E.D.O. : méthodes numériques (cours 3)

(1)

E.D.O. : méthodes numériques (cours 3)

François Cuvelier

Laboratoire d'Analyse Géométrie et Applications Institut Galilée

Université Paris XIII.

13 janvier 2015

(2)

Plan

1 Introduction

2 Méthodes à un pas ou à pas séparés Schéma général

Convergence Stabilité Consistance Ordre

3 Méthode de Runge-Kutta Principe

Formules explicites de Runge-Kutta d'ordre 2

Méthodes de Runge-Kutta d'ordre 4

(3)

Méthodes à un pas ou à pas séparés

Problème de Cauchy : p PC q

"

yyy ¹ ptq “ fff pt,yyy ptqq yyy pt ⁰ q “ yyy 0 P R ^m . Les méthodes à un pas utilisent la formule générale :

yyy ^r ⁿ ^` ¹ ^s “ yyy ^r ⁿ ^s ` h Φ Φ Φpt ⁿ , yyy ^r ⁿ ^s , hq (1) Pour la méthode d'Euler progressive :

Φ

Φ Φpt , yyy , hq “ fff pt , yyy q.

(4)

Plan

1 Introduction

2 Méthodes à un pas ou à pas séparés Schéma général

Convergence Stabilité Consistance Ordre

3 Méthode de Runge-Kutta Principe

Formules explicites de Runge-Kutta d'ordre 2

Méthodes de Runge-Kutta d'ordre 4

(5)

Convergence

La méthode converge sur l'intervalle rt ⁰ , t ⁰ ` T s si, pour la suite des yyy ^r ⁿ ^s calculés, l'écart maximum avec la solution exacte diminue quand le pas h diminue :

h “ lim

^T_N

Ñ 0 max

n Pt 0 ,..., N u

›

› ›yyy ^r ⁿ ^s ´ yyy pt ⁿ q

›

› “ 0

(6)

Plan

1 Introduction

2 Méthodes à un pas ou à pas séparés Schéma général

Convergence Stabilité Consistance Ordre

3 Méthode de Runge-Kutta Principe

Formules explicites de Runge-Kutta d'ordre 2

Méthodes de Runge-Kutta d'ordre 4

(7)

Stabilité

La méthode est stable si une petite perturbation sur yyy ^r ⁰ ^s ou Φ Φ Φ n'entraîne qu'une petite perturbation sur la solution approchée, et cela quel que soit le pas h .

Théorème

Si Φ Φ Φpt , yyy , hq vérie la condition de Lipschitz en yyy alors la méthode est

stable.

(8)

Plan

1 Introduction

2 Méthodes à un pas ou à pas séparés Schéma général

Convergence Stabilité Consistance Ordre

3 Méthode de Runge-Kutta Principe

Formules explicites de Runge-Kutta d'ordre 2

Méthodes de Runge-Kutta d'ordre 4

(9)

Consistance

Le schéma de calcul (1) est consistant avec l'équation diérentielle si

h “ lim

^T_N

Ñ 0 max

n

›

yyy pt ⁿ ^` ¹ q ´ yyy pt ⁿ q

h ´ Φ Φ Φpt ⁿ , yyy pt ⁿ q, hq

›

› “ 0

Cela signie que le schéma doit être une approximation vraisemblable, bien construite.

Théorème

Le schéma est consistant si Φpt , y , 0q “ f pt , y q.

Théorème

Si la méthode est stable et consistante, alors elle converge pour n'importe

quelle valeur initiale.

(10)

Consistance

Le schéma de calcul (1) est consistant avec l'équation diérentielle si

h “ lim

^T_N

Ñ 0 max

n

›

yyy pt ⁿ ^` ¹ q ´ yyy pt ⁿ q

h ´ Φ Φ Φpt ⁿ , yyy pt ⁿ q, hq

›

› “ 0

Cela signie que le schéma doit être une approximation vraisemblable, bien construite.

Théorème

Le schéma est consistant si Φpt , y , 0q “ f pt , y q.

Théorème

Si la méthode est stable et consistante, alors elle converge pour n'importe

quelle valeur initiale.

(11)

Consistance

Le schéma de calcul (1) est consistant avec l'équation diérentielle si

h “ lim

^T_N

Ñ 0 max

n

›

yyy pt ⁿ ^` ¹ q ´ yyy pt ⁿ q

h ´ Φ Φ Φpt ⁿ , yyy pt ⁿ q, hq

›

› “ 0

Cela signie que le schéma doit être une approximation vraisemblable, bien construite.

Théorème

Le schéma est consistant si Φpt , y , 0q “ f pt , y q.

Théorème

Si la méthode est stable et consistante, alors elle converge pour n'importe

quelle valeur initiale.

(12)

Plan

1 Introduction

2 Méthodes à un pas ou à pas séparés Schéma général

Convergence Stabilité Consistance Ordre

3 Méthode de Runge-Kutta Principe

Formules explicites de Runge-Kutta d'ordre 2

Méthodes de Runge-Kutta d'ordre 4

(13)

Ordre

La méthode itérative est d'ordre p si pour toute solution : max n

›

yyy pt ⁿ ^` ¹ q ´ yyy pt ⁿ q

h ´ Φ Φ Φpt ⁿ , yyy pt ⁿ q, hq

›

› ď Ch ^p

(14)

Plan

1 Introduction

2 Méthodes à un pas ou à pas séparés Schéma général

Convergence Stabilité Consistance Ordre

3 Méthode de Runge-Kutta Principe

Formules explicites de Runge-Kutta d'ordre 2

Méthodes de Runge-Kutta d'ordre 4

(15)

Principe méthode de Runge-Kutta

pPCq

"

yyy ¹ ptq “ fff pt , yyy ptqq yyy pt ⁰ q “ yyy 0 P R ^m .

L'idée fondamentale des méthodes de Runge-Kutta est d'intégrer l'équation yyy ¹ ptq “ fff pt , yyy ptqq

sur rt ⁿ , t ⁿ ^` ¹ s et de calculer :

yyy pt ^n`1 q “ yyypt ⁿ q ` ż _t

^n`1

t

ⁿ

fff pt , yyyptqqdt ,

en utilisant une formule d'intégration numérique à q points intermédiaires

t ⁿ ^, ⁱ ^` ¹ “ t ⁿ ` h _i pour calculer l'intégrale.

(16)

Principe méthode de Runge-Kutta

yyy ^r ⁿ ^` ¹ ^s “ yyy ^r ⁿ ^s ` h Φ Φ Φpt ⁿ , yyy ^r ⁿ ^s , hq

La fonction Φ Φ Φ associée à une méthode de Runge-Kutta à q évaluations de fff peut s'écrire sous la forme :

Φ Φ Φpt , yyy , hq “ ÿ ^q

i “ 1

c _i kkk ^ris pt , yyy , hq avec

kkk ^r ⁱ ^s pt , yyy , hq “ fff

˜

t ` ha _i , y ` h ÿ ^q

j “1

b _i , j kkk ^r ^j ^s pt , yyy , hq

¸

, 1 ď i ď q Sous la forme d'un tableau dit tableau de Butcher :

aaa B

ccc ^t (2)

avec “ pb aaa “ pa ^q et

(17)

Principe méthode de Runge-Kutta

Une méthode de Runge-Kutta est d'ordre 0 si a i “

ÿ q j “ 1

b ij .

Une méthode de Runge-Kutta est d'ordre 1 (et donc consistante) si elle est d'ordre 0 et si _q

ÿ

i“1

c _i “ 1 .

Une méthode de Runge-Kutta est d'ordre 2 si elle est d'ordre 1 et si ÿ q

i “ 1

c _i a _i “ 1{2 . Une méthode de Runge-Kutta est explicite si

@pi, j q P v1, qw, j ě i, b _ij “ 0.

Les méthodes de Runge-Kutta explicites sont stables si f est

contractante en y.

(18)

Principe méthode de Runge-Kutta

Une méthode de Runge-Kutta est d'ordre 0 si a i “

ÿ q j “ 1

b ij .

Une méthode de Runge-Kutta est d'ordre 1 (et donc consistante) si elle est d'ordre 0 et si _q

ÿ

i“1

c _i “ 1 .

Une méthode de Runge-Kutta est d'ordre 2 si elle est d'ordre 1 et si ÿ q

i “ 1

c _i a _i “ 1{2 . Une méthode de Runge-Kutta est explicite si

@pi, j q P v1, qw, j ě i, b _ij “ 0.

Les méthodes de Runge-Kutta explicites sont stables si f est

contractante en y.

(19)

Principe méthode de Runge-Kutta

Une méthode de Runge-Kutta est d'ordre 0 si a i “

ÿ q j “ 1

b ij .

Une méthode de Runge-Kutta est d'ordre 1 (et donc consistante) si elle est d'ordre 0 et si _q

ÿ

i“1

c _i “ 1 .

Une méthode de Runge-Kutta est d'ordre 2 si elle est d'ordre 1 et si ÿ q

i“1

c _i a _i “ 1{2 .

Une méthode de Runge-Kutta est explicite si

@pi, j q P v1, qw, j ě i, b _ij “ 0.

Les méthodes de Runge-Kutta explicites sont stables si f est

contractante en y.

(20)

Principe méthode de Runge-Kutta

Une méthode de Runge-Kutta est d'ordre 0 si a i “

ÿ q j “ 1

b ij .

Une méthode de Runge-Kutta est d'ordre 1 (et donc consistante) si elle est d'ordre 0 et si _q

ÿ

i“1

c _i “ 1 .

Une méthode de Runge-Kutta est d'ordre 2 si elle est d'ordre 1 et si ÿ q

i“1

c _i a _i “ 1{2 . Une méthode de Runge-Kutta est explicite si

@pi, j q P v1, qw, j ě i, b _ij “ 0.

(21)

Plan

1 Introduction

2 Méthodes à un pas ou à pas séparés Schéma général

Convergence Stabilité Consistance Ordre

3 Méthode de Runge-Kutta Principe

Formules explicites de Runge-Kutta d'ordre 2

Méthodes de Runge-Kutta d'ordre 4

(22)

Formules explicites de Runge-Kutta d'ordre 2

tableau de Butcher :

0 0 0

2 1 α 1

2 α 0

1 ´ α α

(3)

Φ Φ Φpt, yyy , hq “ p1 ´ αqfff pt, yyy q ` αfff pt ` h

2 α , yyy ` h

2 α fff pt,yyy qq

Avec α “ ¹ ₂ , on obtient la méthode de Heun : yyy ^rn`1s “ yyy ^rns ` h

2 fff pt ⁿ , yyy ^rns q ` h 2 fff ´

t ^n`1 , yyy ^rns ` hfff pt ⁿ , yyy ^rns q

¯ . Avec α “ 1 , on obtient la méthode d'Euler modiée ou méthode du point milieu :

yyy ^r ⁿ ^` ¹ ^s “ yyy ^r ⁿ ^s ` hfff ˆ

t ⁿ ` h

2 , yyy ^r ⁿ ^s ` h

2 fff pt ⁿ , yyy ^r ⁿ ^s q

˙

.

(23)

Formules explicites de Runge-Kutta d'ordre 2

tableau de Butcher :

0 0 0

2 1 α 1

2 α 0

1 ´ α α

(3)

Φ Φ Φpt, yyy , hq “ p1 ´ αqfff pt, yyy q ` αfff pt ` h

2 α , yyy ` h

2 α fff pt,yyy qq Avec α “ ¹ ₂ , on obtient la méthode de Heun :

yyy ^rn`1s “ yyy ^rns ` h

2 fff pt ⁿ , yyy ^rns q ` h 2 fff ´

t ^n`1 , yyy ^rns ` hfff pt ⁿ , yyy ^rns q

¯ . Avec α “ 1 , on obtient la méthode d'Euler modiée ou méthode du point milieu :

yyy ^r ⁿ ^` ¹ ^s “ yyy ^r ⁿ ^s ` hfff ˆ

t ⁿ ` h

2 , yyy ^r ⁿ ^s ` h

2 fff pt ⁿ , yyy ^r ⁿ ^s q

˙

.

(24)

Formules explicites de Runge-Kutta d'ordre 2

Exercice

la méthode de Heun est donnée par yyy ^r ⁿ ^` ¹ ^s “ yyy ^r ⁿ ^s ` h

2 fff pt ⁿ , yyy ^r ⁿ ^s q ` h 2 fff ´

t ⁿ ^` ¹ , yyy ^r ⁿ ^s ` hfff pt ⁿ , yyy ^r ⁿ ^s q

¯ . Ecrire la fonction algorithmique REDHeun permettant de résoudre un problème de Cauchy scalaire par la méthode de Heun en utilisant au plus 2N évaluation de fff .

Ecrire la fonction algorithmique REDHeunVec permettant de résoudre

un problème de Cauchy vectoriel par la méthode de Heun en utilisant

au plus 2N évaluation de fff .

(25)

Formules explicites de Runge-Kutta d'ordre 2

Exercice

la méthode de Heun est donnée par yyy ^r ⁿ ^` ¹ ^s “ yyy ^r ⁿ ^s ` h

2 fff pt ⁿ , yyy ^r ⁿ ^s q ` h 2 fff ´

t ⁿ ^` ¹ , yyy ^r ⁿ ^s ` hfff pt ⁿ , yyy ^r ⁿ ^s q

¯ . Ecrire la fonction algorithmique REDHeun permettant de résoudre un problème de Cauchy scalaire par la méthode de Heun en utilisant au plus 2N évaluation de fff .

Ecrire la fonction algorithmique REDHeunVec permettant de résoudre

un problème de Cauchy vectoriel par la méthode de Heun en utilisant

au plus 2N évaluation de fff .

(26)

Plan

1 Introduction

2 Méthodes à un pas ou à pas séparés Schéma général

Convergence Stabilité Consistance Ordre

3 Méthode de Runge-Kutta Principe

Formules explicites de Runge-Kutta d'ordre 2

Méthodes de Runge-Kutta d'ordre 4

(27)

Formules explicites de Runge-Kutta d'ordre 4

La méthode explicite la plus utilisée est donnée par le tableau de Butcher suivant

0 0 0 0 0

1{2 1{2 0 0 0

1{2 0 1{2 0 0

1 0 0 1 0

1{6 2{6 2{6 1{6

(4)

Ce qui donne le schéma explicite de Runge-Kutta d'ordre 4 : kkk ^r ₁ ⁿ ^s “ fff pt ⁿ , yyy ^r ⁿ ^s q

kkk ^r ₂ ⁿ ^s “ fff pt ⁿ ` ^h ₂ , yyy ^rns ` ^h ₂ kkk ^r ₁ ⁿ ^s q kkk ^rns ₃ “ fff pt ⁿ ` ^h ₂ , yyy ^r ⁿ ^s ` ^h ₂ kkk ^rns ₂ q kkk ^r ₄ ⁿ ^s “ fff pt ⁿ ` h , yyy ^r ⁿ ^s ` hkkk ^r ₃ ⁿ ^s q

yyy ^r ⁿ ^` ¹ ^s “ yyy ^r ⁿ ^s ` ^h ₆ pkkk ^r ₁ ⁿ ^s ` 2kkk ^r ₂ ⁿ ^s ` 2kkk ^r ₃ ⁿ ^s ` kkk ^r ₄ ⁿ ^s q.

(5)

E.D.O. : méthodes numériques (cours 3)

E.D.O. : méthodes numériques (cours 3)

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2 Méthodes à un pas ou à pas séparés Schéma général

Convergence Stabilité Consistance Ordre

3 Méthode de Runge-Kutta Principe

Formules explicites de Runge-Kutta d'ordre 2

Méthodes de Runge-Kutta d'ordre 4

Méthodes à un pas ou à pas séparés

Problème de Cauchy : p PC q

"

yyy 1 ptq “ fff pt,yyy ptqq yyy pt 0 q “ yyy 0 P R m . Les méthodes à un pas utilisent la formule générale :

yyy r n ` 1 s “ yyy r n s ` h Φ Φ Φpt n , yyy r n s , hq (1) Pour la méthode d'Euler progressive :

Φ

Φ Φpt , yyy , hq “ fff pt , yyy q.

Plan

1 Introduction

2 Méthodes à un pas ou à pas séparés Schéma général

Convergence Stabilité Consistance Ordre

3 Méthode de Runge-Kutta Principe

Formules explicites de Runge-Kutta d'ordre 2

Méthodes de Runge-Kutta d'ordre 4

Convergence

La méthode converge sur l'intervalle rt 0 , t 0 ` T s si, pour la suite des yyy r n s calculés, l'écart maximum avec la solution exacte diminue quand le pas h diminue :

h “ lim

Ñ 0 max

n Pt 0 ,..., N u

›

› ›yyy r n s ´ yyy pt n q

›

›

› “ 0

Plan

1 Introduction

2 Méthodes à un pas ou à pas séparés Schéma général

Convergence Stabilité Consistance Ordre

3 Méthode de Runge-Kutta Principe

Formules explicites de Runge-Kutta d'ordre 2

Méthodes de Runge-Kutta d'ordre 4

Stabilité

La méthode est stable si une petite perturbation sur yyy r 0 s ou Φ Φ Φ n'entraîne qu'une petite perturbation sur la solution approchée, et cela quel que soit le pas h .

Théorème

Si Φ Φ Φpt , yyy , hq vérie la condition de Lipschitz en yyy alors la méthode est

stable.

Plan

1 Introduction

2 Méthodes à un pas ou à pas séparés Schéma général

Convergence Stabilité Consistance Ordre

3 Méthode de Runge-Kutta Principe

Formules explicites de Runge-Kutta d'ordre 2

Méthodes de Runge-Kutta d'ordre 4

Consistance

Le schéma de calcul (1) est consistant avec l'équation diérentielle si

h “ lim

Ñ 0 max

n

›

›

›

›

yyy pt n ` 1 q ´ yyy pt n q

h ´ Φ Φ Φpt n , yyy pt n q, hq

›

›

›

› “ 0

Cela signie que le schéma doit être une approximation vraisemblable, bien construite.

Théorème

Le schéma est consistant si Φpt , y , 0q “ f pt , y q.

Théorème

Si la méthode est stable et consistante, alors elle converge pour n'importe

quelle valeur initiale.

Consistance

Le schéma de calcul (1) est consistant avec l'équation diérentielle si

h “ lim

yyy ¹ ptq “ fff pt,yyy ptqq yyy pt ⁰ q “ yyy 0 P R ^m . Les méthodes à un pas utilisent la formule générale :

yyy ^r ⁿ ^` ¹ ^s “ yyy ^r ⁿ ^s ` h Φ Φ Φpt ⁿ , yyy ^r ⁿ ^s , hq (1) Pour la méthode d'Euler progressive :

La méthode converge sur l'intervalle rt ⁰ , t ⁰ ` T s si, pour la suite des yyy ^r ⁿ ^s calculés, l'écart maximum avec la solution exacte diminue quand le pas h diminue :

› ›yyy ^r ⁿ ^s ´ yyy pt ⁿ q

La méthode est stable si une petite perturbation sur yyy ^r ⁰ ^s ou Φ Φ Φ n'entraîne qu'une petite perturbation sur la solution approchée, et cela quel que soit le pas h .

yyy pt ⁿ ^` ¹ q ´ yyy pt ⁿ q

h ´ Φ Φ Φpt ⁿ , yyy pt ⁿ q, hq

yyy pt ⁿ ^` ¹ q ´ yyy pt ⁿ q

h ´ Φ Φ Φpt ⁿ , yyy pt ⁿ q, hq

yyy pt ⁿ ^` ¹ q ´ yyy pt ⁿ q

h ´ Φ Φ Φpt ⁿ , yyy pt ⁿ q, hq

yyy pt ⁿ ^` ¹ q ´ yyy pt ⁿ q

h ´ Φ Φ Φpt ⁿ , yyy pt ⁿ q, hq

› ď Ch ^p

yyy ¹ ptq “ fff pt , yyy ptqq yyy pt ⁰ q “ yyy 0 P R ^m .

L'idée fondamentale des méthodes de Runge-Kutta est d'intégrer l'équation yyy ¹ ptq “ fff pt , yyy ptqq