Étude d’un flash d’appareil photographique
Durée : 3h Samedi 14 novembre
1 Étude d’un flash d’appareil photographique
1.1 Obtention d’un courant alternatif quasi-sinusoïdal
uC
uR
Données : R=0, 5Ω;C=200 pF ;L=36 mH.
1.1 En régime permanent continu, la bobine se comporte comme un fil. La tension à ses bornes tend vers 0 : uL∞ =0
1.2 Le condensateur est initialement déchargé. DoncuC(0−)=0. Or la tension à ses bornes ne peut subir de discontinuité. DoncuC(0+)=0.
La courant à travers le circuit est nul avant la fermeture de l’interrupteur :i(0−)=0. Or le courant, traversant une bobine, ne peut subir de discontinuité. Donci(0+)=0. D’après la loi d’Ohm, la tension aux bornes de la résistance est nulle :uR(0+)=0.
D’après la loi des mailles àt=0+
uL(0+)=E−uC(0+)−uR(0+)=E
Car nous en aurons besoin en question 1.5, déterminons la valeur de la dérivée deuLent=0+. Dérivons la loi des mailles :
d uL
d t (0+)+d uR
d t (0+)+d uC
d t (0+)
| {z }
i(0+) C =0
=0
D’après la loi d’Ohm
d uR
d t (0+)=Rd i d t(0+) et d’après la loi caractéristique de la bobine
uL(0+)=Ld i
d t(0+)=E comme on vient de le montrer
D’où d uL
d t (0+)= −R
LE= −ω0
Q E¿ω20E comme on le montrera en question 1.4
1.3 D’après la loi des mailles
E=uR+uL+uC
D’après les lois caractéristiques (en convention récepteur) uR=Ri uL=Ld i
d t i=Cd uC
d t
Donc
E=Ri+uL+uC
En dérivant deux fois cette loi des mailles 0=Rd2i
d t2+d2uL
d t2 +d2uC
d t2 ⇔ 0=R L
d uL
d t +d2uL
d t2 + 1 LCuL
⇔ d2uL
d t2 +ω0
Q d uL
d t +ω20uL 1.4 avec ω0= 1
pLC =3, 7 · 105rad · s−1la pulsation propre et Q= 1 R
s L
C =2, 7 · 104le facteur de qualité.
1.5 On constate que le facteur de qualité est très élevé. On est régime pseudo-période (presque périodique).
On poseτ= 2Qw0 = 2LR le temps caractéristique d’amortissement etΩ=2Qω0p
4Q2−1≈ω0=p1LC la pseudo- période.
Les solutions de cette équation différentielle linéaire homogène sont de la forme uL=(Acos(ω0t)+Bsin(ω0t)) exp(−t
τ) Àt=0+,
uL(0+)=E ⇔ A=E et
d uL
d t (0+)= −ω0
Q E ⇔ ω0B−E τ = −ω0
Q E
⇔ B= µ 1
ω0τ− 1 Q
¶ E
⇔ B= − E 2Q ¿E La tension aux bornes de la bobine s’écrit donc
uL=Ecos(ω0t) exp(−t τ) 1.6 On a défini le temps caractéristique d’amortissement
τ=2L
R =1, 4 · 10−1s
# un temps très long, surtout devant la pseudo-périodeT =1, 7 · 10−5s. On peut considérer l’oscillateur harmonique sur l’échelle de milliers de période. C’est cohérent avec le titre du paragraphe.
uL≈Ecos(ω0t)
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1.2 Alimentation du flash et décharge
uRf
i0
Données : E0=300 V ;R0=180Ω;Rf =10Ω;C0=150µF.
1.7 En régime permanent, le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert. La chute de tension est nulle aux bornes deR0.
uC0(∞)=E0 La chargeqmaxstockée dans le condensateur vaut donc
qmax=C0uC0(∞)=C0E0 =4, 5 · 10−2C Par définition de l’énergie emmagasinée
Ee=1 2
qmax2
C0 =6, 8 J
#une énergie importante dans un composant. Il s’agit de l’énergie pour soulever une masse de 1 kg sur une hauteur de 68 cm.
1.8 D’après la loi des mailles
uRf =uC0
D’après les lois caractéristiques
uC0=Rfi0 i0= −C0d uC0
d t
Donc
uR0=uC0 ⇔ RfC0d uC0
d t =uC0
On pose τ0=RfC0 =1, 5 · 10−3s le temps caractéristique de décharge du courant. #Temps bref, mais de l’ordre de grandeur d’une prise de vue.
Sous forme canonique
d uC0
d t + 1 τ0uC0=0
Les solutions de cette équation différentielle linéaire homogène est de la forme
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uC0=Aexp µ
−t τ0
¶
Àt=0−, le condensateur est initialement chargé àuC0(0−)=E0. Or la tension aux bornes du condensateur ne peut subir de discontinuité. DoncuC0(0+)=E0.
Finalement
uC0=E0exp µ
−t τ0
¶
2 Pollution par les nitrates : dosage indirect des nitrates contenus dans une eau
(d’après Banque PT 2020)
nNO−3
V0=50, 0 mL
nFe2+,restant
nFe2+
V1=100, 0 mL àc1=1, 0 mmol.L−1
nMnO−4
V=11, 0 mL àc2=3, 0 · 10−4mol.L−1
oxydation du fer conso. totale du nitrate
2.1 On donne les demi-équations rédox des couples NO−3(aq)/NO(g)et Fe3+(aq)/Fe2+(aq): (1) NO−3(aq)+4 H+(aq)+3 e−=NO(g)+2 H2O(l) (2) Fe3(aq)+ +e−=Fe2(aq)+
On cherche la combinaison linéaire permettant d’éliminer les électrons du bilan (1)−3(2)⇔3 Fe2+(aq)+NO−3(aq)+4 H3O+(aq)=3 Fe3+(aq)+NO(g)+6 H2O(l)
En déduire l’équation de la réaction d’oxydo-réduction ayant lieu dans l’erlenmeyer avant le dosage.
On supposera cette réaction quantitative.
2.2 On donne l’équation du dosage des ions Fe2(aq)+ par les ions permanganates.
5 Fe2(aq)+ +MnO−4(aq)+8 H3O+(aq)=5 Fe3(aq)+ +Mn2(aq)+ +12 H2O(l) À l’équivalence, les réactifs sont introduits dans les proportions stoechiométriques
nFe,restant
5 =nMnO4
Par définition de la concentration
nFe,restant=5c2V
Dressons le tableau d’avancement de la réaction d’oxydation du nitrate
3 Fe2+(aq) + NO–3(aq) + 4 H3O+(aq)= 3 Fe3+(aq)+ NO(g)+ 6 H2O(l)
àξ=0 nFe,i nNO3,i - 0 0 -
àξ=ξf nFe,i−3ξf =nFe,restant nNO3,i−ξf =0 - 3ξf ξf -
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Le nitrate est le réactif limitant, doncξf=nNO
3,i, donc nNO3,i=nFe,i−nFe,restant
3 =c1V1−5c2V 3 Par définition de la concentration
[NO−3]=nNO3,i
V0 =c1V1−5c2V
3V0 =5, 6 · 10−4mol.L−1 2.3 Par définition de la concentration massique
cNO3=mNO3
V0 Or, par définition de la masse molaire
mNO3=nNO3,iMNO3
D’où
cNO3=[NO−3]MNO3 =3, 6 · 10−2g.L−1 Soit 36 mg.L−1qui est en dessous des normes : l’eau estpotable.
2.4 Un enfant de 35 kg peut absorber à la limite, par jour une masse de nitratem=3, 65×35≈120 mg. Il faudrait donc boire environ 4 L d’eau pour arriver à la limite.
3 Cinétique de la dissolution du carbonate de calcium dans une solution acide
(d’après Banque PT 2019)
3.1 Le squelette contient 3 kg de phosphate de calcium. La proportion en masse du calcium y est de 3MCa
3MCa+2MP+8MO≈0, 4 ce qui donne une masse de calcium valant environ
mCa=1, kg
3.2 La masse de calcium renouvelée est d’environ 250 g chaque année, soit 0, 7 g par jour. Comme un litre de lait contient 1, 1 g de calcium, il faudrait en boire un peu plus de 600 mL par jour si le lait était la seule source de calcium.
#Je peux avancer que c’est plus que ce que vous buvez. Mais heureusement, le lait n’est pas le seul apport de calcium.
3.3 L’acide chlorhydrique est un acide fort qui se dissout complètement dans l’eau, donc après dissolution [H+]=ca et par définition du pH
p H= −logca=1 3.4 D’après l’équation d’état des gaz parfaits
nCO
2=pCO2V RT 3.5 Établissons le tableau d’avancement de la réaction
CaCO3(s) + 2 H+(aq) = CO2(g)+ H2O(l)+ Ca2(aq)+
Pourx=0 nCaCO3 nH+ 0 - 0
Pourxqcq nCaCO3−x nH5/8+−2x x - x November 16, 2020
Il vient immédiatement que
nCO2=x D’où, àt=100 s
x=pCO2V
RT =2, 87 mmol
#c’est presque la même valeur que le tableau de la question 3.6.
3.6 Par définition de la concentration
nH+=[H+(aq)]V0
Le bilan de matière de la question 3.5donne
nH+=caV0−2x soit x=caV0−nH+
2 =0, 5 mmol àt=10 s
#ce qui est presque la même valeur que dans le tableau de la question 3.5.
Ces premières questions sont d’une simplicité affligeante, indignes presque d’une épreuve de concours.
3.7 Les deux tableaux sont identiques... cette question est-elle bien raisonnable ?
Une fois les résultats expérimentaux obtenus on désire déterminer l’ordre de la réaction par rapport à l’ion oxo- nium H+. On utilisera comme expression de la vitesse :
v=k[H+(aq)]α oùαest l’ordre de la réaction.
3.8 La vitesse volumique de réaction est égale, au coefficient stoechiométrique près, à la vitesse de disparition des réactifs
v= −1 2
d[H+] d t
#On n’oubliera pas le signe−, l’ion oxonium étant un réactif, sa quantité décroit au cours du temps, donc la dérivéed[H+]
d t est négative. On n’oubliera pas non plus le coefficient1/2dû au coefficient stoechiométrique.
3.9 Supposons que la réaction est d’ordre 0 par rapport à l’ion oxonium
−1 2
d[H+] d t =k Intégrons cette relation entret=0 ettquelconque
w[H+](t) ca
d[H+]= − wt
02kd t0 ⇔ [H+](t)=ca−2kt On a montré que
x=caV0−nH+
2 =caV0−[H+](t)V0
2 =caV0−(ca−2kt)V0
2 =kV0t
d’où
x=kV0t
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3.10 Supposons que la réaction est d’ordre 1 par rapport à l’ion oxonium
−1 2
d[H+]
d t =k[H+] Intégrons cette relation entret=0 ettquelconque
w[H+](t) ca
d[H+] [H+] = −wt
0 2kd t0 ⇔ ln µ[H+]
ca
¶
= −2kt
⇔ [H+](t)=caexp (−2kt)
On a montré que
nH+=caV0−2x ⇔ caV0exp (−2kt)=caV0−2x
⇔ exp (−2kt)=caV0−2x caV0
⇔ ln
µcaV0−2x caV0
¶
= −2kt
3.11 Supposons que la réaction est d’ordre 2 par rapport à l’ion oxonium
−1 2
d[H+]
d t =k[H+]2 Intégrons cette relation entret=0 ettquelconque
w[H+](t)
ca −d[H+] [H+]2 =
wt
02kd t0 ⇔ 1 [H+]− 1
ca =2kt
⇔ 1
[H+]= 1 ca +2kt
On a montré que
nH+=caV0−2x ⇔ 1
[H+]V0 = 1 caV0−2x
⇔ 1
caV0+2kt
V0 = 1 caV0−2x
⇔ 1
caV0−2x− 1
caV0=2kt V0
3.12 La troisième courbe est la plus proche d’une droite (meilleur coefficient de corrélationR2). La réaction est d’ordre 2.
v=k[H3O+]2
En comparant l’expression obtenue question ci-dessus avec l’équation de la droite tracée, on en déduit que 2k
V0 =1, 43⇔k=7, 1 · 10−2mol−1· L · s−1
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3.13 #Compte-tenu de la position de la question, on attend bien-sur d’utiliser et commenter la loi cinétique précé- dente
Le pH de l’océan est de 8 alors qu’on part ici d’un pH de 1, c’est-à-dire d’une concentration en H+qui est 107 fois plus faible. La réaction étant d’ordre 2 par rapport à H+, la vitesse dans l’océan est 1014fois plus faible que dans l’expérience réalisée. Ainsi, la dissolution des coraux dans l’océan est très lente... et ils peuvent renouveler leur coquille.
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