Méthodes numériques II (cours 2 à 4)

(1)

Méthodes numériques II (cours 2 à 4)

François Cuvelier

Laboratoire d’Analyse Géométrie et Applications Institut Galilée

Université Paris XIII.

2020/01/14

(2)

Partie III

Résolution numérique des E.D.O.

2020/01/14 2 / 67

(3)

1 Exemples d’E.D.O.

2 Définitions et résultats

3 Problème de Cauchy

4 Différences finies m “ 1

5 Différences finies m ą 1

6 Méthodes à un pas

7 Méthodes à pas multiples

8 Méthodes de

prédiction-correction

9 Application

(4)

Plan

1 Exemples d’E.D.O.

Chimie : réaction BZ Météorologie : modèle de Lorentz (1963)

Mécanique : le pendule pesant

2 Définitions et résultats

3 Problème de Cauchy

4 Différences finies m “ 1

5 Différences finies m ą 1

6 Méthodes à un pas

7 Méthodes à pas multiples

8 Méthodes de

prédiction-correction

9 Application

Exemples d’E.D.O. 2020/01/14 4 / 67

(5)

Réaction BZ (Belousov-Zhabotinsky)

(a) Boris Pavlovich Belousov 1893-1970, Chimiste et biophysicien russe

(b) Anatol Zhabotinsky 1938-2008, Chimiste russe

(c) Ilya Prigogine

1917-2003, Physicien et

chimiste belge (origine

russe). Prix Nobel de

chimie en 1977

(6)

Modèle du Brusselator (1970)

Une solution de bromate de potassium et d’acide sulfurique mélangée à une solution d’acide manolique et de bromure de sodium peut entrainer, sous certaines conditions, une oscillation de la couleur de la solution mélange du rouge au bleue avec une période de 7 secondes.

Le modéle associé est nommé modèle du brusselator. Sous certaines hypothèses, le modèle simplifié peut s’écrire :

"

X ¹ ptq “ 1 ` αX ² ptqY ptq ´ pβ ` 1qX ptq

Y ¹ ptq “ ´αX ² ptqY ptq ` βX ptq (1)

Exemples d’E.D.O. Chimie : réaction BZ 2020/01/14 6 / 67

(7)

Modèle du Brusselator

Avec α “ 1, β “ 3.5 et les C.I. X p 0 q “ 3 et Y p 0 q “ 2 :

0 10 20 30 40 50 60

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

Brusselator simplifie − Concentrations X(t)

Y(t)

(8)

Modèle du Bruxelator

Avec α “ 1, β “ 3.5 et les C.I. X p 0 q “ 3 et Y p 0 q “ 2 :

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

X(t)

Y(t)

Brusselator simplifie

X(0) Y(0)

Exemples d’E.D.O. Chimie : réaction BZ 2020/01/14 8 / 67

(9)

Modèle du Brusselator

Avec α “ 1, β “ 3.5 et les C.I. X p 0 q “ 3 et Y p 0 q “ 2 :

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Y(t)

Brusselator simplifie

(10)

Modèle de Lorentz

(a) Edward Norton Lorenz 1917-2008, Mathématicien et météorologiste américain

Le couplage Océan-Atmosphère est décrit par un système d’E.D.P. cou- plées de Navier-Stokes de la mé- canique des fluides.

Le modèle de Lorentz est une ver- sion très simplifiée de ces équations pour l’étude du phénomène de convec- tion de Rayleigh-Bénard :

$

&

%

x ¹ ptq “ ´σxptq ` σy ptq

y ¹ ptq “ ´xptqyptq ` ρxptq ´ yptq z ¹ ptq “ xpt qyptq ´ βz ptq

‚ xptq : proportionnel à l’intensité du mouvement de convection,

‚ yptq : proportionnel à la différence de température entre les courants ascendants et descendants,

‚ z ptq :proportionnel à une variation de température

Exemples d’E.D.O. Météorologie : modèle de Lorentz (1963) 2020/01/14 10 / 67

(11)

Modèle de Lorentz

Avec σ “ 10, ρ “ 28, β “ 8 { 3 et les données initiales

xp0q “ ´8, yp0q “ 8, z p0q “ 27 (courbe bleue) et des données initiales perturbées xp0q “ ´8 ` 1e ´ 4, y p0q “ 8, zp0q “ 27 (courbe rouge)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

−20

−15

−10

−5 0 5 10 15 20

x(t)

t Modele de Lorentz

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

−30

−20

−10 0 10 20 30

y(t)

t

20 30 40 50

z(t)

(12)

Modèle de Lorentz : papillon

En représentant la courbe paramétré pxptq, yptq, z ptqq dans l’espace, on obtient l’attracteur étrange de Lorenz en forme d’aile de papillon

−20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20

−50 0

50

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

y(t) x(t)

Modele de Lorentz

z(t)

Exemples d’E.D.O. Météorologie : modèle de Lorentz (1963) 2020/01/14 12 / 67

(13)

Pendule pesant sans viscosité

Le pendule pesant : objet pesant accroché à une tige de masse négligeable, l’autre extrémité de la tige est l’axe de rotation du pendule.

θ ² ptq ` g

L sinpθptqq “ 0. (2)

où θptq est l’angle que fait, à l’instant t , le pendule par rapport à l’axe vertical, L la longueur de la tige.

θ

L

M

(14)

Pendule pesant sans viscosité

Avec ^g _L “ 3 et les C.I. θ 0 “ ^5π ₆ , θ ¹ ₀ “ 0 :

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

−3

−2

−1 0 1 2 3

t

θ(t)

Pendule pesant − valeur angulaire

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

−4

−2 0 2 4

t

θ’(t)

Pendule pesant − vitesse angulaire

Exemples d’E.D.O. Mécanique : le pendule pesant 2020/01/14 14 / 67

(15)

Pendule pesant sans viscosité

Avec ^g _L “ 3 et les C.I. θ 0 “ ^5π ₆ , θ ¹ ₀ “ 0 :

−3 −2 −1 0 1 2 3

−4

−3

−2

−1 0 1 2 3 4

θ’(t)

Pendule pesant

(16)

Pendule pesant sans viscosité

Avec ^g _L “ 3 :

0 5 10 15 20

−8

−6

−4

−2 0 2 4 6 8

A B C

θ

θ’

Représentation des courbes paramétrées (θ(t),θ’(t))

Exemples d’E.D.O. Mécanique : le pendule pesant 2020/01/14 16 / 67

(17)

Plan

1 Exemples d’E.D.O.

2 Définitions et résultats

3 Problème de Cauchy

4 Différences finies m “ 1

5 Différences finies m ą 1

6 Méthodes à un pas

7 Méthodes à pas multiples

8 Méthodes de

prédiction-correction

9 Application

(18)

Soit yyy : I Ă R ÝÑ R ^m de classe

C ^p (continûment dérivable d’ordre p). On note yyy ^ppq la dérivée d’ordre p de yyy .

Definition 2.1

On appelle équation différentielle ordinaire (E.D.O.) d’ordre p une équation de la forme :

Fpt,yyyptq,yyy

^p1q

ptq, yyy

^p2q

ptq, . . . ,yyy

^ppq

ptqq “ 0.

Definition 2.2

On appelle forme canonique d’une E.D.O. une expression du type :

yyy

^ppq

ptq “ G G Gpt, yyyptq, yyy

^p1q

ptq,yyy

^p2q

ptq, . . . ,yyy

^pp´1q

ptqq. (3)

Proposition 2.3

Toute équation différentielle d’ordre p sous forme canonique peut s’écrire comme un système de p équations différentielles d’ordre 1.

Définitions et résultats 2020/01/14 18 / 67

(19)

Plan

1 Exemples d’E.D.O.

2 Définitions et résultats

3 Problème de Cauchy

4 Différences finies m “ 1

5 Différences finies m ą 1

6 Méthodes à un pas

7 Méthodes à pas multiples

8 Méthodes de

prédiction-correction

9 Application

(20)

Definition 3.1: problème de Cauchy

Soit fff l’application continue définie par

fff : rt ⁰ , t ⁰ ` T s ˆ R ^m ÝÑ R ^m pt , yyy q ÞÝÑ fff pt, yyy q

avec T Ps0, `8r. Le problème de Cauchy revient à chercher une fonction yyy définie par

yyy : rt ⁰ , t ⁰ ` T s ÝÑ R ^m

t ÞÝÑ yyy ptq

¨

˚

˝ y 1 ptq

.. . y m pt q

˛

‹

‚

continue et dérivable, telle que

yyy ¹ ptq “ fff pt , yyyptqq, @t P rt ⁰ , t ⁰ ` T s (4)

yyy p 0 q “ yyy ^r0s P R ^m . (5)

Problème de Cauchy 2020/01/14 20 / 67

(21)

pCq

"

yyy ¹ ptq “ fff pt, yyy ptqq, @t P rt ⁰ , t ⁰ ` T s yyy pt ⁰ q “ yyy ^r0s P R ^m .

Exercice 1

Quelles sont les données du problème de Cauchy?

‚ t ⁰ P R , T P R ^`˚ , m P N ^˚

‚ la fonction fff

‚ le vecteur yyy ^r0s P R ^m

(22)

pCq

"

yyy ¹ ptq “ fff pt, yyy ptqq, @t P rt ⁰ , t ⁰ ` T s yyy pt ⁰ q “ yyy ^r0s P R ^m .

Exercice 2

Quelles sont les données du problème de Cauchy?

‚ t ⁰ P R , T P R ^`˚ , m P N ^˚

‚ la fonction fff

‚ le vecteur yyy ^r0s P R ^m

(23)

TD

Exercice 3

Pour chacune des E.D.O. suivantes écrire le problème de Cauchy associé

paq

"

x ² pt q ` αx ¹ ptq ` β cospx pt qq “ sinptq, t Ps 0, 2πs xp0q “ 0, x ¹ p0q “ 1.

pbq

$

&

%

LCv ² ptq ` ˆ L

R ₂ ` R ₁ C

˙ v ¹ ptq `

ˆ R ₁ R ₂ ` 1

˙

v pt q “ e, t Ps 0, 100 s vp0q “ 0, v ¹ p0q “ 0.

pc q

"

x ² ptq “ µp 1 ´ x ² ptqqx ¹ pt q ´ xptq, t Ps 0, 10 s xp0q “ 1, x ¹ p0q “ 1.

pdq

#

y ^p3q pt q ´ cospt qy ^p2q pt q ` 2 sinpt qy ^p1q pt q ´ yptq “ 0, t Ps0, T s

y p0q “ u 0 , y ^p1q p0q “ v 0 , y ^p2q p0q “ w 0 .

(24)

Exercice 4

Déterminer le problème de Cauchy associé au modèle du Brusselator simplifié :

pBq

"

X ¹ pt q “ 1 ` αX ² pt qY ptq ´ pβ ` 1 qX ptq Y ¹ ptq “ ´αX ² pt qY pt q ` βX ptq avec C.I. Xp0q “ X ₀ et Y p0q “ Y ₀ .

Exercice 5

Déterminer le problème de Cauchy associé au modèle du pendule pesant sim- plifié :

pP q θ ^p2q ptq ` g

L sinpθpt qq “ 0.

avec C.I. θp0q “ θ ₀ et θ ¹ p0q “ θ ₀ ¹ .

(25)

‚ Problème de Cauchy linéaire :

"

y ¹ ptq “ 3yptq ´ 3t, si t ą 0

yp 0 q “ 1

On a f pt, vq “ 3v ´ 3t et une solution yptq “ p1 ´ 1{3qe ^3t ` t ` 1{3.

‚ Problème non-linéaire :

"

y ¹ ptq “ a

³

y ptq, si t ą 0

y p0q “ 0

On a f pt, v q “ ?

³

v et trois solutions yptq “ 0, yptq “ a

8t ³ { 27 et

yptq “ ´ a

8t ³ {27.

(26)

‚ Problème de Cauchy linéaire :

"

y ¹ ptq “ 3yptq ´ 3t, si t ą 0

yp 0 q “ 1

On a f pt, vq “ 3v ´ 3t et une solution yptq “ p1 ´ 1{3qe ^3t ` t ` 1{3.

‚ Problème non-linéaire :

"

y ¹ ptq “ a

³

y ptq, si t ą 0

yp0q “ 0

On a f pt, v q “ ?

³

v et trois solutions yptq “ 0, yptq “ a

8t ³ { 27 et

yptq “ ´ a

8t ³ {27.

(27)

p PC q

"

yyy ¹ ptq “ fff pt,yyy ptqq yyy pt ⁰ q “ yyy 0 P R ^m .

avec fff : U ÝÑ R ^m , U un ouvert de R ˆ R ^m et pt ⁰ , yyy ^r0s q P U.

Théorème 1: Cauchy-Lipschitz

On suppose que la fonction fff est continue sur U et quelle est localement lipschitzienne en yyy : @pt, yyy q P U, DW voisinage ttt, DV voisinage yyy , DL ą 0 tels que

@s P W , @pu u u, vvv q P V ² , }fff ps, u u uq ´ fff ps, vvv q} ď L }u u u ´ vvv } (6) Sous ces hypothèses le problème de Cauchy pPCq admet une unique solution.

Proposition 3.2

Si Bfff

Byyy pt ,yyy q est continue et bornée, alors fff satisfait (6).

(28)

Plan

1 Exemples d’E.D.O.

2 Définitions et résultats

3 Problème de Cauchy

4 Différences finies m “ 1

5 Différences finies m ą 1

6 Méthodes à un pas

7 Méthodes à pas multiples

8 Méthodes de

prédiction-correction

9 Application

Différences finiesm“1 2020/01/14 26 / 67

(29)

On veut résoudre le problème de Cauchy : p PC q

"

y ¹ pt q “ f pt, yptqq, @t P rt ⁰ , t ⁰ ` T s ypt ⁰ q “ y ₀ P R .

D’après la formule de Taylor-Lagrange :

ypt ⁿ ` hq “ ypt ⁿ q ` hy ¹ pt ⁿ q ` Oph ² q

La méthode d’Euler progressive est alors donnée par le schéma

"

y ^rn`1s “ y ^rns ` hf pt ⁿ , y ^rns q, @n P v 0, N ´ 1 w

y ^r0s “ ypt ⁰ q (7)

Ce schéma est explicite, car il permet le calcul direct de y ^rn`1s en fonction

de y ^rns .

(30)

On veut résoudre le problème de Cauchy : p PC q

"

y ¹ pt q “ f pt, yptqq, @t P rt ⁰ , t ⁰ ` T s ypt ⁰ q “ y ₀ P R .

D’après la formule de Taylor-Lagrange :

y pt ^n`1 ´ hq “ ypt ^n`1 q ´ hy ¹ pt ^n`1 q ` Oph ² q

La méthode d’Euler régressive est donnée par le schéma

"

y ^rn`1s “ y ^rns ` hf pt ^n`1 , y ^rn`1s q, @n P v 0, N ´ 1 w

y ^r0s “ ypt ⁰ q (8)

Ce schéma est implicite, car y ^rn`1s est définit implicitement en fonction de y ^rns . Il faut donc résoudre à chaque pas de temps une équation non-linéaire en utilisant des méthodes de point fixe par exemple.

(31)

Exercice 6

On veut résoudre numériquement le problème

pPq

suivant : trouver

y

telle que

pPq

"

y¹ptq “ cosptq `

1,

@tP r0,4πs yp0q “

0. dont la solution exacte est

yptq “sinptq `t.

On rappelle le schéma d’Euler progressif pour la résolution d’un problème de Cauchy

pSq

"

y^pn`1q “ y^pnq`hfptⁿ,y^pnqq,

y^p0q

donné.

Q.1

Expliquer en détail comment utiliser le schéma d’Euler progressif pour résoudre le problème

pPq

en précisant entre autres les données, les inconnues, les dimensions des variables, lien entre

y^pnq

et la fonction

y,

...

Q.2

Soit

a,b,aăb

deux réels. Ecrire une fonction

_DisReg

retournant une discrétisation de l’intervalle

ra;bs

avec

N

pas (constant) de discrétisation.

Q.3

Ecrire une fonction

_REDEP

retournant l’ensemble des couples

ptⁿ,y^pnqq

calculés par le schéma d’Euler progressif.

Q.4

Ecrire un algorithme complet de résolution de

pPq

par le schéma d’Euler progressif.

(32)

Exemple d’E.D.O.

"

y ¹ ptq “ yptq ` t ² y ² ptq, pour t P r0, 5s, y p 0 q “ ´ 1

a pour solution exacte yptq “ 1{pe ^´t ´ t ² ` 2t ´ 2q.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

−2

−1.8

−1.6

−1.4

−1.2

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2 0

t

y’(t)=y(t)+t² y²(t) avec y(0)=−1 et N=10

exacte Euler Progressive Euler Regressive

(33)

Exemple d’E.D.O.

"

y ¹ ptq “ yptq ` t ² y ² ptq, pour t P r0, 5s, y p 0 q “ ´ 1

a pour solution exacte yptq “ 1{pe ^´t ´ t ² ` 2t ´ 2q.

−1.6

−1.4

−1.2

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2 0

y’(t)=y(t)+t² y²(t) avec y(0)=−1 et N=50

exacte Euler Progressive Euler Regressive

(34)

Plan

1 Exemples d’E.D.O.

2 Définitions et résultats

3 Problème de Cauchy

4 Différences finies m “ 1

5 Différences finies m ą 1

6 Méthodes à un pas

7 Méthodes à pas multiples

8 Méthodes de

prédiction-correction

9 Application

Différences finiesmą1 2020/01/14 32 / 67

(35)

On veut résoudre le problème de Cauchy : pPCq

"

yyy ¹ pt q “ fff pt, yyy ptqq, @t P rt ⁰ , t ⁰ ` T s yyy pt ⁰ q “ yyy 0 P R ^m .

La méthode d’Euler progressive est donnée par le schéma

"

yyy ^rn`1s “ yyy ^rns ` hfff pt ⁿ ,yyy ^rns q, @n P v 0, N ´ 1 w

yyy ^r0s “ yyy pt ⁰ q (9)

Ce schéma est explicite, car il permet le calcul direct de yyy ^rn`1s en fonction

de yyy ^rns .

(36)

On veut résoudre le problème de Cauchy : pPCq

"

yyy ¹ pt q “ fff pt, yyy ptqq, @t P rt ⁰ , t ⁰ ` T s yyy pt ⁰ q “ yyy 0 P R ^m .

La méthode d’Euler régressive est donnée par le schéma

"

yyy ^rn`1s “ yyy ^rns ` hfff pt ^n`1 ,yyy ^rn`1s q, @n P v 0, N ´ 1 w

yyy ^r0s “ yyy pt ⁰ q (10)

Ce schéma est implicite, car yyy ^rn`1s est définit implicitement en fonction de yyy ^rns .

Différences finiesmą1 2020/01/14 34 / 67

(37)

Plan

1 Exemples d’E.D.O.

2 Définitions et résultats

3 Problème de Cauchy

4 Différences finies m “ 1

5 Différences finies m ą 1

6 Méthodes à un pas

Méthodes de Runge-Kutta

7 Méthodes à pas multiples

8 Méthodes de

prédiction-correction

9 Application

(38)

Soit yyy la solution d’un problème de Cauchy et pt ⁿ q ^N _n“0 la discrétisation régulière de l’intervalle rt ⁰ , t ⁰ ` T s.

Definition 6.1: Méthodes à un pas

Les méthodes à un pas utilisent la formule générale:

yyy ^rn`1s “ yyy ^rns ` hΦ Φ Φpt ⁿ ,yyy ^rns , hq (11) Le schéma (11) converge sur l’intervalle rt ⁰ , t ⁰ `T s si, pour la suite des yyy ^rns calculés, l’écart maximum avec la solution exacte diminue quand le pas h diminue:

lim

h“

^T_N

Ñ0

nPt0,...,Nu max

›

› yyy ^rns ´ yyy pt ⁿ q

›

› “ 0

Pour la méthode d’Euler progressif Φ Φ Φpt,yyy , hq “ fff pt,yyy q.

Méthodes à un pas 2020/01/14 36 / 67

(39)

Definition 6.2: Consistance

Le schéma de calcul (11) est consistant avec le problème de Cauchy (4)-(5) si

lim

h“

^T_N

Ñ0

max n

›

yyy pt ^n`1 q ´ yyy pt ⁿ q

h ´ Φ Φ Φpt ⁿ , yyy pt ⁿ q, hq

›

› “ 0

Cela signifie que le schéma doit être une approximation vraisemblable, bien construite.

Théorème 2

Le schéma (11) est consistant avec le problème de Cauchy (4)-(5) si

Φpt, yyy , 0 q “ f pt,yyy q.

(40)

Definition 6.3: Stabilité

La méthode est stable si une petite perturbation sur yyy ^r0s ou Φ Φ Φ n’entraîne qu’une petite perturbation sur la solution approchée, et cela quel que soit le pas h.

Théorème 3

Si Φ Φ Φpt,yyy , hq vérifie la condition de Lipschitz en yyy alors la méthode est stable.

Théorème 4

Si la méthode est stable et consistante, alors elle converge pour n’importe quelle valeur initiale.

Méthodes à un pas 2020/01/14 38 / 67

(41)

Definition 6.4: Ordre d’un schéma

Le schéma (11) est d’ordre p si la solution yyy du problème de Cauchy (4)-(5) vérifie

max n

›

yyy pt ^n`1 q ´ yyy pt ⁿ q

h ´ Φ Φ Φpt ⁿ , yyy pt ⁿ q, hq

›

› “ Oph ^p q

Lemme 6.5

Soient yyy la solution du problème de Cauchy (4)-(5). et pyyy ^rns q nPv0,Nw

donnés par un schéma à un pas (11) d’ordre p avec yyy ^r0s “ yyy pt ⁰ q. On a alors

nPv0,Nw max

›

› yyy pt ⁿ q ´ yyy ^rns

›

› “ Oph ^p q (12)

(42)

Proposition 6.6

Le schéma d’Euler progressif est une méthode à un pas d’ordre 1.

y ¹ ptq “ cosptq ` 1, t P r 0, 4πs avec yp 0 q “ 0 psol .ex .yptq “ sinptq ` tq

0 2 4 6 8 10 12 14

t 0

0.2 0.4 0.6 0.8

Error

Erreur avech= 2/(20×T), N=20

0 2 4 6 8 10 12 14

t 0

0.02 0.04 0.06 0.08

Error

Erreur avech= 2/(200×T), N=200

Figure: Méthode d’Euler progressive : vérification numérique de l’ordre

Méthodes à un pas 2020/01/14 40 / 67

(43)

Proposition 6.7

Le schéma d’Euler progressif est une méthode à un pas d’ordre 1.

y ¹ ptq “ cosptq ` 1, t P r 0, 4πs avec yp 0 q “ 0 psol .ex .yptq “ sinptq ` tq

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14

h 0

0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14

E(h)

(44)

Méthodes de Runge-Kutta

(a) Carle Runge 1856-1927, mathématicien et physicien allemand

(b) Martin Wilhelm Kutta 1867-1944, Mathématicien allemand

(c) John C. Butcher 1933, Mathématicien appliqué néozélandais

L’idée fondamentale des méthodes de Runge-Kutta est d’intégrer l’équation yyy ¹ ptq “ fff pt, yyy ptqq sur rt ⁿ , t ^n`1 s et de calculer:

yyy pt ^n`1 q “ yyy pt ⁿ q ` ż _t

^n`1

t

ⁿ

fff pt,yyy ptqqdt ,

en utilisant une formule d’intégration numérique à q points intermédiaires pour évaluer l’intégrale.

Méthodes à un pas Méthodes de Runge-Kutta 2020/01/14 41 / 67

(45)

Méthodes de Runge-Kutta

Ce sont des méthodes à un pas :

yyy ^rn`1s “ yyy ^rns ` hΦ Φ Φpt ⁿ ,yyy ^rns , hq avec

Φ Φ Φpt,yyy , hq “

q

ÿ

i“1

c _i k k k ^ris pt,yyy , hq

et k k

k ^ris pt, yyy , hq “ fff

˜

t ` ha i , y ` h

q

ÿ

j “1

b i ,j k k k ^rjs pt, yyy , hq

¸

, 1 ď i ď q que l’on peut représenter sous la forme d’un tableau dit tableau de Butcher :

a a a B

ccc ^t (13)

avec B “ pb _i _,j q i,jPv1,qw P Mq, qpRq, a a a “ pa _i q iPv1,qw P R ^q et

(46)

Proposition 6.8: (admis)

1

Les méthodes de Runge-Kutta explicites sont stables si fff est contractante en yyy.

2

Une méthode de Runge-Kutta est d’ordre 0 si

a

_i

“

q

ÿ

j“1

b

_ij

.

3

Une méthode de Runge-Kutta est d’ordre 1 (et donc consistante) si elle est d’ordre 0 et si

q

ÿ

i“1

c

_i

“ 1.

4

Une méthode de Runge-Kutta est d’ordre 2 si elle est d’ordre 1 et si

q

ÿ

i“1

c

i

a

i

“ 1{2.

5

Une méthode de Runge-Kutta est explicite si la matrice B est triangulaire inférieure à diagonale nulle :

@pi , jq P v1, qw, j ě i, b

_ij

“ 0.

(47)

Runge-Kutta d’ordre 2

0 0 0

1 2α

1 2α 0

1 ´ α α

(14)

Φ Φ

Φpt,yyy , hq “ p1 ´ αqfff pt,yyy q ` αfff pt ` h

2α ,yyy ` h

2α fff pt, yyy qq

‚ α “ ¹ ₂ , méthode de Heun : yyy ^rn`1s “ yyy ^rns ` h

2 fff pt ⁿ ,yyy ^rns q ` h 2 fff

´

t ^n`1 , yyy ^rns ` hfff pt ⁿ , yyy ^rns q

¯ .

‚ α “ 1, méthode d’Euler modifiée ou méthode du point milieu:

yyy ^rn`1s “ yyy ^rns ` hfff ˆ

t ⁿ ` h

2 , yyy ^rns ` h

2 fff pt ⁿ ,yyy ^rns q

˙

.

(48)

Exercice 7

la méthode de Heun est donnée par yyy ^rn`1s “ yyy ^rns ` h

2 fff pt ⁿ , yyy ^rns q ` h 2 fff

´

t ^n`1 ,yyy ^rns ` hfff pt ⁿ ,yyy ^rns q

¯ .

Q.1 Ecrire la fonction algorithmique _REDHeunVec permettant de résoudre un problème de Cauchy (vectoriel par la méthode de Heun en utilisant au plus 2N évaluation de fff .

Q.2 Ecrire un programme algorithmique permettant de retrouver numériquement l’ordre de cette méthode.

(49)

Application

y ¹ ptq “ cosptq ` 1, t P r 0, 4πs avec yp 0 q “ 0 psol .ex .yptq “ sinptq ` tq

1e-2 1e-1 1e+0

1e-6 1e-5 1e-4 1e-3 1e-2 1e-1 1e+0

h

E(h)

Euler (ordre 1.000) Heun (ordre 1.999) O(h) O(h^2)

Figure: Méthode de Heun : vérification numérique de l’ordre

(50)

Runge-Kutta d’ordre 4

La méthode explicite la plus utilisée est donnée par le tableau de Buchler suivant

0 0 0 0 0

1 { 2 1 { 2 0 0 0

1{2 0 1{2 0 0

1 0 0 1 0

1{6 2{6 2{6 1{6

(15)

Ce qui donne le schéma explicite de Runge-Kutta d’ordre 4 : k k k ^rns ₁ “ fff pt ⁿ ,yyy ^rns q

k k k ^rns ₂ “ fff pt ⁿ ` ^h ₂ , yyy ^rns ` ^h ₂ k k k ^rns ₁ q k k k ^rns ₃ “ fff pt ⁿ ` ^h ₂ , yyy ^rns ` ^h ₂ k k k ^rns ₂ q k k k ^rns ₄ “ fff pt ⁿ ` h,yyy ^rns ` hk k k ^rns ₃ q

yyy ^rn`1s “ yyy ^rns ` ^h ₆ pk k k ^rns ₁ ` 2k k k ^rns ₂ ` 2k k k ^rns ₃ ` k k k ^rns ₄ q.

(16)

(51)

Exercice 8

la méthode de Runge-Kutta d’ordre 4 est donnée par k k

k

^rns₁

“ fff pt

ⁿ

,yyy

^rns

q k

k

^rns₂

“ fff pt

ⁿ

`

^h₂

,yyy

^rns

`

^h₂

k k k

^rns₁

q k k

k

^rns₃

“ fff pt

ⁿ

`

^h₂

,yyy

^rns

`

^h₂

k k k

^rns₂

q k

k

^rns₄

“ fff pt

ⁿ

` h, yyy

^rns

` hk k k

^rns₃

q

yyy

^rn`1s

“ yyy

^rns

`

^h₆

pk k k

^rns₁

` 2k k k

^rns₂

` 2k k k

^rns₃

` k k k

^rns₄

q.

Q.1 Ecrire la fonction algorithmique REDRK4Vec permettant de résoudre un problème de Cauchy (vectoriel par la méthode de Runge-Kutta d’ordre 4.

Q.2 Ecrire un programme algorithmique permettant de retrouver numériquement

l’ordre de cette méthode.

(52)

y ¹ ptq “ cosptq ` 1, t P r 0, 4πs avec yp 0 q “ 0 psol .ex .yptq “ sinptq ` tq

1e-2 1e-1 1e+0

1e-12 1e-11 1e-10 1e-9 1e-8 1e-7 1e-6 1e-5 1e-4 1e-3 1e-2

h

E(h)

Heun (ordre 1.999) RK4 (ordre 3.998) O(h^2) O(h^3) O(h^4)

Figure: Méthode RK4 : vérification numérique de l’ordre mais en prenant des h de plus en plus petits ...

(53)

y ¹ ptq “ cosptq ` 1, t P r0, 4πs avec yp0q “ 0 psol .ex .yptq “ sinptq ` tq

1e-3 1e-2 1e-1

1e-14 1e-13 1e-12 1e-11 1e-10 1e-9 1e-8 1e-7 1e-6 1e-5 1e-4 1e-3

h

E(h)

Heun (ordre 2.000) RK4 (ordre 2.908) O(h^2) O(h^3) O(h^4)

Figure: Méthode RK4 progressive : vérification numérique de l’ordre

(54)

Plan

1 Exemples d’E.D.O.

2 Définitions et résultats

3 Problème de Cauchy

4 Différences finies m “ 1

5 Différences finies m ą 1

6 Méthodes à un pas

7 Méthodes à pas multiples Résultats théoriques

Méthodes d’Adams-Bashforth Méthodes d’Adams-Moulton

8 Méthodes de

prédiction-correction

9 Application

Méthodes à pas multiples 2020/01/14 50 / 67

(55)

Exemple d’une méthode à deux pas :

yyy ^rn`1s “ yyy ^rn´1s ` 2hfff pt ⁿ , yyy ^rns q. (17) Cette méthode est d’ordre 2.

Definition 7.1: Méthodes à pas multiples

Les méthodes à pas multiples s’écrivent sous la forme générale:

k

ÿ

i“0

α _i yyy ^rn`is “ h

k

ÿ

i“0

β _i fff pt ^n`i , yyy ^rn`is q (18)

où k est le nombre de pas, α _k ‰ 0 et |α ₀ | ` |β ₀ | ą 0.

Si β k “ 0 le schéma est explicite, sinon il est implicite.

(56)

Definition 7.2: ordre

Soit yyy la solution d’un problème de Cauchy (4)-5 et yyy

^rn`ks

le terme obtenu par le schéma (18) en prenant yyy

^rn`is

“ yyypt

^n`i

q, @i P v0, k ´ 1w. Alors, l’erreur locale est

τpn ` kq “

›

› yyy pt

^n`k

q ´ yyy

^rn`ks

›

8

. Le schéma (18) est alors d’ordre p si

τpn ` kq “ Oph

^p`1

q.

Théorème 5: ordre schémas à pas multiples (admis)

Un schéma à pas multiples de type (18) est d’ordre p si et seulement si

k

ÿ

i“0

α

i

“ 0,

k

ÿ

i“0

α

i

^q

“ q

k

ÿ

i“0

β

i

^q´1

, @q P v1, pw.

Méthodes à pas multiples Résultats théoriques 2020/01/14 52 / 67

(57)

Théorème 6: stabilité schémas à pas multiples (admis)

Soit une méthode à pas multiples donnée par (18). On note P le polynôme défini par

Ppλq “

k

ÿ

i“0

α

_i

λ

ⁱ

.

La méthode à pas multiples est stable, si

1

toutes les racines de P sont de module inférieur ou égal à 1,

2

une racine de module égal à 1 est une racine simple de P.

Théorème 7: convergence (admis)

On suppose que les k valeurs initiales vérifient,

›

› yyy pt

ⁱ

q ´ yyy

^ris

›

› ď C

0

h

^p

, @i P v0, k ´ 1w.

Si le schéma (18) est stable et d’ordre p, alors il est convergent d’ordre p :

›

› yyypt

ⁿ

q ´ yyy

^rns

›

› ď Ch

^p

, @n P v0, N w.

(58)

Exemples de schémas à pas multiples

John Couch Adams 1819-1892, mathématicien et astronome britannique

Francis Bashforth

1819-1912, mathématicien appliqué britannique

(a) Forest Ray Moulton 1872-1952, mathématicien et astronome américain

‚ Méthodes explicites d’Adams-Bashforth

‚ Méthodes implicites d’Adams-Moulton

Méthodes à pas multiples Résultats théoriques 2020/01/14 54 / 67

(59)

Méthodes explicites d’Adams-Bashforth

On note en abrégé fff ^rns “ fff pt ⁿ , yyy ^rns q. Voici trois schémas :

‚ Ordre 2 à 2 pas :

yyy ^rn`1s “ yyy ^rns ` h 2

´

3fff ^rns ´ fff ^rn´1s

¯ .

‚ Ordre 3 à 3 pas :

yyy ^rn`1s “ yyy ^rns ` h 12

´

23fff ^rns ´ 16fff ^rn´1s ` 5fff ^rn´2s ¯ .

‚ Ordre 4 à 4 pas : yyy ^rn`1s “ yyy ^rns ` h

24 ´

55fff ^rns ´ 59fff ^rn´1s ` 37fff ^rn´2s ´ 9fff ^rn´3s

¯

.

(60)

Exercice 9

La méthode de Adam-Bashforth d’ordre 4 explicite est donnée par yyy ^rn`1s “ yyy ^rns ` ₂₄ ^h

´

55fff ^rns ´ 59fff ^rn´1s ` 37fff ^rn´2s ´ 9fff ^rn´3s

¯ . (19) avec fff ^rns “ fff pt ⁿ , yyy ^rns q.

Q.1 Ecrire la fonction algorithmique REDAB4Vec permettant de résoudre un problème de Cauchy (vectoriel) par cette méthode.

Méthodes à pas multiples Méthodes d’Adams-Bashforth 2020/01/14 56 / 67

(61)

Méthodes implicites d’Adams-Moulton

On note en abrégé fff ^rns “ fff pt ⁿ , yyy ^rns q. Voici trois schémas :

‚ Ordre 2 à 1 pas :

yyy ^rn`1s “ yyy ^rns ` h 2

´

fff ^rn`1s ` fff ^rns

¯ .

‚ Ordre 3 à 2 pas :

yyy ^rn`1s “ yyy ^rns ` h 12

´

5fff ^rn`1s ` 8fff ^rns ´ fff ^rn´1s

¯ .

‚ Ordre 4 à 3 pas : yyy ^rn`1s “ yyy ^rns ` h

24 ´

9fff ^rn`1s ` 19fff ^rns ´ 5fff ^rn´1s ` fff ^rn´2s

¯

.

(62)

Plan

1 Exemples d’E.D.O.

2 Définitions et résultats

3 Problème de Cauchy

4 Différences finies m “ 1

5 Différences finies m ą 1

6 Méthodes à un pas

7 Méthodes à pas multiples

8 Méthodes de

prédiction-correction

9 Application

Méthodes de prédiction-correction 2020/01/14 58 / 67

(63)

Méthodes de prédiction-correction

Une méthode de prédiction-correction procède en deux étapes à chacune des itérations :

‚ Prédiction : on calcule une approximation de yyy pt n`1 q notée yyy ^rn`1s à l’aide du schéma explicite

‚ Correction : on utilise le schéma implicite dans lequel les fonctions fff

utilisant yyy ^rn`1s sont remplacées par les fonctions fff utilisant yyy ^rn`1s .

(64)

Exemple

Méthode d’Euler explicite pour prédicteur et méthode implicite des trapèzes comme correcteur.

Euler explicite : yyy ^rn`1s “ yyy ^rns ` hfff pt ⁿ , yyy ^rns q

Trapèze implicite : yyy ^rn`1s “ yyy ^rns ` ^h ₂ pfff pt ⁿ , yyy ^rns q ` fff pt ^n`1 , yyy ^rn`1s qq

On obtient :

"

yyy ^rn`1s “ yyy ^rns ` hfff pt ⁿ , yyy ^rns q Prédiction

yyy ^rn`1s “ yyy ^rns ` ^h ₂ pfff pt ⁿ , yyy ^rns q ` fff pt ^n`1 , yyy ^rn`1s qq Correction

Méthodes de prédiction-correction 2020/01/14 60 / 67

(65)

Exercice 10

On pose fff ^rns “ fff pt ⁿ , yyy ^rns q. La méthode de Adams-Bashforth d’ordre 4 explicite est donnée par

yyy ^rn`1s “ yyy ^rns ` h 24

´

55fff ^rns ´ 59fff ^rn´1s ` 37fff ^rn´2s ´ 9fff ^rn´3s

¯

et la méthode de Adams-Moulton d’ordre 4 implicite par

yyy ^rn`1s “ yyy ^rns ` h 24

´

9fff ^rn`1s ` 19fff ^rns ´ 5fff ^rn´1s ` fff ^rn´2s

¯

avec fff ^rns “ fff pt ⁿ , yyy ^rns q.

Q.1 Ecrire la fonction algorithmique REDPreCor4Vec permet-

tant de résoudre un problème de Cauchy (vectoriel) par une méthode

de prédiction-correction utilisant ces deux schémas. On minimisera le

nombre d’appel à la fonction fff dans la boucle principale.

(66)

Plan

1 Exemples d’E.D.O.

2 Définitions et résultats

3 Problème de Cauchy

4 Différences finies m “ 1

5 Différences finies m ą 1

6 Méthodes à un pas

7 Méthodes à pas multiples

8 Méthodes de

prédiction-correction

9 Application

Application 2020/01/14 62 / 67

(67)

Application : modèle de Lorentz

$

&

%

x ¹ ptq “ ´σxptq ` σyptq

y ¹ ptq “ ´xptqz ptq ` ρxpt q ´ yptq z ¹ ptq “ xptqyptq ´ βzptq

σ “ 10, ρ “ 28, β “ 8 { 3 - xp 0 q “ ´ 8, yp 0 q “ 8, zp 0 q “ ρ ´ 1.

y(t)

x(t) -10

0 10 20 30

-20 0

10 20

z(t)

30 40 50

-30 -20

-10 0

10 20

0 20 40 60 80 100

-20 -10 0 10 20

t

x(t)

0 20 40 60 80 100

-30 -20 -10 0 10 20 30

t

y(t)

0 20 40 60 80 100

0 10 20 30 40 50

t

z(t)

(68)

Le problème de Cauchy correspondant au modèle de Lorentz : Trouver yyy : rt ⁰ , t ⁰ ` T s ÝÑ R ³ solution de

yyy ¹ ptq “ fff pt,yyy ptqq, @t P rt ⁰ , t ⁰ ` T s yyy pt ⁰ q “ yyy ^r0s “

¨

˝

´ 8 8 ρ ´ 1

˛

‚ P R ³ .

où t ⁰ “ 0, T “ 100 et

fff : r 0, 100 s ˆ R ³ ÝÑ R ³ pt, l l lq ÞÝÑ fff pt, l l lq “

¨

˝

´σl 1 ` σl 2

´l 1 l 3 ` ρl ₁ ´ l 2

l 1 l 2 ´ βl 3

˛

‚

ou encore ...

Application 2020/01/14 64 / 67

(69)

Le problème de Cauchy correspondant au modèle de Lorentz : Trouver yyy : rt ⁰ , t ⁰ ` T s ÝÑ R ³ solution de

yyy ¹ ptq “ fff pt,yyy ptqq, @t P rt ⁰ , t ⁰ ` T s yyy pt ⁰ q “ yyy ^r0s “

¨

˝

´8 8 ρ ´ 1

˛

‚ P R ³ .

où t ⁰ “ 0, T “ 100 et

fff : r0, 100s ˆ R ³ ÝÑ R ³ pt,zzz q ÞÝÑ fff pt,zzzq “

¨

˝

´σz 1 ` σz 2

´z 1 z 3 ` ρz 1 ´ z 2

z ₁ z ₂ ´ βz ₃

˛

‚

(70)

f u n c t i o n w = f L o r e n t z ( t , z , beta , rho , s i g m a )

% F u n c t i o n de C a u c h y a s s o c i e e au ...

m o d e l e de L o r e n t z

% beta , rho et s i g m a p a r a m e t r e s ...

p h y s i q u e s

w =[ - s i g m a * z (1) + s i g m a * z (2) ; ...

- z (1) * z (3) + rho * z (1) - z (2) ; ...

z (1) * z (2) - b e t a * z (3) ];

end

Listing 1:fonction de Cauchy : fichier

fLorentz.m

c l e a r all c l o s e all

s i g m a = 1 0 ; rho = 2 8 ; b e t a = 8 / 3 ; f C a u c h y = @ ( t , z ) ...

f L o r e n t z ( t , z , beta , rho , s i g m a ) ; y0 =[ -8;8; rho - 1 ] ;

[ t , Y ]= r e d R K 4 V e c ( fCauchy ,0 ,100 , y0 , 1 0 0 0 0 ) ; f i g u r e (1)

p l o t 3 ( Y (1 ,:) , Y (2 ,:) , Y (3 ,:) )

x l a b e l ( ’ x ( t ) ’ ) , y l a b e l ( ’ y ( t ) ’ ) , z l a b e l ( ’ z ( t ) ’ ) p r i n t - d p d f fig01 - L o r e n t z . pdf

f i g u r e (2) s u b p l o t (3 ,1 ,1) p l o t ( t , Y (1 ,:) ) ;

x l a b e l ( ’ t ’ ) , y l a b e l ( ’ x ( t ) ’ ) s u b p l o t (3 ,1 ,2)

p l o t ( t , Y (2 ,:) ) ;

x l a b e l ( ’ t ’ ) , y l a b e l ( ’ y ( t ) ’ ) s u b p l o t (3 ,1 ,3)

p l o t ( t , Y (3 ,:) ) ;

x l a b e l ( ’ t ’ ) , y l a b e l ( ’ z ( t ) ’ ) p r i n t - d p d f fig02 - L o r e n t z . pdf

Listing 2:Résolution du modèle de Lorentz : script

prgLorentz.m

Application 2020/01/14 65 / 67

(71)

Partie IV

Résolution numérique des E.D.P.

(72)

Plan

10 ...

... 2020/01/14 67 / 67

Méthodes numériques II (cours 2 à 4)