E.D.O. : méthodes numériques (cours 1 et 2)

E.D.O. : méthodes numériques (cours 1 et 2)

François Cuvelier

Laboratoire d'Analyse Géométrie et Applications Institut Galilée

Université Paris XIII.

5 janvier 2015

Plan

1

Introduction Exemples

Météorologie

Chimie : La réaction de Belousov-Zhabotinsky Mécanique

Dénition des E.D.O.

Formulation générale : le problème de Cauchy Dérivation numérique

Méthode des diérences nies pour le problème de Cauchy en dimension m “ 1

Exemple

Stabilité (absolue)

Méthode des diérences nies pour le problème de Cauchy en

dimension m

Le couplage Océan-Atmosphère est décrit par un système d'E.D.P. couplées de Navier-Stokes de la mécanique des uides.

Le modèle de Lorentz est une version très simpliée de ces équations pour l'étude du phénomène de convection de Rayleigh-Bénard :

$

&

%

x

ptq “ ´σ x ptq ` σ y ptq

y

ptq “ ´x pt qy pt q ` ρ x ptq ´ y ptq

z

ptq “ x ptqy ptq ´ βz ptq (1) où

‚ x ptq : proportionnel à l'intensité du mouvement de convection,

‚ y ptq : proportionnel à la diérence de température entre les courants ascendants et descendants,

‚ z ptq :proportionnel à une variation de température

Modèle de Lorentz

Avec σ “ 10, ρ “ 28, β “ 8{3 et les données initales xp0q “ ´8, y p0q “ 8 et zp0q “ ρ ´ 1 .

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

−20 0 20

x(t)

t Modele de Lorentz

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

−50 0 50

y(t)

t

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0 20 40

z(t)

t

Modèle de Lorentz : papillon

Modèle du Bruxelator

Une solution de bromate de potassium et d'acide sulfurique mélangée à une solution d'acide manolique et de bromure de sodium peut entrainer, sous certaines conditions, une oscillation de la couleur de la solution mélange du rouge au bleue avec une période de 7 secondes.

Le modéle associé est nommé modèle du bruxelator. Sous certaines hypothèses, le modèle simplié peut s'écrire :

"

A

ptq “ 1 ` α A

ptqBptq ´ pβ ` 1qAptq

B

ptq “ ´αA

ptqBptq ` βAptq (2)

Modèle du Bruxelator

Avec α “ 1 , β “ 3 . 5 et les C.I. Ap0q “ 3 et Bp0q “ 2 :

1 2 3 4 5 6

Brusselator simplifie − Concentrations

A(t) B(t)

Modèle du Bruxelator

Avec α “ 1 , β “ 3 . 5 et les C.I. Ap0q “ 3 et Bp0q “ 2 :

0 1 2 3 4 5 6

0 1 2 3 4 5 6

B(t)

Brusselator simplifie

Pendule pesant sans viscosité

Le pendule pesant : objet pesant accroché à une tige de masse négligeable, l'autre extrémité de la tige est l'axe de rotation du pendule.

θ

ptq ` g

L sinpθptqq “ 0 . (3)

où θptq est l'angle que fait, à l'instant t , le pendule par rapport à l'axe vertical, L la longueur de la tige.

θ

L

M

Pendule pesant sans viscosité

Avec

“ 3 et les C.I. θ

“

, θ

“ 0 :

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

−3

−2

−1 0 1 2 3

t

θ(t)

Pendule pesant − valeur angulaire

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

−4

−2 0 2 4

θ’(t)

Pendule pesant − vitesse angulaire

Pendule pesant sans viscosité

Avec

“ 3 et les C.I. θ

“

, θ

“ 0 :

−3

−2

−1 0 1 2 3 4

θ’(t)

Pendule pesant

Pendule pesant sans viscosité

Avec

“ 3 :

0 5 10 15 20

−8

−6

−4

−2 0 2 4 6 8

A B C

θ’

Représentation des courbes paramétrées (θ(t),θ’(t))

Plan

1

Introduction Exemples

Météorologie

Chimie : La réaction de Belousov-Zhabotinsky Mécanique

Dénition des E.D.O.

Formulation générale : le problème de Cauchy Dérivation numérique

Méthode des diérences nies pour le problème de Cauchy en dimension m “ 1

Exemple

Stabilité (absolue)

Méthode des diérences nies pour le problème de Cauchy en

dimension m

Soit une fonction yyy dénie sur un intervalle de R à valeurs dans R

de classe C

(continûment dérivable d'ordre p) et on note yyy

la dérivée d'ordre p de yyy .

Dénition

On appelle équation diérentielle ordinaire (E.D.O.) d'ordre p une équation de la forme :

F pt , yyy ptq, yyy

ptq, yyy

ptq, . . . , yyy

ptqq “ 0 . Dénition

On appelle forme canonique d'une E.D.O. une expression du type : yyy

ptq “ G G G pt , yyyptq, yyy

ptq, yyy

ptq, . . . , yyy

ptqq. (4) Proposition

Toute équation diérentielle d'ordre p sous forme canonique peut s'écrire

comme un système de p équations diérentielles d'ordre 1.

Plan

1

Introduction Exemples

Météorologie

Chimie : La réaction de Belousov-Zhabotinsky Mécanique

Dénition des E.D.O.

Formulation générale : le problème de Cauchy Dérivation numérique

Méthode des diérences nies pour le problème de Cauchy en dimension m “ 1

Exemple

Stabilité (absolue)

Méthode des diérences nies pour le problème de Cauchy en

dimension m

Dénition (problème de Cauchy) Soit fff l'application continue dénie par

fff : rt

, t

` T s ˆ R

ÝÑ R

pt , yyy q ÞÝÑ fff pt , yyy q

avec T Ps0 , `8s. Le problème de Cauchy revient à chercher une fonction yyy dénie par

yyy : rt

, t

` T s ÝÑ R

t ÞÝÑ yyy ptq

continue et dérivable, telle que

"

yyy

ptq “ fff pt , yyy ptqq, @t P rt

, t

` T s

yyy pt

q “ yyy

P R

. (5)

pCq

"

yyy

ptq “ fff pt , yyy ptqq, @t P rt

, t

` T s yyy pt

q “ yyy

P R

.

Exercice

Quelles sont les données du problème de Cauchy ?

"

yyy

ptq “ fff pt , yyy ptqq, @t P rt

, t

` T s

yyy pt

q “ yyy

P R

. (6)

t

P R , T P R

, m P N

la fonction fff

le vecteur yyy

P R

pCq

"

yyy

ptq “ fff pt , yyy ptqq, @t P rt

, t

` T s yyy pt

q “ yyy

P R

.

Exercice

Quelles sont les données du problème de Cauchy ?

"

yyy

ptq “ fff pt , yyy ptqq, @t P rt

, t

` T s

yyy pt

q “ yyy

P R

. (6)

t

P R , T P R

, m P N

la fonction fff

le vecteur yyy

P R

Exercice

Déterminer le problème de Cauchy associé au modèle du Bruxelator simplié :

pBq

"

A

pt q “ 1 ` α A

ptqBptq ´ pβ ` 1qAptq B

ptq “ ´α A

ptqBptq ` β Aptq

avec C.I. Ap0q “ A

et Bp0q “ A

.

On pose yyy ptq “

ˆ y

pt q y

pt q

˙

avec y

ptq “ Aptq et y

ptq “ Bptq. La forme canonique de p B q est yyy

ptq “ G G G

pt , yyy ptqq avec p “ 1 et G G G

pt , zzz q “

ˆ 1 ` α z

z

´ pβ ` 1qz

´α z

z

` β z

˙ .

On pose fff

pt, zzzq “ G G G

pt, zzzq et yyy

“ pA

, B

q

p C

q

"

yyy

ptq “ fff

pt,yyy ptqq, @t P r0, T s

yyypt

q “ yyy

P R

.

Exercice

Déterminer le problème de Cauchy associé au modèle du Bruxelator simplié :

pBq

"

A

pt q “ 1 ` α A

ptqBptq ´ pβ ` 1qAptq B

ptq “ ´α A

ptqBptq ` β Aptq

avec C.I. Ap0q “ A

et Bp0q “ A

. On pose yyy ptq “

ˆ y

pt q y

pt q

˙

avec y

ptq “ Aptq et y

ptq “ Bptq.

La forme canonique de p B q est yyy

ptq “ G G G

pt , yyy ptqq avec p “ 1 et G G G

pt , zzz q “

ˆ 1 ` α z

z

´ pβ ` 1qz

´α z

z

` β z

˙ .

On pose fff

pt, zzzq “ G G G

pt, zzzq et yyy

“ pA

, B

q

p C

q

"

yyy

ptq “ fff

pt,yyy ptqq, @t P r0, T s

yyypt

q “ yyy

P R

.

Exercice

Déterminer le problème de Cauchy associé au modèle du Bruxelator simplié :

pBq

"

A

pt q “ 1 ` α A

ptqBptq ´ pβ ` 1qAptq B

ptq “ ´α A

ptqBptq ` β Aptq

avec C.I. Ap0q “ A

et Bp0q “ A

. On pose yyy ptq “

ˆ y

pt q y

pt q

˙

avec y

ptq “ Aptq et y

ptq “ Bptq.

La forme canonique de p B q est yyy

ptq “ G G G

pt , yyy ptqq avec p “ 1 et G G G

pt , zzz q “

ˆ 1 ` α z

z

´ pβ ` 1qz

´α z

z

` β z

˙ .

On pose fff

pt, zzzq “ G G G

pt, zzzq et yyy

“ pA

, B

q

p C

q

"

yyy

ptq “ fff

pt,yyy ptqq, @t P r0, T s

yyypt

q “ yyy

P R

.

Exercice

Déterminer le problème de Cauchy associé au modèle du Bruxelator simplié :

pBq

"

A

pt q “ 1 ` α A

ptqBptq ´ pβ ` 1qAptq B

ptq “ ´α A

ptqBptq ` β Aptq

avec C.I. Ap0q “ A

et Bp0q “ A

. On pose yyy ptq “

ˆ y

pt q y

pt q

˙

avec y

ptq “ Aptq et y

ptq “ Bptq.

La forme canonique de p B q est yyy

ptq “ G G G

pt , yyy ptqq avec p “ 1 et G G G

pt , zzz q “

ˆ 1 ` α z

z

´ pβ ` 1qz

´α z

z

` β z

˙ .

On pose fff

pt, zzzq “ G G G

pt, zzzq et yyy

“ pA

, B

q

p C

q

"

yyy

ptq “ fff

pt , yyy ptqq, @t P r0 , T s

yyy pt

q “ yyy

P R

.

Exercice

Déterminer le problème de Cauchy associé au modèle du pendule pesant simplié :

p P q θ

ptq ` g

L sinpθptqq “ 0 . avec C.I. θp0q “ θ

et θ

p0q “ θ

.

On pose yyy ptq “ py

ptq, y

ptqq

avec y

ptq “ θptq et y

ptq “ θ

ptq.

yyy

ptq “

˜ y

ptq y

ptq

¸

“

ˆ θ

ptq θ

ptq

˙

“

ˆ θ

ptq

´

sinpθptqq

˙

“

ˆ y

ptq

´

sinpy

ptqq

˙ . On pose fff

pt,zzzq “

ˆ z

´

sinpz

q

˙

et yyy

“ pθ

, θ

q

pC

q

"

yyy

ptq “ fff

pt , yyy ptqq, @t P r0 , T s

yyy pt

q “ yyy

P R

.

Exercice

Déterminer le problème de Cauchy associé au modèle du pendule pesant simplié :

p P q θ

ptq ` g

L sinpθptqq “ 0 . avec C.I. θp0q “ θ

et θ

p0q “ θ

.

On pose yyy ptq “ py

ptq, y

ptqq

avec y

ptq “ θptq et y

ptq “ θ

ptq.

yyy

ptq “

˜ y

ptq y

ptq

¸

“

ˆ θ

ptq θ

ptq

˙

“

ˆ θ

ptq

´

sinpθptqq

˙

“

ˆ y

ptq

´

sinpy

ptqq

˙ . On pose fff

pt,zzzq “

ˆ z

´

sinpz

q

˙

et yyy

“ pθ

, θ

q

pC

q

"

yyy

ptq “ fff

pt , yyy ptqq, @t P r0 , T s

yyy pt

q “ yyy

P R

.

Exercice

Déterminer le problème de Cauchy associé au modèle du pendule pesant simplié :

p P q θ

ptq ` g

L sinpθptqq “ 0 . avec C.I. θp0q “ θ

et θ

p0q “ θ

.

On pose yyy ptq “ py

ptq, y

ptqq

avec y

ptq “ θptq et y

ptq “ θ

ptq.

yyy

ptq “

˜ y

ptq y

ptq

¸

“

ˆ θ

pt q θ

pt q

˙

“

ˆ θ

ptq

´

sinpθptqq

˙

“

ˆ y

ptq

´

sinpy

ptqq

˙ .

On pose fff

pt,zzzq “

ˆ z

´

sinpz

q

˙

et yyy

“ pθ

, θ

q

pC

q

"

yyy

ptq “ fff

pt , yyy ptqq, @t P r0 , T s

yyy pt

q “ yyy

P R

.

Exercice

Déterminer le problème de Cauchy associé au modèle du pendule pesant simplié :

p P q θ

ptq ` g

L sinpθptqq “ 0 . avec C.I. θp0q “ θ

et θ

p0q “ θ

.

On pose yyy ptq “ py

ptq, y

ptqq

avec y

ptq “ θptq et y

ptq “ θ

ptq.

yyy

ptq “

˜ y

ptq y

ptq

¸

“

ˆ θ

pt q θ

pt q

˙

“

ˆ θ

ptq

´

sinpθptqq

˙

“

ˆ y

ptq

´

sinpy

ptqq

˙ . On pose fff

pt ,zzzq “

ˆ z

´

sinpz

q

˙

et yyy

“ pθ

, θ

q

"

yyy

ptq “ fff

pt , yyy ptqq, @t P r0 , T s

Problème de Cauchy linéaire :

"

y

ptq “ 3yptq ´ 3t , si t ą 0 y p0q “ 1

On a f pt , v q “ 3v ´ 3t et une solution yptq “ p1 ´ 1{3qe

` t ` 1{3 .

Problème non-linéaire :

"

y

ptq “ a

y ptq, si t ą 0 y p0q “ 0

On a f pt, v q “ ?

v et trois solutions y pt q “ 0, y ptq “ a

8t

{27 et y ptq “ ´ a

8t

{27 .

Problème de Cauchy linéaire :

"

y

ptq “ 3yptq ´ 3t , si t ą 0 y p0q “ 1

On a f pt , v q “ 3v ´ 3t et une solution yptq “ p1 ´ 1{3qe

` t ` 1{3 . Problème non-linéaire :

"

y

ptq “ a

y ptq, si t ą 0 y p0q “ 0

On a f pt , v q “ ?

v et trois solutions y pt q “ 0 , y ptq “ a

8t

{27 et y ptq “ ´ a

8t

{27 .

p PC q

"

yyy

ptq “ fff pt,yyy ptqq yyy pt

q “ yyy

P R

.

avec fff : U ÝÑ R

, U un ouvert de R ˆ R

et pt

, yyy

P U.

Theorem (Cauchy-Lipschitz)

On suppose que la fonction fff est continue sur U et quelle est localement lipschitzienne en yyy : @pt , yyy q P U , D W voisinage ttt , D V voisinage yyy , DL ą 0 tels que

@s P W, @puuu , vvv q P V

, }fff ps , uuuq ´ fff ps , vvv q} ď L }uuu ´ vvv } (7) Sous ces hypothèses le problème de Cauchy p PC q admet une unique solution.

Proposition

Bfff

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1

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Météorologie

Chimie : La réaction de Belousov-Zhabotinsky Mécanique

Dénition des E.D.O.

Formulation générale : le problème de Cauchy Dérivation numérique

Méthode des diérences nies pour le problème de Cauchy en dimension m “ 1

Exemple

Stabilité (absolue)

Méthode des diérences nies pour le problème de Cauchy en

dimension m

On note t

“ a ` nh , n P v0 , N w et h “ pb ´ aq{N une discrétisation régulière de ra , bs. Soit pDy q

une approximation de y

pt

q. On appelle

diérence nie progressive l'approximation pDy q

“ y pt

q ´ y pt

q

h , @n P v0 , N ´ 1w (8)

diérence nie rétrograde l'approximation pDy q

“ y pt

q ´ y pt

q

h , @n P v1 , N w (9)

diérence nie centrée l'approximation pDy q

“ y pt

q ´ y pt

q

2h , @n P v1 , N ´ 1w (10)

On note t

“ a ` nh , n P v0 , N w et h “ pb ´ aq{N une discrétisation régulière de ra , bs. Soit pDy q

une approximation de y

pt

q. On appelle

diérence nie progressive l'approximation pDy q

“ y pt

q ´ y pt

q

h , @n P v0 , N ´ 1w (8)

diérence nie rétrograde l'approximation pDy q

“ y pt

q ´ y pt

q

h , @n P v1 , N w (9)

diérence nie centrée l'approximation pDy q

“ y pt

q ´ y pt

q

2h , @n P v1 , N ´ 1w (10)

On note t

“ a ` nh , n P v0 , N w et h “ pb ´ aq{N une discrétisation régulière de ra , bs. Soit pDy q

une approximation de y

pt

q. On appelle

diérence nie progressive l'approximation pDy q

“ y pt

q ´ y pt

q

h , @n P v0 , N ´ 1w (8)

diérence nie rétrograde l'approximation pDy q

“ y pt

q ´ y pt

q

h , @n P v1 , N w (9)

diérence nie centrée l'approximation pDy q

“ y pt

q ´ y pt

q

2h , @n P v1 , N ´ 1w (10)

Denition

Soit g une fonction. On dit que g se comporte comme un grand O de h

quand h tend vers 0

DH ą 0 , DC ą 0 , t.q. |g phq| ď Ch

, @h Ps ´ H , H r ô g phq “ Oph

q Proposition (Développement de Taylor)

Soit f P C

pra , bs; Rq.

‚ @px , y q P ra, bs

il existe un ξ Psx , y r tel que f px q “ f py q `

ÿ

k“0

f

py q

k ! px ´ y q

` f

pξq

pr ` 1q! px ´ y q

(11)

‚ @x P ra, bs, @h P R

vériant x ` h P ra, bs, il existe ξ Ps minpx , x ` hq, maxpx , x ` hqr tel quel

f px hq “ f px ÿ

f

px q

h

f

pξq

h

(12)

Dénition

La diérence |y

pt

q ´ pDy q

| est appelée erreur de troncature au point t

. On dira que |y

pt

q ´ pDy q

| est d'ordre p ą 0 si il existe une

constance C ą 0 telle que

|y

pt

q ´ pDy q

| ď Ch

. Proposition

|y

pt

q ´ pDy q

| “ ˇ ˇ ˇ

ˇ y

pt

q ´ y pt

q ´ y pt

q h

ˇ ˇ ˇ

ˇ “ Ophq, (13)

|y

pt

q ´ pDyq

| “ ˇ ˇ ˇ

ˇ y

pt

q ´ y pt

q ´ y pt

q h

ˇ ˇ ˇ

ˇ “ Ophq, (14)

|y

pt

q ´ pDy q

| “ ˇ ˇ ˇ

ˇ y

pt

q ´ y pt

q ´ y pt

q 2h

ˇ ˇ ˇ

ˇ “ Oph

q. (15)

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Formulation générale : le problème de Cauchy Dérivation numérique

Méthode des diérences nies pour le problème de Cauchy en dimension m “ 1

Exemple

Stabilité (absolue)

Méthode des diérences nies pour le problème de Cauchy en

dimension m

On veut résoudre le problème de Cauchy : pPCq

"

y

ptq “ f pt , y ptqq, @t P rt

, t

` T s y pt

q “ y

P R .

La méthode d'Euler progressive est donnée par le schéma

"

y

“ y

` hf pt

, y

q, @n P v0 , N ´ 1w

y

“ y pt

q (16)

Ce schéma est explicite, car il permet le calcul direct de y

en fonction

de y

.

On veut résoudre le problème de Cauchy : pPCq

"

y

ptq “ f pt , y ptqq, @t P rt

, t

` T s y pt

q “ y

P R.

La méthode d'Euler régressive est donnée par le schéma

"

y

“ y

` hf pt

, y

q, @n P v0 , N ´ 1w

y

“ y pt

q (17)

Ce schéma est implicite, car y

est dénit implicitement en fonction de

y

. Il faut donc résoudre à chaque pas de temps une équation non-linéaire

en utilisant des méthodes de point xe par exemple.

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1

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Météorologie

Chimie : La réaction de Belousov-Zhabotinsky Mécanique

Dénition des E.D.O.

Formulation générale : le problème de Cauchy Dérivation numérique

Méthode des diérences nies pour le problème de Cauchy en dimension m “ 1

Exemple

Stabilité (absolue)

Méthode des diérences nies pour le problème de Cauchy en

dimension m

Soit l'E.D.O. suivante

"

y

ptq “ y ptq ` t

y

ptq, pour t P r0 , 5s, y p0q “ ´1

de solution exacte

y ptq “ 1{pe

´ t

` 2t ´ 2q.

−1.8

−1.6

−1.4

−1.2

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2 0

y’(t)=y(t)+t² y²(t) avec y(0)=−1 et N=10

exacte Euler Progressive Euler Regressive

Soit l'E.D.O. suivante

"

y

ptq “ y ptq ` t

y

ptq, pour t P r0 , 5s, y p0q “ ´1

de solution exacte

y ptq “ 1{pe

´ t

` 2t ´ 2q.

−1.6

−1.4

−1.2

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2 0

y’(t)=y(t)+t² y²(t) avec y(0)=−1 et N=50

exacte Euler Progressive Euler Regressive

Plan

1

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Chimie : La réaction de Belousov-Zhabotinsky Mécanique

Dénition des E.D.O.

Formulation générale : le problème de Cauchy Dérivation numérique

Méthode des diérences nies pour le problème de Cauchy en dimension m “ 1

Exemple

Stabilité (absolue)

Méthode des diérences nies pour le problème de Cauchy en

dimension m

Stabilité (absolue)

On étudie le problème modèle suivant :

"

y

ptq “ λy ptq, pour t P R

, y p0q “ y

où λ ă 0 est donné. La solution exacte est y ptq “ y

e

. En particulier, on a

tÑ`8

lim y ptq “ 0 Dénition

On pose t

“ nh, où le pas de temps h ą 0 est donné et y

une

approximation de y pt

q par un schéma donné. On dit alors que le schéma

associé à ce problème est absolument stable si

Stabilité (absolue)

Ce n'est malheureusement pas toujours le cas avec le schéma d'Euler progressif et h “

« 1.05.

Instabilité Euler progressif - Stabilité Euler rétrograde :

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

−8

−6

−4

−2 0 2 4 6 8

t

y’(t)=−2y(t) avec y(0)=1 et h=1.0526

exacte Euler Progressive Euler Regressive

Stabilité (absolue)

Ce n'est malheureusement pas toujours le cas avec le schéma d'Euler progressif et h “

« 1.05.

Instabilité Euler progressif - Stabilité Euler rétrograde :

−6

−4

−2 0 2 4 6 8

y’(t)=−2y(t) avec y(0)=1 et h=1.0526

exacte Euler Progressive Euler Regressive

Stabilité (absolue)

Par contre, avec h “

« 0 . 95 , le même schéma est stable.

Stabilité Euler progressif - Stabilité Euler rétrograde :

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

t

y’(t)=−2y(t) avec y(0)=1 et h=0.95238

exacte Euler Progressive Euler Regressive

Stabilité (absolue)

Par contre, avec h “

« 0 . 95 , le même schéma est stable.

Stabilité Euler progressif - Stabilité Euler rétrograde :

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

y’(t)=−2y(t) avec y(0)=1 et h=0.95238

exacte Euler Progressive Euler Regressive

Stabilité (absolue)

Avec h “ 0.1, les deux schémas sont stables :

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

y’(t)=−2y(t) avec y(0)=1 et h=0.1

exacte Euler Progressive Euler Regressive

Stabilité (absolue) pour Euler progressif

Le schéma d'Euler progressif associé au problème modèle

"

y

ptq “ λ y ptq, pour t P R

, y p0q “ y

y

“ y

` hf pt

, y

q “ y

` λ hy

“ p1 ` λ hqy

y

“ p1 ` λhq

y

, @n ě 0.

si |1 ` λ h| ă 1 alors lim

|y

| “ 0 , si |1 ` λ h| ą 1 alors lim

|y

| “ `8, Stabilité ssi |1 ` λ h| ă 1 ðñ 0 ă h ă ´

.

Le schéma d'Euler progressif est conditionnellement stable.

Stabilité (absolue) pour Euler progressif

Le schéma d'Euler progressif associé au problème modèle

"

y

ptq “ λ y ptq, pour t P R

, y p0q “ y

y

“ y

` hf pt

, y

q “ y

` λ hy

“ p1 ` λ hqy

y

“ p1 ` λ hq

y

, @n ě 0 .

si |1 ` λ h| ă 1 alors lim

|y

| “ 0 , si |1 ` λ h| ą 1 alors lim

|y

| “ `8, Stabilité ssi |1 ` λ h| ă 1 ðñ 0 ă h ă ´

.

Le schéma d'Euler progressif est conditionnellement stable.

Stabilité (absolue) pour Euler progressif

Le schéma d'Euler progressif associé au problème modèle

"

y

ptq “ λ y ptq, pour t P R

, y p0q “ y

y

“ y

` hf pt

, y

q “ y

` λ hy

“ p1 ` λ hqy

y

“ p1 ` λ hq

y

, @n ě 0 .

si |1 ` λh| ă 1 alors lim

|y

| “ 0, si |1 ` λ h| ą 1 alors lim

|y

| “ `8,

Stabilité ssi |1 ` λ h| ă 1 ðñ 0 ă h ă ´

.

Le schéma d'Euler progressif est conditionnellement stable.

Stabilité (absolue) pour Euler progressif

Le schéma d'Euler progressif associé au problème modèle

"

y

ptq “ λ y ptq, pour t P R

, y p0q “ y

y

“ y

` hf pt

, y

q “ y

` λ hy

“ p1 ` λ hqy

y

“ p1 ` λ hq

y

, @n ě 0 .

si |1 ` λh| ă 1 alors lim

|y

| “ 0, si |1 ` λ h| ą 1 alors lim

|y

| “ `8, Stabilité ssi |1 ` λ h| ă 1 ðñ 0 ă h ă ´

.

Le schéma d'Euler progressif est conditionnellement stable.

Stabilité (absolue) pour Euler progressif

Le schéma d'Euler progressif associé au problème modèle

"

y

ptq “ λ y ptq, pour t P R

, y p0q “ y

y

“ y

` hf pt

, y

q “ y

` λ hy

“ p1 ` λ hqy

y

“ p1 ` λ hq

y

, @n ě 0 .

si |1 ` λh| ă 1 alors lim

|y

| “ 0, si |1 ` λ h| ą 1 alors lim

|y

| “ `8, Stabilité ssi |1 ` λ h| ă 1 ðñ 0 ă h ă ´

.

Le schéma d'Euler progressif est conditionnellement stable.

Stabilité (absolue) pour Euler régressif

Le schéma d'Euler régressif associé au problème modèle

"

y

ptq “ λ y ptq, pour t P R

, y p0q “ y

y

“ y

` hf pt

, y

q “ y

` λ hy

“ 1 1 ´ λ h y

y

“

ˆ 1

1 ´ λ h

˙

y

, @n ě 0 .

Or |

| ă 1 donc lim

|y

| “ 0,

Le schéma d'Euler régressif est inconditionnellement stable.

Stabilité (absolue) pour Euler régressif

Le schéma d'Euler régressif associé au problème modèle

"

y

ptq “ λ y ptq, pour t P R

, y p0q “ y

y

“ y

` hf pt

, y

q “ y

` λ hy

“ 1 1 ´ λ h y

y

“

ˆ 1

1 ´ λ h

˙

y

, @n ě 0 .

Or |

| ă 1 donc lim

|y

| “ 0,

Le schéma d'Euler régressif est inconditionnellement stable.

Stabilité (absolue) pour Euler régressif

Le schéma d'Euler régressif associé au problème modèle

"

y

ptq “ λ y ptq, pour t P R

, y p0q “ y

y

“ y

` hf pt

, y

q “ y

` λ hy

“ 1 1 ´ λ h y

y

“

ˆ 1

1 ´ λ h

˙

y

, @n ě 0 .

Or |

| ă 1 donc lim

|y

| “ 0,

Le schéma d'Euler régressif est inconditionnellement stable.

Stabilité (absolue) pour Euler régressif

Le schéma d'Euler régressif associé au problème modèle

"

y

ptq “ λ y ptq, pour t P R

, y p0q “ y

y

“ y

` hf pt

, y

q “ y

` λ hy

“ 1 1 ´ λ h y

y

“

ˆ 1

1 ´ λ h

˙

y

, @n ě 0 .

Or |

| ă 1 donc lim

|y

| “ 0,

Le schéma d'Euler régressif est inconditionnellement stable.

Plan

1

Introduction Exemples

Météorologie

Chimie : La réaction de Belousov-Zhabotinsky Mécanique

Dénition des E.D.O.

Formulation générale : le problème de Cauchy Dérivation numérique

Méthode des diérences nies pour le problème de Cauchy en dimension m “ 1

Exemple

Stabilité (absolue)

Méthode des diérences nies pour le problème de Cauchy en

dimension m

On veut résoudre le problème de Cauchy : pPCq

"

yyy

ptq “ fff pt , yyy ptqq, @t P rt

, t

` T s yyy pt

q “ yyy

P R

.

La méthode d'Euler progressive est donnée par le schéma

"

yyy

“ yyy

` hfff pt

, yyy

q, @n P v0 , N ´ 1w

yyy

“ yyypt

q (18)

Ce schéma est explicite, car il permet le calcul direct de yyy

en fonction

de yyy

.

On veut résoudre le problème de Cauchy : pPCq

"

yyy

ptq “ fff pt , yyy ptqq, @t P rt

, t

` T s yyy pt

q “ yyy

P R

.

La méthode d'Euler régressive est donnée par le schéma

"

yyy

“ yyy

` hfff pt

, yyy

q, @n P v0 , N ´ 1w

yyy

“ yyy pt

q (19)

Ce schéma est implicite, car yyy

est dénit implicitement en fonction de

yyy

.