Méthodes numériques II (cours 1 et 2)

(1)

Méthodes numériques II (cours 1 et 2)

François Cuvelier

Laboratoire d'Analyse Géométrie et Applications Institut Galilée

Université Paris XIII.

2016/02/06

2016/02/06 1 / 42

(2)

Part IV

Résolution numérique des E.D.P.

2016/02/06 2 / 42

(3)

1

Exemples d'E.D.P.

2

Méthodes de résolution numérique d'EDP

3

Opérateurs aux diérences nies

4

Méthode des diérences nies 1D

2016/02/06 3 / 42

(4)

Plan

1

Exemples d'E.D.P.

Equation de Laplace/Poisson Equation de la chaleur Equation des ondes

2

Méthodes de résolution numérique d'EDP

3

Opérateurs aux diérences nies

4

Méthode des diérences nies 1D

Exemples d'E.D.P. 2016/02/06 4 / 42

(5)

Equation de Laplace et équation de Poisson

Pierre-Simon Laplace 1749-1827, mathématicien, astronome, physicien et homme politique français

Siméon Denis Poisson 1781-1840, mathématicien, géomètre et physicien français

´ ∆ u “ f , dans Ω Ă R

ⁿ

(1) où ∆ est l'opérateur laplacien : ∆u “

^B_Bx²^u₂

1

` . . . `

^B_B²_x^u₂

n

. Equation de Laplace si f “ 0 , sinon équation de Poisson.

Exemples d'E.D.P. Equation de Laplace/Poisson 2016/02/06 5 / 42

(6)

Conditions aux limites

´ ∆ u “ f , dans Ω Ă R

ⁿ

‚ Dirichlet si on impose, sur une partie de BΩ,

u “ g , sur Γ

_D

Ă BΩ. (2)

‚ Neumann si on impose sur une partie de BΩ, Bu

Bn “ g , sur Γ

_N

Ă BΩ. (3) où

^B_B^u_n

“ xgrad grad grad u , nnny avec nnn normale exterieure unitaire à Ω

‚ Robin si on impose sur une partie de BΩ Bu

Bn ` α u “ g , sur Γ

_R

Ă BΩ. (4)

(7)

Problème de condensateur en 2D

Find u: ΩÝÑRsuch that

´∆u “ 0 inΩĂR², u “ 0 onΓ₁₀, u “ ´1 onΓ₂YΓ3, u “ 1 onΓ₁YΓ4,

!₁ !₂

!₃ !

4

!10

(8)

Problème de condensateur en 2D

!₁ !₂

!₃ !

4

!10

(9)

Problème de condensateur en 2D

!₁ !₂

!₃ !

4

!10

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

(10)

Champ de vitesses en 2D :VVV “ ∇ ∇ ∇ u

Trouver u: ΩÝÑRtel que

´∆u “ 0 dansΩĂR², u “ ´1 surΓ₂YΓ3, u “ 1 surΓ₁YΓ4, Bu

Bn “ 0 surΓ₁₀.

!₁ !₂

!₃ !₄

!₁₀

(11)

Champ de vitesses en 2D :VVV “ ∇ ∇ ∇ u

!₁ !₂

!₃ !₄

!₁₀

(12)

Champ de vitesses en 2D :VVV “ ∇ ∇ ∇ u

!₁ !₂

!₃ !₄

!₁₀

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

(13)

Problème mal posé

Problème en dimension n Find u : Ω ÝÑ R such that

´∆ u “ f in Ω Ă R

ⁿ

, Bu

Bn “ g sur BΩ.

où Ω est un domaine borné de R

ⁿ

.

Ce problème est mal posé : non unicité de la solution.

u solution ñ u ` constante solution

(14)

Bu

Bt pt, xxx q ´ D∆u pt, xxxq “ f pt, xxxq

ρ c , @xxx P Ω, @t P r0, T s (5)

‚ Ω Ă R

^d

de frontière BΩ

‚ D , coecient de diusivité thermique (en m

²

{s),

‚ f , production volumique de chaleur (en W {m

³

),

‚ ρ, masse volumique du matériau (en kg {m

³

),

‚ c , chaleur spécique massique du matériau (en J{kg {K),

‚ ∆ u laplacien (en espace) : ∆ u “

^B_B²_x^u₂

1

` . . . `

^B_B²_x^u₂

d

Problème bien posé ?

Exemples d'E.D.P. Equation de la chaleur 2016/02/06 10 / 42

(15)

Bu

Bt pt , xxx q ´ D ∆ u pt , xxxq “ f pt , xxxq

ρ c , @xxx P Ω, @t P r0 , T s (5) Problème bien posé :

‚ condition initiale

@xxx P Ω, up0 , xxxq “ u

0

pxxxq (6)

‚ conditions aux limites sur BΩ

§ Dirichlet :

@xxx P Γ

_D

Ă BΩ, @t P r0 , T s upt , xxxq “ g

_D

pt , xxxq (7)

§ Neumann :

@xxx P Γ

_N

Ă BΩ, @t P r0 , T s D Bu

B n pt , xxxq “ g

_N

pt , xxxq (8)

§ Robin :

@xxx P Γ

_R

Ă BΩ, @t P r0 , T s D Bu

Bn pt , xxxq ` α upt , xxxq “ g

_N

pt , xxxq

(16)

Problème de chaleur en 2D

Find u: ΩĂR²ÝÑRsuch that

Bu

Bt ´D∆u “ 0 inr0,Ts ˆΩ, up0,xxxq “ 20@xxxPΩ,

Bu

Bn “ 0 onΓ₁₀, u “ g1 onΓ₂YΓ3, u “ g2 onΓ₁YΓ4,

où Ω (cotés de 20cm)

‚ D “ 98 . 8 ˆ 10

^´6

(aluminium) ou D “ 23 . 9 ˆ 10

^´6

(plomb),

‚ @xxx P Γ

₂

Y Γ 3 ,

g

1

pt , xxxq “ p20 ` 40tq si t ă“ 1 et g

1

pt , xxxq “ 60 sinon,

‚ @xxx P Γ

₁

Y Γ 4 ,

g

2

p t , xxx q “ p 20 ` 80t q si t ă“ 1 et g

2

p t , xxx q “ 100 sinon.

!1 !2

!3 !4

!10

(17)

Equation des ondes

B

²

u

Bt

²

pt , xxx q ´ c

²

∆ u pt , xxx q “ 0 , @xxx P Ω, @t P r0 , T s (9)

‚ Ω Ă R

^d

de frontière BΩ

‚ c ą 0 vitesse de propagation de l'onde, Problème bien posé ?

Exemples d'E.D.P. Equation des ondes 2016/02/06 12 / 42

(18)

B

²

u

Bt

²

pt , xxx q ´ c

²

∆ u pt , xxx q “ 0 , @xxx P Ω, @t P r0 , T s

‚ conditions initiales

up0 , xxx q “ u

0

pxxx q, @xxx P Ω [position initiale]

Bu

Bt p0 , xxx q “ v

₀

pxxxq, @xxx P Ω [vitesse initiale]

‚ conditions aux limites sur BΩ

§ Dirichlet :

@xxx P Γ

_D

Ă BΩ, @t P r0 , T s, upt , xxxq “ g

_D

pt , xxxq

§ Neumann :

@ xxx P Γ

_N

Ă BΩ, @ t P r 0 , T s, c

²

B u

Bn p t , xxx q “ g

N

p t , xxx q

§ Robin :

@xxx P Γ

_R

Ă BΩ, @t P r0 , T s, c

²

Bu

B n pt , xxxq ` α upt , xxxq “ g

_N

pt , xxxq

Exemples d'E.D.P. Equation des ondes 2016/02/06 13 / 42

(19)

Plan

1

Exemples d'E.D.P.

2

Méthodes de résolution numérique d'EDP

3

Opérateurs aux diérences nies

4

Méthode des diérences nies 1D

Méthodes de résolution numérique

d'EDP 2016/02/06 14 / 42

(20)

Résolution numérique d'EDP

Méthodes déterministes :

‚ méthode des diérences nies

‚ méthode des éléments nis

‚ méthode des volumes nis

Méthodes de résolution numérique

d'EDP 2016/02/06 15 / 42

(21)

Plan

1

Exemples d'E.D.P.

2

Méthodes de résolution numérique d'EDP

3

Opérateurs aux diérences nies Dimension 1

Dimension n ą 1

4

Méthode des diérences nies 1D

Opérateurs aux diérences nies 2016/02/06 16 / 42

(22)

Opérateurs aux diérences nies

Soient ϕ : R ÝÑ R susament régulière, h ą 0 et x P R pD

_h^`

ϕqpx q “ 1

h pϕpx ` hq ´ ϕpx qq (10)

pD

_h^´

ϕqpx q “ 1

h pϕpx q ´ ϕpx ´ hqq (11)

pD

_h⁰

ϕqpx q “ 1

2h pϕpx ` hq ´ ϕpx ´ hqq (12)

‚ D

_h^`

opérateur progressif/décentré avancé

‚ D

_h^´

opérateur rétrograde/décentré retardé

‚ D

_h⁰

opérateur centré

Opérateurs aux diérences nies Dimension 1 2016/02/06 17 / 42

(23)

Denition 3.1

Soit h ą 0 . On dit qu'un opérateur aux diérences nies D

_h

est une approximation consistante d'ordre p de

^d_dx^k^ϕk

si pour tout ϕ : ra , bs ÝÑ R susament régulière on a

x

max

Pra,bs

ˇ ˇ ˇ

ˇ pD

_h

ϕqpx q ´ d

^k

ϕ dx

^k

px q

ˇ ˇ ˇ

ˇ ď Ch

^p

, (13) où C est une constante indépendante de h .

Proposition 3.2

Si ϕ : R ÝÑ R est susament régulière, les opérateurs D

_h^`

et D

_h^´

sont des approximations consistantes d'ordre 1 de

^d_dx^ϕ

et l'opérateur D

_h⁰

est une approximation consistante d'ordre 2 de

^dϕ_dx

.

(24)

TD

Exercise 3.1

Soient h ą et les trois opérateurs aux diérences nies suivant p D

_h^`

ϕqp x q “ 1

h pϕp x ` h q ´ ϕp x qq p D

_h^´

ϕqp x q “ 1

h pϕp x q ´ ϕp x ´ h qq p D

_h⁰

ϕqp x q “ 1

2h pϕp x ` h q ´ ϕp x ´ h qq

Q.1 Monter que ces trois opérateurs sont linéaires (i.e. @pλ, µq P R

²

,

@ϕ : R ÝÑ R , @ψ : R ÝÑ R , D

h

pλϕ ` µψq “ λ D

h

ϕ ` µ D

h

ψ. )

Q.2 On suppose que ϕ P C

^k

pra , bs; Rq avec k ě 2 . Montrer que les opérateurs D

_h^`

et D

_h^´

sont des approximations consistantes d'ordre 1 de

^d_dx^ϕ

.

Q.3 On suppose que ϕ P C

^k

pra , bs; Rq avec k ě 3 . Montrer que l'opérateur D

_h⁰

est une approximation consistante d'ordre 2 de

^d_dx^ϕ

.

(25)

Proposition 3.3

Soient ϕ P C

⁴

pra , bs; Rq. On note D

_h²

l'opérateur déni, pour tout x Psa , br et h ą 0 tels que x ˘ h P ra , bs, par

p D

_h²

ϕqp x q

^def

“ 1

h

²

rϕp x ` h q ´ 2 ϕp x q ` ϕp x ´ h qs . (14) Alors D

_h²

ϕ est une approximation consistante d'ordre 2 de

^d_dx²^ϕ2

.

De plus on a

D

_h²

ϕ “ D

⁰h 2

p D

⁰h

2

ϕq “ D

_h^`

p D

_h^´

ϕq “ D

_h^´

p D

_h^`

ϕq (15)

est une approximation consistante d'ordre 2 de

^d_dx²^ϕ2

. Démonstration en exercice

(26)

Dimension n ą 1

Proposition 3.4: (admis)

Soit U un ouvert non vide de R

ⁿ

et f une application f : U Ă R

ⁿ

ÝÑ R . Si f P C

^r^`¹

pUq alors @xxx P U, @h P R

^˚

vériant xxx ` heee

^rⁱ^s

P U ,

@i P v1 , nw, il existe θ Ps0 , 1r tel quel f pxxx ` heee

^rⁱ^s

q “ f pxxx q `

ÿ

r

k“1

h

^k

k !

B

^k

f

Bx

_i^k

pxxx q ` h

^r^`¹

pr ` 1q!

B

^r

f

Bx

_i^r

pxxx ` θheee

^rⁱ^s

q (16) où eee

^ris

est le i-ème vecteur de la base canonique de R

ⁿ

.

Opérateurs aux diérences nies Dimension ną1 2016/02/06 21 / 42

(27)

Opérateurs aux diérences nies en dimension n ą 1

Soient ϕ : U Ă R

ⁿ

ÝÑ R susament régulière, h ą 0 et i P v1 , nw pD

_h^`_,_i

ϕqpxxx q “ 1

h

´ ϕpxxx ` heee

^ris

q ´ ϕpxxx q

¯

pD

_h^´_,_i

ϕqpxxx q “ 1 h

´ ϕpxxxq ´ ϕpxxx ´ heee

^ris

q

¯

pD

_h⁰_,_i

ϕqpxxx q “ 1 2h

´ ϕpxxx ` heee

^ris

q ´ ϕpxxx ´ heee

^ris

q

¯

(28)

Exercise 3.2

Soient ϕ : U Ă R

²

ÝÑ R une fonction susament régulière, h ą 0 et les trois opérateurs aux diérences nies suivant dénis pour i P v 1 , 2 w

p D

_h^`,i

ϕqp xxx q “ 1 h

´

ϕp xxx ` heee

^rⁱ^s

q ´ ϕp xxx q

¯

p D

_h^´,i

ϕqp xxx q “ 1 h

´

ϕp xxx q ´ ϕp xxx ´ heee

^ris

q

¯

pD

_h⁰,i

ϕqpxxx q “ 1 2h

´ ϕpxxx ` heee

^ris

q ´ ϕpxxx ´ heee

^ris

q

¯

avec eee

^r¹^s

“ ˆ 1

0 ˙

et eee

^r²^s

“ ˆ 0

1 ˙ .

Q.1 Monter que ces trois opérateurs sont linéaires (i.e. @pλ, µq P R

²

, @ϕ : U Ă R

²

ÝÑ R , @ψ : U Ă R

²

ÝÑ R , D

_h,i

pλϕ ` µψq “ λ D

_h,i

ϕ ` µ D

_h,i

ψ. ) Q.2 On suppose que ϕ P C

^k

p U Ă R

²

; Rq avec k ě 2 . Montrer que les opérateurs D

_h^`,i

et D

_h^´,i

sont des approximations consistantes d'ordre 1 de

_Bx^Bϕ_i

. Q.3 On suppose que ϕ P C

^k

p U Ă R

²

; R q avec k ě 3 . Montrer que l'opérateur D

_h⁰,i

est une approximation consistante d'ordre 2 de

_Bx^Bϕ_i

.

(29)

Proposition 3.5

Si

ϕ:

U

ĂRⁿ ÝÑR

est susament régulière, les opérateurs D

_h,i^`

et D

_h,i^´

sont des approximations consistantes d'ordre 1 de

_Bx^Bϕ_i

et l'opérateur D

_h,i⁰

est une ap- proximation consistante d'ordre 2 de

_Bx^Bϕ_i.

Proposition 3.6

Soient i

P v1,

nw

, ϕPC⁴pUĂRⁿ;Rq.

On note D

_h²,i

l'opérateur déni, pour tout xxx

P

U et h

ą

0 vériant xxx

˘

heee

^risP

U

,

par

pD_h,i² ϕqpxxxq^def“

1 h

²

”

ϕpxxx`

heee

^risq ´

2

ϕpxxxq `ϕpxxx´

heee

^risq

ı

(17)

Alors D

_h²,iϕ

est approximation consistante d'ordre 2 de

^B_Bx²^ϕ2 i .

De plus, on a

D

_h,i² ϕ“

D

⁰h 2,ipD⁰h

2,iϕq “

D

_h,i^`pD_h,i^´ϕq “

D

_h,i^´pD_h,i^`ϕq.

(18)

(30)

Plan

1

Exemples d'E.D.P.

2

Méthodes de résolution numérique d'EDP

3

Opérateurs aux diérences nies

4

Méthode des diérences nies 1D EDP stationnaire 1D +

Dirichlet

EDP stationnaire + CL mixtes

Méthode des diérences nies 1D 2016/02/06 25 / 42

(31)

Soient a ă b , c ą 0 , α P R , β P R , et f : ra , bs ÝÑ R donnés.

EDP modèle stationnaire 1D Trouver u : ra , bs ÝÑ R telle que

´u

²

` cu “ f in sa , br, (19)

upaq “ α, (20)

upbq “ β. (21)

ou

EDP modèle stationnaire 1D : formulation aux points Trouver upx q P R , @x P ra , bs telle que

´u

²

px q ` cupx q “ f px q @x Psa, br, (22)

u paq “ α, (23)

upbq “ β. (24)

Chercher u ou upx q, @x P ra , bs (innité de points!)

Méthode des diérences nies 1D EDP stationnaire 1D + Dirichlet 2016/02/06 26 / 42

(32)

EDP modèle stationnaire 1D : formulation aux points Trouver upx q P R , @x P ra , bs telle que

´u

²

px q ` cupx q “ f px q @x Psa , br, upaq “ α,

upbq “ β.

x

_i

“ a ` ih, @i P v0, N w, avec h “ b ´ a N .

EDP modèle stationnaire1D : formulation aux points de discrétisation

Trouver upx

i

q P R , @i P v0 , N w tels que

´u

²

px

i

q ` cupx

i

q “ f px

i

q @i Pw0 , Nv, (25)

upx

₀

q “ α, (26)

upx

_N

q “ β. (27)

(33)

EDP modèle stationnaire1D : formulation aux points de dis- crétisation

Trouver u p x

i

q P R , @ i P v 0 , N w tels que

´ u

²

p x

i

q ` cu p x

i

q “ f p x

i

q @ i Pw 0 , N v, u p x

0

q “ α,

u p x

N

q “ β.

u

²

px

i

q “ pD

_h²

uqpx

i

q ` Oph

²

q “ upx

i`1

q ´ 2upx

i

q ` upx

i´1

q

h

²

` Oph

²

q.

EDP modèle stationnaire en dimension 1 : formulation aux points de discrétisation (bis)

Trouver u p x

i

q P R , @ i P v 0 , N w tels que

´ upx

i`1

q ´ 2upx

i

q ` upx

i´1

q

h

²

´ Oph

²

q ` cupx

i

q “ f px

i

q @i Pw0 , Nv, (28)

u p x

0

q “ α, (29)

u p x

N

q “ β. (30)

(34)

EDP modèle stationnaire1D : formulation aux points de dis- crétisation

Trouver u p x

i

q P R , @ i P v 0 , N w tels que

´ u

²

p x

i

q ` cu p x

i

q “ f p x

i

q @ i Pw 0 , N v, u p x

0

q “ α,

u p x

N

q “ β.

u

²

px

i

q “ pD

_h²

uqpx

i

q ` Oph

²

q “ upx

i`1

q ´ 2upx

i

q ` upx

i´1

q

h

²

` Oph

²

q.

EDP modèle stationnaire en dimension 1 : formulation aux points de discrétisation (bis)

Trouver u p x

i

q P R , @ i P v 0 , N w tels que

´ upx

i`1

q ´ 2upx

i

q ` upx

i´1

q

h

²

´ Oph

²

q ` cupx

i

q “ f px

i

q @i Pw0 , Nv, (28)

u p x

0

q “ α, (29)

u p x

N

q “ β. (30)

(35)

EDP modèle stationnaire en dimension 1 : formulation aux points de discrétisation (bis)

Trouver upx

i

q P R , @i P v0 , N w tels que

´ u p x

i`1

q ´ 2u p x

i

q ` u p x

i´1

q

h

²

´ Op h

²

q ` cu p x

i

q “ f p x

i

q @ i Pw 0 , N v, u p x

0

q “ α,

upx

N

q “ β.

On oublie le Oph

²

q et on pose u

_i

« u px

_i

q.

EDP modèle stationnaire 1D : schéma aux diérences nies Trouver u

_i

P R , @i P v0, N w tels que

´ u

_i`1

´ 2u

_i

` u

_i´1

h

²

` cu

_i

“ f px

_i

q @i Pw0 , Nv, (31)

u

0

“ α, (32)

u

N

“ β. (33)

(36)

EDP modèle stationnaire en dimension 1 : formulation aux points de discrétisation (bis)

Trouver upx

i

q P R , @i P v0 , N w tels que

´ u p x

i`1

q ´ 2u p x

i

q ` u p x

i´1

q

h

²

´ Op h

²

q ` cu p x

i

q “ f p x

i

q @ i Pw 0 , N v, u p x

0

q “ α,

upx

N

q “ β.

On oublie le Oph

²

q et on pose u

_i

« u px

_i

q.

EDP modèle stationnaire 1D : schéma aux diérences nies Trouver u

_i

P R , @i P v0, N w tels que

´ u

_i`1

´ 2u

_i

` u

_i´1

h

²

` cu

_i

“ f px

_i

q @i Pw0, Nv, (31)

u

0

“ α, (32)

u

N

“ β. (33)

(37)

EDP modèle stationnaire 1D : schéma aux diérences nies Trouver u

i

P R , @i P v0 , N w tels que

´ u

_i`1

´ 2u

_i

` u

_i´1

h

²

` cu

_i

“ f px

_i

q @i Pw0, N v, (31)

u

0

“ α, (32)

u

_N

“ β. (33)

système linéaire de N ` 1 équations à N ` 1 inconnues !

$

’ ’

’ &

’ ’

’ %

u

0

“ α Ð eq. en x

0

´u

₂

` µ u

₁

´ u

₀

“ h

²

f px

₁

q Ð eq. en x

₁

´u

_N

` µ u

_N´1

´ u

_N´2

“ ... h

²

f px

_N´1

q Ð eq. en x

_N´1

u

_N

“ β Ð eq. en x

_N

avec µ “ 2 ` ch

²

.

(38)

$

’ ’

’ &

’ ’

’ %

u

₀

“ α Ð eq. en x

₀

´u

2

` µ u

1

´ u

0

“ f px

1

q Ð eq. en x

1

´u

₃

` µ u

₂

´ u

₁

“ f px

₂

q Ð eq. en x

₂

...

´u

_N´1

` µ u

_N´2

´ u

_N´3

“ f px

_N´2

q Ð eq. en x

_N´2

´u

_N

` µ u

_N´1

´ u

_N´2

“ f px

_N´1

q Ð eq. en x

_N´1

u

_N

“ β Ð eq. en x

_N

AUUU^def“

¨

˚

˝

1 0 . . . 0 0

´1 µ ´1 0 . . . 0 0

0 ´1 µ ´1 0 . . . 0 0

0 0 ... ... ... ... ... ...

... ... ... ... ... ... 0 ...

... 0 . . . 0 1 µ ´1 0

0 0 . . . 0 ´1 µ ´1

0 . . . 0 1

˛

‹

‚

¨

˚

˝ u0

u1

u2

...

uN´2

uN´1

uN

˛

‹

‚

“

¨

˚

˝ α h²fpx1q h²fpx2q

...

h²fpxN´2q h²fpxN´1q

β

˛

‹

‚

def“BBB (34)

(39)

Proposition 4.1: admis

Le schéma aux diérences nies (31)-(33) est consistant à l'ordre 2 avec l'EDP (19)-(21) et on a

iPv

max

0,Nw

|upx

_i

q ´ u

_i

| “ Oph

²

q. (35)

(40)

Exercise 4.1: (schéma étudié en cours)

Q.1 Ecrire la fonctionAssembleMat1D retournant la matriceMPM_dpRqdénie par

M“

¨

˚

˝

γ 0 0 . . . 0

β α β ... ...

0 ... ... ... ... ...

... ... ... ... ... ... ...

... ... ... ... ... 0

... ... β α β

0 . . . 0 0 γ

˛

‹

‚

(36)

oùα, βetγsont des réels donnés.

On souhaite résoudre par un schéma aux diérences nies l'EDP suivante

´u²`cu “ f insa,br, upaq “ α, upbq “ β.

Q.2 En prenant le jeu de données a“0,b“2π,c“1, α“1, β “ ´1 et f :x ÞÑcospx²q, écrire un programme permettant de résoudre l'EDP précédente. On pourra utiliser la fonction XXXÐ SolvepA,BBBqretournant la solution du système linéaireAXXX“BBB.

Q.3 En choisissant judicieusement un jeu de données écrire un programme permettant de vérier l'ordre du schéma utilisé à l'aide de la formule (35).

(41)

1e-3 1e-2 1e-1 1e-6

1e-5 1e-4 1e-3 1e-2 1e-1

h

Error(h) O(h) O(h^2)

Figure : Représentation en échelle logarithmique

(42)

1 f u n c t i o nM=AssembleMat1D(d,alpha,beta,gamma)

2 M=s p a r s e(d,d) ;

3 M( 1 , 1 )=gamma;M(d,d)=gamma;

4 f o r i=2:d´1

5 M(i,i)=alpha;

6 M(i,i´1)=beta;M(i,i+1)=beta;

7 end

8 end

Listing 1 :fonction Matlab/Octave AssembleMat1D

1 f u n c t i o n [x,U]=solveEDP1(a,b,c,alpha,beta,f,N)

2 h=(b´a) /N;

3 x=a:h:b;

4 A=AssembleMat1D(N+1,2+c∗h∗h,´1 ,h∗h) ;

5 B=z e r o s(N+1 ,1) ;

6 B( 1)=alpha;B(N+1)=beta;

7 f o r i=2:N

8 B(i)=f(x(i) ) ;

9 end

10 B=h∗h∗B;

11 U=A\B;

12 end

Listing 2 :fonction Matlab/Octave solveEDP1

1 c l e a r a l l

2 c l o s e a l l

3 % I n i t i a l i s a t i o n des donnees

4 uex=@(x) s i n(x.^2) ;

5 c=1;

6 f=@(x) 4∗x^2∗s i n(x^2)´2∗cos(x^2) +c∗s i n(x^2) ;

7 a=0;b=2∗p i;

8 % C a l c u l des e r r e u r s

9 LN=[100 ,200 ,400 ,800 ,1600 ,3200];

10 k=1;

11 f o rN=LN

12 [x,U]=solveEDP1(a,b,c,uex(a) ,uex(b) ,f,N) ;

13 H(k)=(b´a) /N;

14 E(k)=max(abs(uex(x) '´U) ) ;

15 k=k+1;

16 end

17 % R e p r e s e n t a t i o n g r a p h i q u e

18 l o g l o g(H,E, 'r<-' , 'LineWidth' ,2)

19 hold on

20 l o g l o g(H,H, 'kd:' , 'LineWidth' ,2)

21 l o g l o g(H,H.^2 , 'k*:' , 'LineWidth' ,2)

22 l e g e n d( 'Error(h)' , 'O(h)' , 'O(h^2)' )

23 x l a b e l( 'h' )

Listing 3 :Script Matlab/Octave pour la représentation de l'ordre

(43)

EDP stationnaire + CL mixtes

EDP modèle stationnaire 1D avec condition de Dirichlet à droite et Neumann à gauche

Trouver u : ra , bs ÝÑ R telle que

´u

²

` cu “ f in sa , br, (37)

upaq “ α, (38)

u

¹

pbq “ β. (39)

Seule la dernière du système linéaire est à modier! Remplacer par ???

u

¹

px

_N

q “ pD

_h^`

uqpx

_N

q ` Ophq “ upx

_N

q ´ upx

_N´1

q

h ` Ophq “ β. u

_N

´ u

_N´1

h “ β.

Méthode des diérences nies 1D EDP stationnaire + CL mixtes 2016/02/06 36 / 42

(44)

EDP stationnaire + CL mixtes

EDP modèle stationnaire 1D avec condition de Dirichlet à droite et Neumann à gauche

Trouver u : ra , bs ÝÑ R telle que

´u

²

` cu “ f in sa , br, (37)

upaq “ α, (38)

u

¹

pbq “ β. (39)

Seule la dernière du système linéaire est à modier! Remplacer par ???

u

¹

px

_N

q “ pD

_h^`

uqpx

_N

q ` Ophq “ upx

_N

q ´ upx

_N´1

q

h ` Ophq “ β.

u

_N

´ u

_N´1

h “ β.

(45)

EDP stationnaire + CL mixtes

EDP modèle stationnaire 1D avec condition de Dirichlet à droite et Neumann à gauche

Trouver u : ra , bs ÝÑ R telle que

´u

²

` cu “ f in sa , br, (37)

upaq “ α, (38)

u

¹

pbq “ β. (39)

Seule la dernière du système linéaire est à modier! Remplacer par ???

u

¹

px

_N

q “ pD

_h^`

uqpx

_N

q ` Ophq “ upx

_N

q ´ upx

_N´1

q

h ` Ophq “ β.

u

_N

´ u

_N´1

h “ β.

(46)

$

’ ’

’ &

’ ’

’ %

u

₀

“ α Ð eq. en x

₀

´u

2

` µ u

1

´ u

0

“ f px

1

q Ð eq. en x

1

´u

₃

` µ u

₂

´ u

₁

“ f px

₂

q Ð eq. en x

₂

´u

_N´1

` µ u

_N´2

´ u

_N´3

“ ... f px

_N´2

q Ð eq. en x

_N´2

´u

_N

` µ u

_N´1

´ u

_N´2

“ f px

_N´1

q Ð eq. en x

_N´1

u

_N

´ u

_N´1

“ hβ Ð eq. en x

_N

AUUU^def“

¨

˚

˝

1 0 . . . 0 0

´1 µ ´1 0 . . . 0 0

0 ´1 µ ´1 0 . . . 0 0

0 0 ... ... ... ... ... ...

... ... ... ... ... ... 0 ...

... 0 . . . 0 1 µ ´1 0

0 0 . . . 0 ´1 µ ´1

0 . . . ´1 1

˛

‹

‚

¨

˚

˝ u0

u1

u2

...

uN´2

uN´1

uN

˛

‹

‚

“

¨

˚

...

hβ

˛

‹

‚

def“BBB (40)

Mais ...

(47)

Schéma d'ordre 1 !!!

1e-4 1e-3 1e-2 1e-1

1e-7 1e-6 1e-5 1e-4 1e-3 1e-2 1e-1 1e+0 1e+1

h

(a) Représentation en échelle logarithmique de l'ordre du schéma

0 1 2 3 4 5 6 7

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35

x

error(x)

Error for N=1600

(b) Représentation de l'erreur en fonction de x pour N “ 1600 Ecrire un schéma d'ordre 2 pour Neumann

(48)

TD

Exercise 4.2

Soit ϕ une fonction susament régulière et h ą 0 Q.1 Montrer que

d ϕ

dx px q “ ´3 ϕpx q ` 4 ϕpx ` hq ´ ϕpx ` 2hq

2h ` Oph

²

q (41)

Q.2 Montrer que d ϕ

dx px q “ 3 ϕpx q ´ 4 ϕpx ´ hq ` ϕpx ´ 2hq

2h ` Oph

²

q (42)

(49)

$

’ ’

’ &

’ ’

’ %

u

₀

“ α Ð eq. en x

₀

´u

2

` µ u

1

´ u

0

“ f px

1

q Ð eq. en x

1

´u

₃

` µ u

₂

´ u

₁

“ f px

₂

q Ð eq. en x

₂

´u

_N´1

` µ u

_N´2

´ u

_N´3

“ ... f px

_N´2

q Ð eq. en x

_N´2

´u

_N

` µ u

_N´1

´ u

_N´2

“ f px

_N´1

q Ð eq. en x

_N´1

3u

_N

´ 4u

_N´1

` u

_N´2

“ 2hβ Ð eq. en x

_N

AUUU^def“

¨

˚

˝

1 0 . . . 0 0

´1 µ ´1 0 . . . 0 0

0 ´1 µ ´1 0 . . . 0 0

0 0 ... ... ... ... ... ...

... ... ... ... ... ... 0 ...

... 0 . . . 0 1 µ ´1 0

0 0 . . . 0 ´1 µ ´1

0 . . . 1 ´4 3

˛

‹

‚

¨

˚

˝ u0

u1

u2

...

uN´2

uN´1

uN

˛

‹

‚

“

¨

˚

...

2hβ

˛

‹

‚

def“BBB (43)

et ...

(50)

Schéma d'ordre 2

1e-4 1e-3 1e-2 1e-1

1e-7 1e-6 1e-5 1e-4 1e-3 1e-2 1e-1

h

(a) Représentation en échelle logarithmique de l'ordre du schéma

0 1 2 3 4 5 6 7

0 0.0005 0.001 0.0015 0.002

x

error(x)

Error for N=1600

(b) Représentation de l'erreur en fonction de x pour N “ 1600

(51)

Exercise 4.3 Soit le problème suivant

´u²pxq `cpxqupxq “ fpxq,@xPsa;br, (44)

u¹paq “ α, (45)

upbq “ β. (46)

Q.1

1 Quelles sont les données du problème (44) à (46)? (préciser le type de chaque donnée : réel, entier, fonction, vecteur, ...)

2 Quelles sont les inconnues du problème (44) à (46)? (préciser le type)

3 Quelles sont les conditions initiales?

4 Quelles sont les conditions aux limites?

Q.2 Construire une discrétisation régulière dera;bsavec N pas de discrétisation en espace. On note xi,iP v0,Nwcette discrétisation. On souhaite résoudre (44) à l'aide du schéma numérique

´ui`1´2ui`ui´1

∆x² `ciui“fi. (47)

Q.3

1 Expliquer comment le schéma (47) a été obtenu à partir de (44) et préciser ce que représente les termes ui,fi,ciet∆x?

2 Donner l'ensembleEdes valeurs que peut prendre i dans le schéma (44).

3 Construire une discrétisation des conditions aux limites d'ordre 2 au moins.

4 Le schéma global est de quel ordre? Justiez.

On note VVV le vecteur de dimension N`1,de composantes VVVi“ui´1,@iP v1,N`1w.

Q.4 Montrer que le vecteur VVV est solution du système linéaire

AVVV“FFF (48)

en explicitant la matriceAet le vecteur FFF (préciser les dimensions).

Q.5 Ecrire un algorithme complet de résolution du problème (44) à (46) basé sur (48). (Utiliser au maximum les fonctions)