “ upx

i`1

q ´ 2upx

i

q ` upx

i´1

q

h

²

` Oph

²

q.

EDP modèle stationnaire en dimension 1 : formulation aux points de discrétisation (bis)

Trouver u p x

i

q P R , @ i P v 0 , N w tels que

´ upx

i`1

q ´ 2upx

i

q ` upx

i´1

q

h

²

´ Oph

²

q ` cupx

i

q “ f px

i

q @i Pw0 , Nv, (4.33) u p x

0

q “ α, (4.34) u p x

N

q “ β. (4.35)

(36)

EDP modèle stationnaire en dimension 1 : formulation aux points de discrétisation (bis)

Trouver upx

i

q P R , @i P v0 , N w tels que

´ u p x

i`1

q ´ 2u p x

i

q ` u p x

i´1

q

h

²

´ Op h

²

q ` cu p x

i

q “ f p x

i

q @ i Pw 0 , N v, u p x

0

q “ α,

upx

N

q “ β.

On oublie le Oph

²

q et on pose u

_i

« u px

_i

q.

EDP modèle stationnaire 1D : schéma aux diérences nies Trouver u

_i

P R , @i P v0, N w tels que

´ u

_i`1

´ 2u

_i

` u

_i´1

h

²

` cu

_i

“ f px

_i

q @i Pw0 , Nv, (4.36)

u

0

“ α, (4.37)

u

N

“ β. (4.38)

(37)

EDP modèle stationnaire en dimension 1 : formulation aux points de discrétisation (bis)

Trouver upx

i

q P R , @i P v0 , N w tels que

´ u p x

i`1

q ´ 2u p x

i

q ` u p x

i´1

q

h

²

´ Op h

²

q ` cu p x

i

q “ f p x

i

q @ i Pw 0 , N v, u p x

0

q “ α,

upx

N

q “ β.

On oublie le Oph

²

q et on pose u

_i

« u px

_i

q.

EDP modèle stationnaire 1D : schéma aux diérences nies Trouver u

_i

P R , @i P v0, N w tels que

´ u

_i`1

´ 2u

_i

` u

_i´1

h

²

` cu

_i

“ f px

_i

q @i Pw0, Nv, (4.36)

u

0

“ α, (4.37)

u

N

“ β. (4.38)

(38)

EDP modèle stationnaire 1D : schéma aux diérences nies Trouver u

i

P R , @i P v0 , N w tels que

´ u

_i`1

´ 2u

_i

` u

_i´1

h

²

` cu

_i

“ f px

_i

q @i Pw0, Nv, (4.36)

u

0

“ α, (4.37)

u

_N

“ β. (4.38)

système linéaire de N ` 1 équations à N ` 1 inconnues !

$

’ ’

’ &

’ ’

’ %

u

0

“ α Ð eq. en x

0

´u

₂

` µ u

₁

´ u

₀

“ h

²

f px

₁

q Ð eq. en x

₁

´u

_N

` µ u

_N´1

´ u

_N´2

“ ... h

²

f px

_N´1

q Ð eq. en x

_N´1

u

_N

“ β Ð eq. en x

_N

avec µ “ 2 ` ch

²

.

(39)

$

’ ’

’ &

’ ’

’ %

u

₀

“ α Ð eq. en x

₀

´u

2

` µ u

1

´ u

0

“ f px

1

q Ð eq. en x

1

´u

₃

` µ u

₂

´ u

₁

“ f px

₂

q Ð eq. en x

₂

...

´u

_N´1

` µ u

_N´2

´ u

_N´3

“ f px

_N´2

q Ð eq. en x

_N´2

´u

_N

` µ u

_N´1

´ u

_N´2

“ f px

_N´1

q Ð eq. en x

_N´1

u

_N

“ β Ð eq. en x

_N

AUUU^def“

¨

˚

˝

1 0 . . . 0 0

´1 µ ´1 0 . . . 0 0

0 ´1 µ ´1 0 . . . 0 0

0 0 ... ... ... ... ... ...

... ... ... ... ... ... 0 ...

... 0 . . . 0 1 µ ´1 0

0 0 . . . 0 ´1 µ ´1

0 . . . 0 1

˛

‹

‚

¨

˚

˝ u0

u1

u2

...

uN´2

uN´1

uN

˛

‹

‚

“

¨

˚

˝ α h²fpx1q h²fpx2q

...

h²fpxN´2q h²fpxN´1q

β

˛

‹

‚

def“BBB (4.39)

(40)

Proposition 4.1: admis

Le schéma aux diérences nies (4.36)-(4.38) est consistant à l'ordre 2 avec l'EDP (4.24)-(4.26) et on a

iPv

max

0,Nw

|upx

_i

q ´ u

_i

| “ Oph

²

q. (4.40)

(41)

Exercise 8.1: (schéma étudié en cours)

Q.1 Ecrire la fonctionAssembleMat1D retournant la matriceMPM_dpRqdénie par

M“

¨

˚

˝

γ 0 0 . . . 0

β α β ... ...

0 ... ... ... ... ...

... ... ... ... ... ... ...

... ... ... ... ... 0

... ... β α β

0 . . . 0 0 γ

˛

‹

‚

(4.41)

oùα, βetγsont des réels donnés.

On souhaite résoudre par un schéma aux diérences nies l'EDP suivante

´u²`cu “ f insa,br, upaq “ α, upbq “ β.

Q.2 En prenant le jeu de données a“0,b“2π,c“1, α“1, β “ ´1 et f :x ÞÑcospx²q, écrire un programme permettant de résoudre l'EDP précédente. On pourra utiliser la fonction XXXÐ SolvepA,BBBqretournant la solution du système linéaireAXXX“BBB.

Q.3 En choisissant judicieusement un jeu de données écrire un programme permettant de vérier l'ordre du schéma utilisé à l'aide de la formule (4.40).

(42)

1e-3 1e-2 1e-1 1e-6

1e-5 1e-4 1e-3 1e-2 1e-1

h

Error(h) O(h) O(h^2)

Figure : Représentation en échelle logarithmique

(43)

1 functionM=AssembleMat1D(d,alpha,beta,gamma)

2 M=sparse(d,d);

3 M(1 ,1)=gamma;M(d,d)=gamma;

4 for i=2:d-1

5 M(i,i)=alpha;

6 M(i,i-1) =beta;M(i,i+1) =beta;

7 end

8 end

Listing 1 :fonction Matlab/Octave AssembleMat1D

1 function[x,U]=solveEDP1(a,b,c,alpha,beta,f,N)

2 h=(b-a)/N;

3 x=a:h:b;

4 A=AssembleMat1D(N+1 ,2+c*h*h,-1,h*h);

5 B=zeros(N+1 ,1);

6 B(1) =alpha;B(N+1) =beta;

7 for i=2:N

8 B(i)=f(x(i));

9 end

10 B=h*h*B;

11 U=A\B;

12 end

Listing 2 :fonction Matlab/Octave solveEDP1

1 clear all

2 close all

3 % Initialisation des donnees

4 uex=@(x) sin(x.^2) ;

5 c=1;

6 f=@(x) 4*x^2*sin(x^2) - 2*cos(x^2) +c*sin(x^2) ;

7 a=0;b=2*pi;

8 % Calcul des erreurs

9 LN=[100 ,200 ,400 ,800 ,1600 ,3200];

10 k=1;

11 for N=LN

12 [x,U]=solveEDP1(a,b,c,uex(a),uex(b),f,N);

13 H(k)=(b-a)/N;

14 E(k)=max(abs(uex(x) '-U));

15 k=k+1;

16 end

17 % Representation graphique

18 loglog(H,E,'r<-','LineWidth ' ,2)

19 holdon

20 loglog(H,H,'kd:','LineWidth ' ,2)

21 loglog(H,H.^2 , 'k*: ','LineWidth ' ,2)

22 legend('Error (h)','O(h)','O(h ^2) ')

23 xlabel('h')

Listing 3 :Script Matlab/Octave pour la représentation de l'ordre

(44)

1

Exemples d'E.D.P.

Equation de Laplace/Poisson Equation de la chaleur Equation des ondes

2

Méthodes de résolution numérique d'EDP

3

Opérateurs aux diérences nies Dimension 1

Dimension n ą 1

4

Méthode des diérences nies 1D EDP stationnaire 1D +

Dirichlet

EDP stationnaire + CL mixtes

5

Problème modèle évolutif Schéma explicite Schéma implicite

Méthode des diérences nies 1D EDP stationnaire + CL mixtes 2018/03/05 37 / 85

(45)

EDP stationnaire + CL mixtes

EDP modèle stationnaire 1D avec condition de Dirichlet à droite et Neumann à gauche

Trouver u : ra , bs ÝÑ R telle que

´u

²

` cu “ f in sa , br, (4.42)

upaq “ α, (4.43)

u

¹

pbq “ β. (4.44)

Seule la dernière ligne du système linéaire est à modier! Remplacer par ???

u

¹

px

_N

q “ pD

_h^`

uqpx

_N

q ` Ophq “ upx

_N

q ´ upx

_N´1

q

h ` Ophq “ β. u

_N

´ u

_N´1

h “ β. (4.45)

(46)

EDP stationnaire + CL mixtes

EDP modèle stationnaire 1D avec condition de Dirichlet à droite et Neumann à gauche

Trouver u : ra , bs ÝÑ R telle que

´u

²

` cu “ f in sa , br, (4.42)

upaq “ α, (4.43)

u

¹

pbq “ β. (4.44)

Seule la dernière ligne du système linéaire est à modier! Remplacer par ???

u

¹

px

_N

q “ pD

_h^`

uqpx

_N

q ` Ophq “ upx

_N

q ´ upx

_N´1

q

h ` Ophq “ β.

u

_N

´ u

_N´1

h “ β. (4.45)

(47)

EDP stationnaire + CL mixtes

EDP modèle stationnaire 1D avec condition de Dirichlet à droite et Neumann à gauche

Trouver u : ra , bs ÝÑ R telle que

´u

²

` cu “ f in sa , br, (4.42)

upaq “ α, (4.43)

u

¹

pbq “ β. (4.44)

Seule la dernière ligne du système linéaire est à modier! Remplacer par ???

u

¹

px

_N

q “ pD

_h^`

uqpx

_N

q ` Ophq “ upx

_N

q ´ upx

_N´1

q

h ` Ophq “ β.

u

_N

´ u

_N´1

h “ β. (4.45)

(48)

$

’ ’

’ &

’ ’

’ %

u

₀

“ α Ð eq. en x

₀

´u

2

` µ u

1

´ u

0

“ h

²

f px

1

q Ð eq. en x

1

´u

₃

` µ u

₂

´ u

₁

“ h

²

f px

₂

q Ð eq. en x

₂

´u

_N´1

` µ u

_N´2

´ u

_N´3

“ ... h

²

f px

_N´2

q Ð eq. en x

_N´2

´u

_N

` µ u

_N´1

´ u

_N´2

“ h

²

f px

_N´1

q Ð eq. en x

_N´1

u

_N

´ u

_N´1

“ hβ Ð eq. en x

_N

AUUU^def“

¨

˚

˝

1 0 . . . 0 0

´1 µ ´1 0 . . . 0 0

0 ´1 µ ´1 0 . . . 0 0

0 0 ... ... ... ... ... ...

... ... ... ... ... ... 0 ...

... 0 . . . 0 1 µ ´1 0

0 0 . . . 0 ´1 µ ´1

0 . . . ´1 1

˛

‹

‚

¨

˚

˝ u0

u1

u2

...

uN´2

uN´1

uN

˛

‹

‚

“

¨

˚

...

hβ

˛

‹

‚

def“BBB (4.46)

Mais ...

(49)

Schéma d'ordre 1 !!!

1e-4 1e-3 1e-2 1e-1

1e-7 1e-6 1e-5 1e-4 1e-3 1e-2 1e-1 1e+0 1e+1

h

(a) Représentation en échelle logarithmique de l'ordre du schéma

0 1 2 3 4 5 6 7

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35

x

error(x)

Error for N=1600

(b) Représentation de l'erreur en fonction de x pour N “ 1600 Ecrire un schéma d'ordre 2 pour Neumann

(50)

TD

Exercise 8.2

Soit ϕ une fonction susament régulière et h ą 0 Q.1 Montrer que

d ϕ

dx pxq “ ´3 ϕpx q ` 4 ϕpx ` hq ´ ϕpx ` 2hq

2h ` Oph

²

q (4.47)

Q.2 Montrer que d ϕ

dx px q “ 3 ϕpx q ´ 4 ϕpx ´ hq ` ϕpx ´ 2hq

2h ` Oph

²

q (4.48)

(51)

$

’ ’

’ &

’ ’

’ %

u

₀

“ α Ð eq. en x

₀

´u

2

` µ u

1

´ u

0

“ f px

1

q Ð eq. en x

1

´u

₃

` µ u

₂

´ u

₁

“ f px

₂

q Ð eq. en x

₂

´u

_N´1

` µ u

_N´2

´ u

_N´3

“ ... f px

_N´2

q Ð eq. en x

_N´2

´u

_N

` µ u

_N´1

´ u

_N´2

“ f px

_N´1

q Ð eq. en x

_N´1

3u

_N

´ 4u

_N´1

` u

_N´2

“ 2hβ Ð eq. en x

_N

AUUU^def“

¨

˚

˝

1 0 . . . 0 0

´1 µ ´1 0 . . . 0 0

0 ´1 µ ´1 0 . . . 0 0

0 0 ... ... ... ... ... ...

... ... ... ... ... ... 0 ...

... 0 . . . 0 1 µ ´1 0

0 0 . . . 0 ´1 µ ´1

0 . . . 1 ´4 3

˛

‹

‚

¨

˚

˝ u0

u1

u2

...

uN´2

uN´1

uN

˛

‹

‚

“

¨

˚

...

2hβ

˛

‹

‚

def“BBB (4.54)

et ...

(52)

Schéma d'ordre 2

1e-4 1e-3 1e-2 1e-1

1e-7 1e-6 1e-5 1e-4 1e-3 1e-2 1e-1

h

(a) Représentation en échelle logarithmique de l'ordre du schéma

0 1 2 3 4 5 6 7

0 0.0005 0.001 0.0015 0.002

x

error(x)

Error for N=1600

(b) Représentation de l'erreur en fonction de x pour N “ 1600

(53)

Exercise 8.3 Soit le problème suivant

´u²pxq `cpxqupxq “ fpxq,@xPsa;br, (4.55)

u¹paq “ α, (4.56)

upbq “ β. (4.57)

où c est une fonction positive.

Q.1

1 Quelles sont les données du problème (4.55)-(4.57)? (préciser le type de chaque donnée : réel, entier, fonction, vecteur, ...)

2 Quelles sont les inconnues du problème (4.55)-(4.57)? (préciser le type)

3 Quelles sont les conditions initiales?

4 Quelles sont les conditions aux limites?

Q.2 Construire une discrétisation régulière dera;bsavec N pas de discrétisation en espace. On note xi,iP v0,Nwcette discrétisation. On souhaite résoudre (4.55) à l'aide du schéma numérique

´ui`1´2ui`ui´1

∆x² `ciui“fi. (4.58)

Q.3

1 Expliquer comment le schéma (4.58) a été obtenu à partir de (4.55) et préciser ce que représente les termes ui,fi,ciet∆x?

2 Donner l'ensembleEdes valeurs que peut prendre i dans le schéma (4.55).

3 Construire une discrétisation des conditions aux limites d'ordre 2 au moins.

4 Le schéma global est de quel ordre? Justiez.

On note VVV le vecteur de dimension N`1,de composantes VVVi“ui´1,@iP v1,N`1w.

Q.4 Montrer que le vecteur VVV est solution du système linéaire

AVVV“FFF (4.59)

en explicitant la matriceAet le vecteur FFF (préciser les dimensions).

Q.5 Ecrire un algorithme complet de résolution du problème (4.55) à (4.57) basé sur (4.59). (Utiliser au maximum les fonctions).

On pourra utiliser la fonction XXXÐSolvepA,BBBqretournant la solution du système linéaireAXXX“BBB.

(54)

Plan

1

Exemples d'E.D.P.

Equation de Laplace/Poisson Equation de la chaleur Equation des ondes

2

Méthodes de résolution numérique d'EDP

3

Opérateurs aux diérences nies Dimension 1

Dimension n ą 1

4

Méthode des diérences nies 1D EDP stationnaire 1D +

Dirichlet

EDP stationnaire + CL mixtes

5

Problème modèle évolutif Schéma explicite Schéma implicite

Problème modèle évolutif 2018/03/05 45 / 85

(55)

1

Exemples d'E.D.P.

Equation de Laplace/Poisson Equation de la chaleur Equation des ondes

2

Méthodes de résolution numérique d'EDP

3

Opérateurs aux diérences nies Dimension 1

Dimension n ą 1

4

Méthode des diérences nies 1D EDP stationnaire 1D +

Dirichlet

EDP stationnaire + CL mixtes

5

Problème modèle évolutif Schéma explicite Schéma implicite

(56)

EDP modèle instationnaire en dimension 1 : équation de la chaleur

Trouver u : r0 , T s ˆ ra , bs ÝÑ R telle que Bu

Bt pt , xq ´ D B

²

u

Bx

²

pt , x q “ f pt , x q, @pt , x q Ps0 , T sˆsa , br, (4.76) up0 , x q “ u

₀

px q, @x P ra , bs (4.77)

´D Bu

Bx pt , aq “ αptq, @t P r0 , T s (4.78)

upt , bq “ βptq, @t P r0 , T s (4.79)

où a ă b , D ą 0 (coecient de diusivité), α : r0 , T s ÝÑ R ,

β : r0 , T s ÝÑ R , u

0

: ra , bs ÝÑ R et f : r0 , T s ˆ ra , bs ÝÑ R donnés.

condition de compatibilité :

u

0

pbq “ βp0q. (4.80)

(57)

x

i

“ a ` i ∆

_x

, @i P v0 , N

x

w, avec ∆

_x

“ pb ´ aq{N

x

t

ⁿ

“ n∆

_t

, @n P v0, N

_t

w, avec ∆

_t

“ T {N

_t

. Objectif: Trouver uuu

ⁿ_i

« upt

ⁿ

, x

_i

q, @n P v0 , N

t

w, @i P v0 , N

x

w

x t

x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9

t⁰ t¹ t² t³ t⁴ t⁵ t⁶ t⁷

Figure : Représentation d'une grille espace-temps avec N

t

“ 7 et N

x

“ 9 . Les noeuds de la grille sont les points bleus.

(58)

EDP modèle d'évolution en dimension 1 : équation de la chaleur, formulation aux points de discrétisation Trouver upt

ⁿ

, x

_i

q P R , @n P v0, N

_t

w, @i P v0, N

_x

w, tels que

Bu

Bt pt

ⁿ

, x

_i

q ´ D B

²

u

Bx

²

pt

ⁿ

, x

_i

q “ f pt

ⁿ

, x

_i

q, (4.81) u pt

⁰

, x

_i

q “ u

₀

px

_i

q, @i P v0 , N

_x

w, (4.82)

´D Bu

Bx pt

ⁿ

, x

₀

q “ αpt

ⁿ

q, @n P v0, N

_t

w (4.83) upt

ⁿ

, x

_N_x

q “ βpt

ⁿ

q, @n P v0 , N

_t

w (4.84) ùñ il nous faut maintenant discrétiser les opérateurs de dérivation

Bu Bt , B

²

u

Bx

²

et Bu Bx

(59)

On déduit des développements de Taylor : B

²

u

Bx

²

pt , x q “ upt , x ` hq ´ 2upt , xq ` upt , x ´ hq

h

²

` Oph

²

q

Avec h “ ∆

_x

on obtient B

²

u

Bx

²

pt

ⁿ

, x

_i

q “ upt

ⁿ

, x

_i`1

q ´ 2upt

ⁿ

, x

_i

q ` upt

ⁿ

, x

_i´1

q

∆

²_x

` Op∆

²_x

q (4.85)

(60)

On déduit des développements de Taylor : Bu

Bt pt, x q “ upt ` h, x q ´ upt, x q

h ` Ophq

Bu

Bt pt , x q “ upt , x q ´ upt ´ h , x q

h ` Ophq.

Avec h “ ∆

_t

on obtient Bu

Bt pt

ⁿ

, x

_i

q “ upt

^n`1

, x

_i

q ´ upt

ⁿ

, x

_i

q

∆

_t

` Op∆

_t

q (4.86)

Bu

Bt pt

ⁿ

, x

i

q “ upt

ⁿ

, x

i

q ´ upt

ⁿ^´¹

, x

i

q

∆

_t

` Op∆

_t

q. (4.87)

(61)

On déduit des développements de Taylor : Bu

Bx pt , x q “ upt , x ` hq ´ upt , x q

h ` Ophq

Bu

Bx pt, x q “ upt, x q ´ upt, x ´ hq

h ` Ophq

Bu

Bx pt , x q “ upt , x ` hq ´ upt , x ´ hq

2h ` Oph

²

q

Bu

Bx pt , x q “ ´3upt , x q ` 4upt , x ` hq ´ upt , x ` 2hq

2h ` Oph

²

q

Bu

Bx pt , x q “ 3upt , x q ´ 4u pt , x ´ hq ` upt , x ´ 2hq

2h ` Oph

²

q

On veut approcher

^B_B^u_x

pt

ⁿ

, x

₀

q à l'ordre 2! ñ 4ème approximation.

Avec h “ ∆

_x

on obtient Bu

Bx pt

ⁿ

, x

₀

q “ ´3upt

ⁿ

, x

₀

q ` 4upt

ⁿ

, x

₁

q ´ upt

ⁿ

, x

₂

q

2 ∆

_x

` Op∆

²_x

q (4.88)

(62)

1

Exemples d'E.D.P.

Equation de Laplace/Poisson Equation de la chaleur Equation des ondes

2

Méthodes de résolution numérique d'EDP

3

Opérateurs aux diérences nies Dimension 1

Dimension n ą 1

4

Méthode des diérences nies 1D EDP stationnaire 1D +

Dirichlet

EDP stationnaire + CL mixtes

5

Problème modèle évolutif Schéma explicite Schéma implicite

Problème modèle évolutif Schéma explicite 2018/03/05 53 / 85

(63)

Schéma explicite en temps pour l'EDP (54) à (4.84)

On rappelle (54) Bu

Bt pt

ⁿ

, x

_i

q ´ D B

²

u

Bx

²

pt

ⁿ

, x

_i

q “ f pt

ⁿ

, x

_i

q, @n Pw0 , N

t

w, @i Pw0 , N

x

v, qui devient avec (4.86) et (4.85)

upt

ⁿ^`¹

, x

_i

q ´ upt

ⁿ

, x

_i

q

∆

_t

` Op∆

_t

q

´D upt

ⁿ

, x

_i`1

q ´ 2upt

ⁿ

, x

_i

q ` upt

ⁿ

, x

_i´1

q

∆

²_x

` Op∆

²_x

q “f pt

ⁿ

, x

_i

q (4.94) avec n P v0, N

_t

v et i Pw0, N

_x

v.

En utilisant (4.87) en lieu et place de (4.86) on obtient un schéma implicite...

(64)

Schéma explicite en temps pour l'EDP (54) à (4.84)

Un schéma numérique d'ordre 1 en temps et d'ordre 2 en espace pour (54):

@n P v0 , N

t

v, @i Pw0 , N

x

v uuu

ⁿ_i^`¹

´ uuu

ⁿ_i

∆

_t

´ D uuu

ⁿ_i_`₁

´ 2uuu

ⁿ_i

` uuu

ⁿ_i_´₁

∆

²_x

“ fff

ⁿ_i

(4.95) avec fff

ⁿ_i

“ f pt

ⁿ

, x

i

q et (en espérant) uuu

ⁿ_i

« upt

ⁿ

, x

i

q.

(4.95) est équivalent à

uuu

ⁿ_i^`¹

“ uuu

ⁿ_i

` D ∆

_t

∆

²_x

` uuu

ⁿ_i_`₁

´ 2uuu

ⁿ_i

` uuu

ⁿ_i_´₁

˘

` ∆

_t

fff

ⁿ_i

(4.96) Et (4.82), (4.83), (4.84)?

(65)

Schéma explicite en temps pour l'EDP (54) à (4.84)

On rappelle respectivement (4.82) et (4.84):

u pt

⁰

, x

_i

q “ u

₀

px

_i

q, @i P v0, N

_x

w upt

ⁿ

, x

_N_x

q “ βpt

ⁿ

q, @n P v0 , N

_t

w qui donne immédiatement (sans approximation)

uuu

⁰_i

“ u

0

px

i

q, @i P v0 , N

x

w

uuu

ⁿ_N_x

“ βpt

ⁿ

q, @n P v0, N

_t

w (4.97) Et (4.83)?

(66)

Schéma explicite en temps pour l'EDP (54) à (4.84)

On rappelle (4.83) @n P v0, N

_t

w

´D Bu

Bx pt

ⁿ

, x

0

q “ αpt

ⁿ

q qui donne avec (4.88)

´D ´3u pt

ⁿ

, x

₀

q ` 4upt

ⁿ

, x

₁

q ´ upt

ⁿ

, x

₂

q

2 ∆

_x

` Op∆

²_x

q “ αpt

ⁿ

q Un schéma numérique d'ordre 2 en espace pour (4.83):

´D ´3uuu

ⁿ₀

` 4uuu

ⁿ₁

´ uuu

ⁿ₂

∆

_x

“ αpt

ⁿ

q ou encore

uuu

ⁿ₀

“ 1 3

ˆ 2 ∆

_x

D αpt

ⁿ

q ` 4uuu

ⁿ₁

´ uuu

ⁿ₂