Introduction à la résolution des E.D.O.

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Introduction à la résolution des E.D.O. ^a

Support de cours Ingénieurs Sup'Galilée Energétique - 1ère année

a. Version beta 0.3 du 11 Mars 2011

par Cuvelier François

Université Paris Nord - Institut Galilée - LAGA

Av. J.-B. Clément 93430 Villetaneuse

email : cuvelier@math.univ-paris13.fr

(2)

Table des matières

1 Introduction 3

1.1 Exemples . . . . 3

1.1.1 Météorologie . . . . 3

1.1.2 Biologie . . . . 4

1.1.3 Chimie : La réaction de Belousov-Zhabotinsky . . . . . 5

1.1.4 Mécanique . . . . 6

1.2 Dénition des E.D.O. . . . 8

1.3 Formulation générale : le problème de Cauchy . . . 10

1.4 Dérivation numérique . . . 12

1.5 Méthode des diérences nies pour le problème de Cauchy en dimension d 1 . . . 14

1.6 Exemple . . . 15

1.7 Stabilité . . . 15

1.8 Méthode des diérences nies pour le problème de Cauchy en dimension d . . . 18

2 Méthode à un pas ou à pas séparés 19 2.1 Schéma général . . . 19

2.2 Convergence . . . 19

2.3 Stabilité . . . 19

2.4 Consistance . . . 20

2.5 Ordre . . . 20

3 Méthode de Runge-Kutta 20 3.1 Principe . . . 20

3.2 Formules explicites de Runge-Kutta d'ordre 2 . . . 21

3.3 Méthodes de Runge-Kutta d'ordre 4 . . . 22

4 Méthodes à pas multiples 23 4.1 Exemple : schéma de point milieu . . . 23

4.2 Le principe . . . 23

4.3 Méthodes d'Adams-Bashforth . . . 24

4.4 Méthodes d'Adams-Moulton . . . 25

4.5 Schéma prédicteur-correcteur . . . 25

4.5.1 Principe . . . 25

4.5.2 Exemple . . . 25

4.5.3 Comparaison avec Runge-Kutta . . . 26

5 Exercices corrigés 26

(3)

1 INTRODUCTION

1 Introduction

1.1 Exemples 1.1.1 Météorologie

Modèle de Lorentz :

Source Wikipedia Mathématiquement, le couplage de l'atmosphère avec l'océan est décrit par le système d'équations aux dérivées partielles cou- plées de Navier-Stokes de la mécanique des uides. Ce système d'équa- tions était beaucoup trop compliqué à résoudre numériquement pour les premiers ordinateurs existant au temps de Lorenz. Celui-ci eut donc l'idée de chercher un modèle très simplié de ces équations pour étu- dier une situation physique particulière : le phénomène de convection de Rayleigh-Bénard. Il aboutit alors à un système dynamique diéren- tiel possédant seulement trois degrés de liberté, beaucoup plus simple à intégrer numériquement que les équations de départ.

$ &

%

x ¹ p t q σx p t q σy p t q

y ¹ p t q x p t q y p t q ρx p t q y p t q

z ¹ p t q x p t q y p t q βz p t q (1.1) avec σ 10, ρ 28, β 8 { 3 et les données initales x p 0 q 8, y p 0 q 8 et z p 0 q ρ 1.

Dans ces équations, σ , ρ - respectivement le nombre de Prandtl et le rapport du nombre de Rayleigh sur un Rayleigh critique - et β sont trois paramètres réels.

x p t q est proportionnel à l'intensité du mouvement de convection, y p t q est proportionnel à la diérence de température entre les courants as- cendants et descendants, et z p t q est proportionnel à l'écart du prol de température vertical par rapport à un prol linéaire (Lorenz 1963 p.135).

La résolution numérique de ce modèle donne

(4)

1.1 Exemples 1 INTRODUCTION

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

−20 0 20

x(t)

t Modele de Lorentz

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

−50 0 50

y(t)

t

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0 20 40

z(t)

t

−20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20

−50 0

50

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

y(t) x(t)

Modele de Lorentz

z(t)

1.1.2 Biologie

Considérons une population y d'animaux dans un milieu ambient où au plus B animaux peuvent coexister. On suppose que initialement la popula- tion soit y0 B et que le facteur de croissance des animaux soit égal à une constante C. Dans ce cas, l'évolution de la population au cours du temps sera proportionnelle au nombre d'animaux existants, sans toutefois que ce nombre ne dépasse la limite B. Cela peut s'exprimer à travers l'équation

y ¹ p t q Cy p t q

1 y p t q B

, t ¡ 0, y p 0 q y0. (1.2)

La résolution de cette équation permet de trouver l'évolution de la population

au cours du temps.

(5)

1.1 Exemples 1 INTRODUCTION

On considère maintenant deux populations, y 1 et y 2 , où y 1 sont les proies et y ₂ sont les prédateurs. L'évolution des deux populations est alors décrite par le système d'équations diérentielles

"

y ₁ ¹ p t q C ₁ y ₁ p t qr 1 b ₁ y ₁ p t q d ₂ y ₂ p t qs ,

y ₂ ¹ p t q C ₂ y ₂ p t qr 1 d ₁ y ₁ p t qs , (1.3) où C ₁ et C ₂ sont les facteurs de croissance des deux populations, d ₁ et d ₂ tiennent compte de l'interaction entre les deux populations, tandis que b 1

est lié à la quantité de nourriture disponible pour la population des proies y ₁ . Ce système d'équations diérentielles est connu comme modèle de Lotka- Volterra.

1.1.3 Chimie : La réaction de Belousov-Zhabotinsky

Sous certaines conditions, des réactions chimiques peuvent être oscil- lantes. Par exemple, le mélange d'une solution de bromate de potassium et d'acide sulfurique avec une solution d'acide manolique et de bromure de sodium peut entrainer une oscillation de la couleur de la solution mélange du rouge au bleue avec une période de 7 secondes.

Le modéle associé est nommé modèle du bruxelator basé sur les équa- tions chimiques :

A ÝÑ X p M ₁ q

2X Y ÝÑ 3X pM 2 q

B X ÝÑ Y C p M 3 q

X ÝÑ D p M ₄ q

On note k _i , i P v 1, 4 w les vitesses de réations des équations p M _i q . On obtient alors le système diérentielle suivant :

$ ' ' &

' '

%

A ¹ p t q k ₁ A p t q B ¹ p t q k ₃ B p t q X p t q

X ¹ p t q k 1 A p t q k 2 X ² p t q Y p t q k 3 B p t q X p t q k 4 X p t q Y ¹ p t q k ₂ X ² p t q Y p t q k ₃ B p t q X p t q

Exemple 1 Dans cet exemple, on étudie le problème simplié du Bruxela- tor. Lorsque les réactions de (??) ont des constantes de réactions k ₁ , . . . , k ₄ égales respectivement à 1, α ¡ 0, 1 et 1, et que les concentrations de A et B sont constantes, repectivement égales à 1 et β ¡ 0, on est alors amené à résoudre l'E.D.O. @ t Ps 0, T s ,

"

X ¹ p t q 1 αX ² p t q Y p t q p β 1 q X p t q

Y ¹ p t q αX ² p t q Y p t q βX p t q (1.4)

Par exemple, avec le jeu de données α 1, β 3.5 et les contitions initiales

X p 0 q 3 et Y p 0 q 2 on obtient des oscillations :

(6)

1.1 Exemples 1 INTRODUCTION

0 5 10 15 20 25 30 35 40

0 1 2 3 4 5 6

t

Brusselator simplifie − Concentrations

X(t) Y(t)

0 1 2 3 4 5 6

X(t)

Y(t)

Brusselator simplifie

1.1.4 Mécanique

Le pendule pesant le plus simple est constitué d'un petit objet pesant

accroché à une tige de masse négligeable devant celle de l'objet. L'autre

extrémité de la tige est l'axe de rotation du pendule. Un tel pendule, sans

viscosité, est appelé pendule pesant simple. On note θptq l'angle que fait le

(7)

1.1 Exemples 1 INTRODUCTION

pendule par rapport à l'axe vertical, à un instant t, L la longueur de la tige, m sa masse et g l'accélération de la pesanteur. L'équation diérentielle est donnée par

θ ² p t q g

L sin p θ p t qq 0. (1.5) Si le pendule est soumis à un frottement visqueux de coecient ν , l'ex- pression de l'accélération angulaire devient :

θ ² p t q g

L sin p θ p t qq ν

mL ² θ ¹ p t q 0. (1.6) Exemple 2 Dans cet exemple, on étudie le problème du pendule pesant sans viscosité décrit au paragraphe 1.1.4. On est donc ramené à résoudre l'E.D.O.

θ ² p t q g

L sin p θ p t qq 0, @ t Ps 0, T s , (1.7) avec les conditions initiales

"

θp0q θ 0 , position angulaire initiale,

θ ¹ p 0 q θ 0 , vitesse angulaire initiale , (1.8) Par exemple, avec le jeu de données _L ^g 3 et les conditions initiales θ ₀ ^5π ₆ et θ ₀ ¹ 0 on obtient

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

−3

−2

−1 0 1 2 3

t

θ(t)

Pendule pesant − valeur angulaire

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

−4

−2 0 2 4

t

θ’(t)

Pendule pesant − vitesse angulaire

(8)

1.2 Dénition des E.D.O. 1 INTRODUCTION

−3 −2 −1 0 1 2 3

−4

−3

−2

−1 0 1 2 3 4

θ(t)

θ’(t)

Pendule pesant

1.2 Dénition des E.D.O.

Soit une fonction y y y dénie sur un intervalle de R à valeurs dans R ^m de classe C ^p (continûment dérivable d'ordre p) et on note y y y ^p ^p ^q la dérivée d'ordre p de y y y.

Dénition 1.1 On appelle équation diérentielle ordinaire (E.D.O.) d'ordre p une équation de la forme :

F p t, y y y p t q , y y y ^p ¹ ^q p t q , y y y ^p ² ^q p t q , . . . , y y y ^p ^p ^q p t qq 0.

Dénition 1.2 On appelle forme canonique d'une E.D.O. une expres- sion du type :

y y y ^p ^p ^q p t q G G G p t, y y y p t q , y y y ^p ¹ ^q p t q , y y y ^p ² ^q p t q , . . . , y y y ^p ^p ¹ ^q p t qq . (1.9) Toute équation diérentielle d'ordre p sous forme canonique peut s'écrire comme un système de p équations diérentielles d'ordre 1. En eet, en in- troduisant p fonctions dénies par

$ ' ' '

&

' ' ' %

zzz ^r ¹ ^s p t q y y y ^p ⁰ ^q p t q zzz ^r ² ^s p t q y y y ^p ¹ ^q p t q

...

zzz ^r ^p ^s p t q y y y ^p ^p ¹ ^q p t q

(9)

1.2 Dénition des E.D.O. 1 INTRODUCTION

on obtient $

' ' ' '

&

' ' ' '

%

dz z z

^r¹^s

dt p t q y y y ^p ¹ ^q p t q zzz ^r ² ^s p t q ,

dz z z

^r²^s

dt p t q y y y ^p ² ^q p t q zzz ^r ³ ^s p t q , ...

dz z z

^r^p^s

dt p t q y y y ^p ^p ^q p t q . Or

y y

y ^p ^p ^q p t q G G G p t, y y y p t q , y y y ^p ¹ ^q p t q , y y y ^p ² ^q p t q , . . . , y y y ^p ^p ¹ ^q p t qq G G G p t, zzz ^r ¹ ^s p t q , zzz ^r ² ^s p t q , . . . , zzz ^r ^p ^s p t qq . On obtient alors le système diérentiel d'ordre 1 suivant :

$ ' ' ' ' &

' ' ' '

%

dz z z

^r1s

dt p t q zzz ^r ² ^s p t q ,

dz z z

^r²^s

dt p t q zzz ^r3s p t q , ...

dz z z

^r^p^s

dt p t q G G G p t, zzz ^r ¹ ^s p t q , zzz ^r ² ^s p t q , . . . , zzz ^r ^p ^s p t qq .

(1.10)

Exemple 1 (suite) Pour obtenir la forme canonique de (1.4), on pose y y y p t q

y 1 ptq y 2 p t q

avec y 1 p t q X p t q et y 2 p t q Y p t q . On obtient alors

y y y ^p ¹ ^q p t q

y ₁ ^p ¹ ^q p t q y ₂ ^p ¹ ^q p t q

X ^p ¹ ^q p t q Y ^p ¹ ^q p t q

1 αX ² p t q Y p t q p β 1 q X p t q αX ² p t q Y p t q βX p t q

1 αy ² ₁ p t q y 2 p t q p β 1 q y 1 p t q αy ₁ ² p t q y ₂ p t q βy ₁ p t q

Avec p 1 et

$ &

% G G

G _b : R R ² ÝÑ R ² p t, zzz q ÞÝÑ

1 αz ² ₁ z 2 p β 1 q z 1

αz ₁ ² z ₂ βz ₁

la forme canonique est donnée par y y

y ^p1q p t q G G G _b p t, y y y p t qq . (1.11) Exemple 2 (suite) Pour obtenir la forme canonique de (1.7),on prend p 2 et "

G _p : R R R ÝÑ R

p t, u, v q ÞÝÑ _L ^g sin p u q . La forme canonique est alors donnée par

θ ^p ² ^q ptq G _p pt, θptq, θ ^p ¹ ^q ptqq. (1.12)

(10)

1.3 Formulation générale : le problème de Cauchy 1 INTRODUCTION

1.3 Formulation générale : le problème de Cauchy

Dénition 1.3 (problème de Cauchy) Soit f f f l'application continue dé- nie par

f f f : r t ⁰ , t ⁰ T s R ^d ÝÑ R ^d p t, y y y q ÞÝÑ f f f p t, y y y q

avec T Ps 0, 8s . Le problème de Cauchy revient à chercher une fonction y

y y dénie par

y y

y : r t ⁰ , t ⁰ T s ÝÑ R ^d t ÞÝÑ y y y p t q continue et dérivable, telle que

y y y ¹ ptq f f fpt, y y yptqq, @t P rt ⁰ , t ⁰ T s (1.13) y

y y p t ⁰ q y y y ^r ⁰ ^s P R ^d . (1.14) On supposera qu'une telle solution existe.

Exemple 1.4 Un problème de Cauchy peut être linéaire, comme par exemple : "

y ¹ ptq 3yptq 3t, si t ¡ 0 y p 0 q 1

pour lequel f p t, v q 3v 3t et dont la solution est y p t q p 1 1 { 3 q e ^3t t 1 { 3.

On peut avoir aussi des problèmes non-linéaires, comme :

"

y ¹ p t q a

³

y p t q , si t ¡ 0 y p 0 q 0

avec f p t, v q ?

³

v. Ce problème admet les trois solutions suivantes : y p t q 0, y p t q a

8t ³ { 27 et y p t q a 8t ³ { 27.

Le problème suivant :

"

y ¹ p t q 1 y ² p t q , si t ¡ 0 y p 0 q 0

admet comme solution la fonction yptq tanptq avec 0 t ^π ₂ ,

c'est-à-dire une solution locale.

Exemple 1 (suite) La forme canonique (1.11) est d'ordre 1, on obtient alors directemnt le problème de Cauchy associé : chercher une fonction y y y dénie par

y y y : r 0, T s ÝÑ R ²

t ÞÝÑ y y y p t q

(11)

1.3 Formulation générale : le problème de Cauchy 1 INTRODUCTION

continue et dérivable, telle que

y y y ¹ ptq f f f pt, y y yptqq, @t P rt ⁰ , t ⁰ T s (1.15)

y y y p 0 q y y y ₀ P R ² (1.16)

avec f f f G G G _b et y y y p 0 q 3

2 .

Exemple 2 (suite) La forme canonique (1.12) est d'ordre 2. On se ra- mène à un système diérentiel du 1er ordre en posant :

y y y p t q

y ₁ p t q y ₂ p t q

θptq θ ^p ¹ ^q p t q

On a alors, en dérivant l'expression précédente : y y y ^p ¹ ^q p t q

y ^p ₁ ¹ ^q p t q y ^p ₂ ¹ ^q p t q

θ ^p ¹ ^q p t q θ ^p ² ^q p t q

θ ^p ¹ ^q p t q G _p p t, θ p t q , θ ^p ¹ ^q p t qq

y 2 ptq G _p p t, y 1 p t q , y 2 p t qq

.

On pose

f

f f _p : r 0, T s R ² ÝÑ R ² p t, zzz q ÞÝÑ

z 2

G _p p t, z 1 , z 2 q

.

Le problème de Cauchy revient à chercher une fonction y y y dénie par y y y : r 0, T s ÝÑ R ²

t ÞÝÑ y y y p t q continue et dérivable, telle que

y y

y ¹ ptq f f f p pt, y y yptqq, @t P r0, T s (1.17) y

y

y p 0 q y y y ₀ P R ² (1.18)

avec y y y p 0 q θ 0

θ ₀ ¹

.

Dans de nombreux cas, la variable t représente le temps et les compo- santes du vecteur y y y , une famille de paramètres décrivant l'état d'un système matériel donné. L'équation diérentielle (1.17) traduit physiquement la loi d'évolution du système considéré.

En général, il est impossible de trouver des solutions exactes à ces pro-

blèmes. Il faut alors construire des méthodes numériques pour obtenir des

(12)

1.4 Dérivation numérique 1 INTRODUCTION

solutions approchées. Toutefois, il faudra vérier l'existence et l'unicité de la solution. Pour cela, on a le

p PC q

"

y y

y ¹ p t q f f f p t, y y y p t qq y

y

y p t ⁰ q y y y ₀ P R ^m .

avec f f f : U ÝÑ R ^m , U un ouvert de R R ^m et p t ⁰ , y y y ^r ⁰ ^s q P U .

Théorème 1.5 (Cauchy-Lipschitz) On suppose que la fonction f f f est conti- nue sur U et quelle est localement lipschitzienne en y y y : @p t, y y y q P U, D W voisinage ttt, D V voisinage y y y, D L ¡ 0 tels que

@ s P W , @p u u u, v v v q P V ² , } f f f p s, u u u q f f f p s, v v v q} ¤ L } u u u v v v } (1.19) Sous ces hypothèses le problème de Cauchy p PC q admet une unique solution.

Proposition 1.6 Si Bf f f

B y y y p t, y y y q est continue et bornée, alors f f f satisfait la

condition de Lipschitz (1.19) en y y y.

1.4 Dérivation numérique

Soit y : ra, bs ÝÑ R, de classe C ¹ et t P ra, bs. La dérivée y ¹ ptq est donnée par

y ¹ p t q lim

h Ñ 0

y p t h q y p t q h

lim

h Ñ 0

y p t q y p t h q h lim

h Ñ 0

y p t h q y p t h q 2h

On note t ⁿ a nh, n P v 0, N w et h p b a q{ N une discrétisation régulière de r a, b s . Soit p Dy q n une approximation de y ¹ p t ⁿ q . On appelle

diérence nie progressive l'approximation p Dy q ^P _n y p t ⁿ ¹ q y p t ⁿ q

h , @ n P v 0, N 1 w (1.20) diérence nie rétrograde l'approximation

pDyq ^R _n ypt ⁿ q ypt ⁿ ¹ q

h , @n P v1, N w (1.21) diérence nie centrée l'approximation

p Dy q ^C n y p t ⁿ ¹ q y p t ⁿ ¹ q

2h , @ n P v 1, N 1 w (1.22)

(13)

1.4 Dérivation numérique 1 INTRODUCTION

Pour calculer l'erreur commise par ces approximations, on rappelle le developpement de Taylor

Proposition 1.7 (Développement de Taylor) Soit f une application f : ra, bs ÝÑ R. Si f P C ^r ¹ pra, bsq alors @px, yq P ra, bs ² il existe un ξ Psx, yr tel que

f p x q f p y q

¸ r k 0

f ^p ^k ^q p y q

k! p x y q ^k f ^p ^r ¹ ^q p ξ q

pr 1q! p x y q ^r ¹ (1.23) Exercice 1.1 Q. 1 Soit y P C ² pr a, b sq .

1. Montrer qu'il existe η ⁿ _P Ps t ⁿ , t ⁿ ¹ r et η _R ⁿ Ps t ⁿ ¹ , t ⁿ r tels que p Dy q ^P n y ^p ¹ ^q p t ⁿ q h

2 y ^p ² ^q p η _P ⁿ q et

p Dy q ^R n y ^p1q p t ⁿ q h

2 y ^p2q p η _R ⁿ q 2. En déduire que

| y ^p ¹ ^q p t ⁿ q p Dy q ^P _n | ¤ Ch, avec C 1

2 max

t Pr t

ⁿ

,t

ⁿ ¹

s | y ^p ² ^q p t q|

et

| y ¹ p t ⁿ q p Dy q ^R n | ¤ Dh, avec D 1 2 max

t Pr t

ⁿ¹

,t

ⁿ

s | y ^p ² ^q p t q|

Q. 2 Soit y P C ³ pr a, b sq .

1. Montrer qu'il existe η ⁿ ₁ Ps t ⁿ , t ⁿ ¹ r et η ₂ ⁿ Ps t ⁿ ¹ , t ⁿ r tels que p Dy q ^C n y ^p ¹ ^q p t ⁿ q h ²

12 p y ^p ³ ^q p η ₁ ⁿ q y ^p ³ ^q p η ⁿ ₂ qq 2. En déduire que

|y ^p ¹ ^q pt ⁿ q pDyq ^C _n | ¤ Eh ² , avec E 1

6 max

tPrt

ⁿ¹

,t

ⁿ ¹

s |y ^p ³ ^q ptq|

Dénition 1.8 La diérence τ p h q | y ¹ p t ⁿ q p Dy q n | est appelée erreur de troncature au point t ⁿ . On dira que τ est d'ordre p ¡ 0 si il existe une constance C ¡ 0 telle que

τ p h q ¤ Ch ^p .

Les erreurs de troncature des diérences nies progressive et rétrograde

sont d'ordre 1 et l'erreur de troncature de la diérence nie centrée est d'ordre

2.

(14)

1.5 Méthode des diérences nies pour le problème de Cauchy en

dimension d 1 1 INTRODUCTION

1.5 Méthode des diérences nies pour le problème de Cau- chy en dimension d 1

On veut résoudre numériquement le problème de Cauchy (1.13)-(1.14) en utilisant les diérences nies progressive, rétrograde ou centrée.

On note t ⁿ t ⁰ nh, n P t 0, . . . , N u une discrétisation régulière de r t ⁰ , t ⁰ T s avec h T { N le pas de temps. On a

y ¹ ptq f pt, yptqq, @t P rt ⁰ , t ⁰ T s ce qui entraine

y ¹ p t ⁿ q f p t ⁿ , y p t ⁿ qq , @ n P v 0, N w . (1.24) En utilisant la formule des diérences nies progressive, on a @ n P v 0, N 1 w , D η _n P r t ⁿ , t ⁿ ¹ s tels que

y p t ⁿ ¹ q y p t ⁿ q

h f p t ⁿ , y p t ⁿ qq h 2 y ² p η _n q ou encore

y p t ⁿ ¹ q y p t ⁿ q hf p t ⁿ , y p t ⁿ qq h ²

2 y ² p η n q . On note y ^r ⁿ ^s une approximation de y p t ⁿ q pour n P v 0, N w .

La méthode d'Euler progressive est donnée par le schéma

"

y ^r ⁿ ¹ ^s y ^r ⁿ ^s hf pt ⁿ , y ^r ⁿ ^s q, @n P v0, N 1w

y ^r ⁰ ^s ypt ⁰ q (1.25)

Ce schéma est explicite, car il permet le calcul direct de y ^r ⁿ ¹ ^s en fonction de y ^rns .

De la même manière, la méthode d'Euler régressive est donnée par le schéma

"

y ^r ⁿ ¹ ^s y ^r ⁿ ^s hf p t ⁿ ¹ , y ^r ⁿ ¹ ^s q , @ n P v 0, N 1 w

y ^r ⁰ ^s y p t ⁰ q (1.26)

Ce schéma est implicite, car y ^r ⁿ ¹ ^s est dénit implicitement en fonction de y ^r ⁿ ^s . Il faut donc résoudre à chaque pas de temps une équation non-linéaire en utilisant des méthodes de point xe par exemple.

Exercice 1.2 On veut résoudre numériquement le problème p P q suivant : trouver y telle que

p P q

"

y ¹ p t q cos p t q 1, @ t P r 0, 4π s y p 0 q 0.

dont la solution exacte est y p t q sin p t q t.

On rappelle le schéma d'Euler progressif pour la résolution d'un problème de Cauchy

p S q

"

y ^r ⁿ ¹ ^s y ^r ⁿ ^s hf p t ⁿ , y ^r ⁿ ^s q ,

y ^r ⁰ ^s donné.

(15)

1.6 Exemple 1 INTRODUCTION

Q. 1 Expliquer en détail comment utiliser le schéma d'Euler progressif pour résoudre le problème p P q en précisant entre autres les données, les inconnues, les dimensions des variables, lien entre y ^r ⁿ ^s et la fonction y, ...

Q. 2 (algorithmique) Soit a, b, a b deux réels. Ecrire une fonction Dis- Reg retournant une discrétisation de l'intervalle r a; b s avec N pas (constant)

de discrétisation.

Q. 3 (algorithmique) Ecrire une fonction REDEP retournant l'ensemble des couples p t ⁿ , y ^r ⁿ ^s q calculés par le schéma d'Euler progressif.

Q. 4 (algorithmique) Ecrire un algorithme complet de résolution de p P q

par le schéma d'Euler progressif.

1.6 Exemple

Soit l'E.D.O. suivante

"

y ¹ ptq yptq t ² y ² ptq, pour t P r0, 5s, y p 0 q 1

de solution exacte

y p t q 1 {p e ^t t ² 2t 2 q .

Les résolutions numériques avec les schémas d'Euler progressif et rétrograde sont représentés en gure 1.

1.7 Stabilité

Pour illustrer la notion de stabilié (absolue) d'un schéma numérique, on étudie le problème modèle suivant :

Soit λ 0, Soit l'E.D.O. suivante

"

y ¹ ptq λyptq, pour t P R , y p 0 q y 0

où λ 0 est donné. La solution exacte est y p t q y ₀ e ^λt . En particulier, on a

t Ñ 8 lim y p t q 0

(16)

1.7 Stabilité 1 INTRODUCTION

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

−1.8

−1.6

−1.4

−1.2

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2 0

t

y’(t)=y(t)+t² y²(t) avec y(0)=−1 et N=20

exacte Euler Progressive Euler Régressive

Figure 1 résolutions avec Euler progressif et rétrograde

Dénition 1.9 On pose t ⁿ nh, où le pas de temps h ¡ 0 est donné et y ^r ⁿ ^s une approximation de y p t ⁿ q par un schéma donné. On dit alors que le schéma associé à ce problème est absolument stable si

n Ñ 8 lim y ^r ⁿ ^s 0.

Ce n'est malheureusement pas toujours le cas comme illustré en gure2 avec le schéma d'Euler progressif et h ²⁰ ₁₉ 1.05. Par contre, avec h ²⁰ ₂₁ 0.95, le même schéma est stable (voir gure3).

Pour comprendre ce phénomène, on écrit le schéma d'Euler progressif : y ^rn ^1s y ^rns hf p t ⁿ , y ^rns q y ^rns λhy ^rns p 1 λh q y ^rns

d'où

y ^r ⁿ ^s p 1 λh q ⁿ y ^r ⁰ ^s , @ n ¥ 0.

On remarque alors que si | 1 λh | ¡ 1 alors lim _{nÑ 8} | y ^r ⁿ ^s | 8 , le schéma d'Euler progressif est alors instable. Pour assurer la stabilité, il faut ici im- poser une condition sur h :

| 1 λh | 1 d'où 0 h 2 λ .

On dit alors que le schéma d'Euler progressif est conditionnellement stable.

(17)

1.7 Stabilité 1 INTRODUCTION

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

−8

−6

−4

−2 0 2 4 6 8

t

y’(t)=−2y(t) avec y(0)=1 et h=1.0526

exacte Euler Progressive Euler Regressive

Figure 2 Instabilité Euler progressif - Stabilité Euler rétrograde

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

t

y’(t)=−2y(t) avec y(0)=1 et h=0.95238

exacte Euler Progressive Euler Regressive

Figure 3 Stabilité Euler progressif - Stabilité Euler rétrograde

(18)

1.8 Méthode des diérences nies pour le problème de Cauchy en

dimension d 1 INTRODUCTION

De la même manière, pour le schéma d'Euler rétrograde on obtient y ^r ⁿ ¹ ^s

1 1 λh

y ^r ⁿ ^s et donc

y ^r ⁿ ^s

1 1 λh n

y ^r ⁰ ^s , @ n ¥ 0.

Dans ce cas lim n Ñ 8 y ^r ⁿ ^s 0 sans condition : on dit que le schéma d'Euler rétrograde est inconditionnellement stable.

1.8 Méthode des diérences nies pour le problème de Cau- chy en dimension d

On veut résoudre le problème de Cauchy : p PC q

"

y

y y ¹ p t q f f f p t, y y y p t qq , @ t P r t ⁰ , t ⁰ T s y y ypt ⁰ q y y y 0 P R ^d .

La fonction f f f étant dénie par f

f f : r t ⁰ , t ⁰ T s R ^d ÝÑ R ^d

p t, zzz q ÞÝÑ w w w f f f p t, zzz q

f f f 1 p t, zzz q ...

f f f d p t, zzz q

En notant y y y p t q

y 1 p t q ...

y d p t q

et f f f p t, y y y p t qq

f 1 p t, y y y p t qq ...

f d p t, y y y p t qq

le problème de Cauchy peut aussi s'écrire sous la forme

$ ' ' '

&

' ' ' %

y ₁ ¹ ptq f 1 pt, y y yptqq, ...

y _d ¹ ptq f d pt, y y yptqq, @t P rt ⁰ , t ⁰ T s avec y y y p t ⁰ q y y y 0 P R ^d .

Après discrétisation et utilisation de la formule des diérences nies progres- sive on obtient $

' ' ' '

&

' ' ' '

%

y ₁ ^r ⁿ ¹ ^s y ₁ ^r ⁿ ^s hf ₁ p t ⁿ , y y y ^r ⁿ ^s q ...

y _d ^r ⁿ ¹ ^s y _d ^r ⁿ ^s hf d pt ⁿ , y y y ^r ⁿ ^s q

avec y y y p t ⁰ q y y y 0 P R ^d .

(19)

2 MÉTHODE À UN PAS OU À PAS SÉPARÉS

où y y y ^r ⁿ ^s

y ₁ ^r ⁿ ^s ...

y _d ^r ⁿ ^s

et y y y ^r ⁿ ^s q y y y p t ⁿ q.

On obtient alors la méthode d'Euler progressive sous forme vectorielle :

"

y y y ^r ⁿ ¹ ^s y y y ^r ⁿ ^s hf f fpt ⁿ , y y y ^r ⁿ ^s q, @n P v0, N 1w

y y y ^r ⁰ ^s y y ypt ⁰ q (1.27)

Ce schéma est explicite, car il permet le calcul direct de y y y ^r ⁿ ¹ ^s en fonction de y y y ^r ⁿ ^s .

De la même manière, la méthode d'Euler régressive sous forme vecto- rielle est donnée par le schéma

"

y

y y ^r ⁿ ¹ ^s y y y ^r ⁿ ^s hf f f p t ⁿ ¹ , y y y ^r ⁿ ¹ ^s q , @ n P v 0, N 1 w

y y y ^r ⁰ ^s y y ypt ⁰ q (1.28)

Ce schéma est implicite, car y y y ^r ⁿ ¹ ^s est dénit implicitement en fonction de y y y ^r ⁿ ^s .

2 Méthode à un pas ou à pas séparés

Pour simplier on prend h h _n (pas constant) 2.1 Schéma général

Les méthodes à un pas utilisent la formule générale :

y y y ^r ⁿ ¹ ^s y y y ^r ⁿ ^s hΦ Φ Φ p t ⁿ , y y y ^r ⁿ ^s , h q (2.1) Pour la méthode d'Euler, la fonction Φ Φ Φpt, y y y, hq est f f f pt, y y yq.

2.2 Convergence

La méthode converge sur l'intervalle r t ⁰ , t ⁰ T s si, pour la suite des y y y ^rns calculés, l'écart maximum avec la solution exacte diminue quand le pas h diminue :

lim

h

_N^T

Ñ 0

max

n Pt 0,...,N u

y y y ^r ⁿ ^s y y y p t ⁿ q 0

2.3 Stabilité

La méthode est stable si une petite perturbation sur y y y ^r ⁰ ^s ou Φ Φ Φ n'entraîne qu'une petite perturbation sur la solution approchée, et cela quel que soit le pas h.

Souvent , lorsque la méthode n'est pas stable, l'amplication des erreurs

est exponentielle et, au bout de quelques calculs, les résultats entraînent des

dépassements de capacité.

(20)

2.4 Consistance 3 MÉTHODE DE RUNGE-KUTTA

Théorème 2.1 Si Φ Φ Φ p t, y y y, h q vérie la condition de Lipschitz en y y y alors la

méthode est stable.

2.4 Consistance

Le schéma de calcul (2.1) est consistant avec l'équation diérentielle si lim

h

_N^T

Ñ 0

max n

y y y p t ⁿ ¹ q y y y p t ⁿ q

h Φ Φ Φ p t ⁿ , y y y p t ⁿ q , h q 0

Cela signie que le schéma doit être une approximation vraisemblable, bien construite.

Théorème 2.2 Le schéma est consistant si Φ p t, y, 0 q f p t, y q . Théorème 2.3 Si la méthode est stable et consistante, alors elle converge

pour n'importe quelle valeur initiale.

2.5 Ordre

La méthode itérative est d'ordre p si pour toute solution : max n

y y y p t ⁿ ¹ q y y y p t ⁿ q

h Φ Φ Φ p t ⁿ , y y y p t ⁿ q , h q ¤ Ch ^p

3 Méthode de Runge-Kutta

3.1 Principe

Pour simplier, on suppose h _n h. L'idée fondamentale des méthodes de Runge-Kutta est d'intégrer l'équation (??) sur r t ⁿ , t ⁿ ¹ s et de calculer :

y y y p t ⁿ ¹ q y y y p t ⁿ q

» _t

ⁿ ¹

t

ⁿ

f f

f p t, y y y p t qq dt,

en utilisant une formule d'intégration numérique à q points intermédiaires t ^n,i ¹ t ⁿ h i pour calculer l'intégrale.

La fonction Φ Φ Φ associée à une méthode de Runge-Kutta à q évaluations de f f f peut s'écrire sous la forme :

Φ

Φ Φ p t, y y y, h q

¸ q i 1

c _i k k k ^r ⁱ ^s p t, y y y, h q avec

k

k k ^r ⁱ ^s p t, y y y, h q f f f

t ha _i , y h

¸ q j 1

b _i,j k k k ^r ^j ^s p t, y y y, h q

, 1 ¤ i ¤ q

(21)

3.2 Formules explicites de Runge-Kutta d'ordre 3 MÉTHODE DE RUNGE-KUTTA 2

que l'on peut représenter sous la forme d'un tableau dit tableau de But- cher :

a a a B

ccc ^t (3.1)

avec B p b _i,j q i,j Pv 1,q w P M _q,q pRq , a a a p a _i q i Pv 1,q w P R ^q et ccc p c _i q i Pv 1,q w P R ^q Remarque 3.1 1. Une méthode de Runge-Kutta est d'ordre 0 si

a i

¸ q j 1

b ij .

2. Une méthode de Runge-Kutta est d'ordre 1 (et donc consistante) si elle est d'ordre 0 et si _q

¸

i 1

c i 1.

3. Une méthode de Runge-Kutta est d'ordre 2 si elle est d'ordre 1 et si

¸ q i 1

c i a i 1 { 2.

4. Une méthode de Runge-Kutta est explicite si la matrice B est triangu- laire inférieure à diagonale nulle :

@p i, j q P v 1, q w , j ¥ i, b _ij 0.

5. Les méthodes de Runge-Kutta explicites sont stables si f est contrac-

tante en y .

3.2 Formules explicites de Runge-Kutta d'ordre 2

0 0 0

1 2α

1 2α 0

1 α α

(3.2)

Φ

Φ Φ p t, y y y, h q p 1 α q f f f p t, y y y q αf f f p t h

2α , y y y h

2α f f f p t, y y y qq Avec α ¹ ₂ , on obtient la méthode de Heun :

y

y y ^r ⁿ ¹ ^s y y y ^r ⁿ ^s h

2 f f f p t ⁿ , y y y ^r ⁿ ^s q h 2 f f f

t ⁿ ¹ , y y y ^r ⁿ ^s hf f f p t ⁿ , y y y ^r ⁿ ^s q . Avec α 1, on obtient la méthode d'Euler modiée ou méthode

du point milieu : y

y

y ^r ⁿ ¹ ^s y y y ^r ⁿ ^s hf f f

t ⁿ h

2 , y y y ^r ⁿ ^s h

2 f f f p t ⁿ , y y y ^r ⁿ ^s q

.

(22)

3.3 Méthodes de Runge-Kutta d'ordre 4 3 MÉTHODE DE RUNGE-KUTTA

Exercice 3.1 la méthode de Heun est donnée par y y y ^r ⁿ ¹ ^s y y y ^r ⁿ ^s h

2 f f f pt ⁿ , y y y ^r ⁿ ^s q h 2 f f f

t ⁿ ¹ , y y y ^r ⁿ ^s hf f f pt ⁿ , y y y ^r ⁿ ^s q .

Q. 1 Ecrire la fonction algorithmique REDHeunVec permettant de ré- soudre un problème de Cauchy (vectoriel par la méthode de Heun en utilisant

au plus 2N évaluation de f f f .

Pour des valeurs plus élevées de p, ces méthodes sont plus précises que la méthode d'Euler, et d'autant plus que p augmente. On se limite dans la pratique à p 4. Cette méthode est connue sous le nom de Runge-Kutta 4.

Remarquons que dans ces méthodes le pas peut être adapté à chaque étape.

3.3 Méthodes de Runge-Kutta d'ordre 4

La méthode explicite la plus utilisée est donnée par le tableau de Buchler suivant

0 0 0 0 0

1 { 2 1 { 2 0 0 0 1 { 2 0 1 { 2 0 0

1 0 0 1 0

1{6 2{6 2{6 1{6

(3.3)

Ce qui donne le schéma explicite de Runge-Kutta d'ordre 4 : k k k ^r ₁ ⁿ ^s f f f p t ⁿ , y y y ^r ⁿ ^s q

k k k ^r ₂ ⁿ ^s f f f pt ⁿ ^h ₂ , y y y ^r ⁿ ^s ^h ₂ k k k ^r ₁ ⁿ ^s q k

k k ^r ₃ ⁿ ^s f f f p t ⁿ ^h ₂ , y y y ^r ⁿ ^s ^h ₂ k k k ^r ₂ ⁿ ^s q k

k k ^r ₄ ⁿ ^s f f f p t ⁿ h, y y y ^r ⁿ ^s hk k k ^r ₃ ⁿ ^s q y

y y ^r ⁿ ¹ ^s y y y ^r ⁿ ^s ^h ₆ p k k k ^r ₁ ⁿ ^s 2k k k ^r ₂ ⁿ ^s 2k k k ^r ₃ ⁿ ^s k k k ^r ₄ ⁿ ^s q .

(3.4)

Exercice 3.2 la méthode de Runge-Kutta d'ordre 4 est donnée par k

k k ^r ₁ ⁿ ^s f f f p t ⁿ , y y y ^rns q k

k k ^rns ₂ f f f p t ⁿ ^h ₂ , y y y ^r ⁿ ^s ^h ₂ k k k ^rns ₁ q k k k ^r ₃ ⁿ ^s f f f p t ⁿ ^h ₂ , y y y ^r ⁿ ^s ^h ₂ k k k ^r ₂ ⁿ ^s q k k k ^r ₄ ⁿ ^s f f f pt ⁿ h, y y y ^r ⁿ ^s hk k k ^r ₃ ⁿ ^s q

y y y ^r ⁿ ¹ ^s y y y ^r ⁿ ^s ^h ₆ p k k k ^r ₁ ⁿ ^s 2k k k ^r ₂ ⁿ ^s 2k k k ^r ₃ ⁿ ^s k k k ^r ₄ ⁿ ^s q . y

y y ^r ⁿ ¹ ^s y y y ^r ⁿ ^s h

2 f f f p t ⁿ , y y y ^r ⁿ ^s q h 2 f f f

t ⁿ ¹ , y y y ^r ⁿ ^s hf f f p t ⁿ , y y y ^r ⁿ ^s q .

Q. 1 Ecrire la fonction algorithmique REDRK4Vec permettant de résoudre

un problème de Cauchy (vectoriel par la méthode de Runge-Kutta d'ordre 4.

(23)

4 MÉTHODES À PAS MULTIPLES

4 Méthodes à pas multiples

4.1 Exemple : schéma de point milieu

Considérons la méthode à deux pas dénie par la récurrence : y

y y ^r ⁿ ¹ ^s y y y ^r ⁿ ¹ ^s 2hf f f p t ⁿ , y y y ^r ⁿ ^s q . (4.1) Cette méthode est d'ordre 2.

De manière évidente, ces méthodes à pas multiples posent des problèmes de démarrage : ici, on ne peut calculer directement y y y ^r ¹ ^s . Les premières valeurs doivent être calculées par un autre schéma.

4.2 Le principe

Dans tous les schémas présentés, la valeur de y y y ^r ⁿ ¹ ^s était déterminée à chaque pas de façon explicite en fonction uniquement du point y y y ^r ⁿ ^s . On peut tenir compte de plusieurs valeurs y y y ^r ⁱ ^s précédemment calculées et ainsi travailler sur un nombre de pas multiples.

Les méthodes à pas multiples s'écrivent sous la forme générale :

¸ k i0

α i y y y ^r ^{n i} ^s h

¸ k i0

β i f f f pt ^{n i} , y y y ^r ^{n i} ^s q (4.2) où k est le nombre de pas, α _k 0 et | α 0 | | β 0 | ¡ 0.

Remarque 4.1 Si β _k 0 le schéma est explicite, sinon il est implicite.

Dénition 4.2 (ordre) Soit y la solution du problème de Cauchy (??) et y

y y ^r ^{n k} ^s la valeur obtenue par le schéma (4.2) en prenant y y y ^r ^{n i} ^s y y y p t ^{n i} q ,

@i P v0, k 1w. Alors, l'erreur locale est

τ p n k q y y y p t ^{n k} q y y y ^r ^{n k} ^s . Le schéma (4.2) est d'ordre p si

τ pn kq Oph ^p ¹ q.

Théorème 4.3 Un schéma à pas multiple de type (4.2) est d'ordre p si et seulement si

¸ k i 0

α _i 0,

¸ k i 0

α _i i ^q q

¸ k i 0

β _i i ^q ¹ , @ q P v 1, p w .

(24)

4.3 Méthodes d'Adams-Bashforth 4 MÉTHODES À PAS MULTIPLES

Propriété 4.4 (Stabilité) Soit P le polynôme déni par P p λ q

¸ k i 0

α _i λ ⁱ . Une méthode à pas multiple est stable, si

1. toutes les racines de P sont de module inférieur ou égal à 1,

2. une racine de module égal à 1 est une racine simple de P.

Pour le schéma (4.1), on a k 2 et

$ &

%

α ₀ 1

α 1 0 α 2 1

$ &

%

β ₀ 0 β 1 2 β 2 0

On obtient donc P p λ q 1 λ ² p λ 1 qp λ 1 q : le schéma (4.1) est stable.

Théorème 4.5 (Convergence) On suppose que les k valeurs initiales vé- rient, y y y p t ⁱ q y y y ^r ⁱ ^s ¤ C ₀ h ^p , @ i P v 0, k 1 w .

Si le schéma (4.2) est d'ordre p et stable, alors il est convergent d'ordre p : y y y p t ⁿ q y y y ^r ⁿ ^s ¤ Ch ^p , @ n P v 0, N w .

Pour obtenir, à partir d'un schéma à k pas, un schéma d'ordre p il faut obligatoirement initialiser les k premières valeurs à l'aide d'un schéma d'ordre p au moins.

4.3 Méthodes d'Adams-Bashforth On note f f f ^r ⁿ ^s f f f p t ⁿ , y y y ^r ⁿ ^s q

y y y ^r ⁿ ¹ ^s y y y ^r ⁿ ^s h 2

3f f f ^r ⁿ ^s f f f ^r ⁿ ¹ ^s . (4.3) y y y ^r ⁿ ¹ ^s y y y ^r ⁿ ^s h

12 23f f f ^r ⁿ ^s 16f f f ^r ⁿ ¹ ^s 5f f f ^r ⁿ ² ^s . (4.4) y

y y ^r ⁿ ¹ ^s y y y ^r ⁿ ^s h 24

55f f f ^r ⁿ ^s 59f f f ^r ⁿ ¹ ^s 37f f f ^r ⁿ ² ^s 9f f f ^r ⁿ ³ ^s . (4.5) Ces schémas sont explicites et leur ordre correspond au nombre de pas.

Exercice 4.1 La méthode de Adam-Bashforth d'ordre 4 explicite est donnée par

y

y y ^r ⁿ ¹ ^s y y y ^r ⁿ ^s ₂₄ ^h

55f f f ^r ⁿ ^s 59f f f ^r ⁿ ¹ ^s 37f f f ^r ⁿ ² ^s 9f f f ^r ⁿ ³ ^s . avec f f f ^r ⁿ ^s f f f pt ⁿ , y y y ^r ⁿ ^s q.

Q. 1 Ecrire la fonction algorithmique REDAB4Vec permettant de résoudre

un problème de Cauchy (vectoriel) par cette méthode.

(25)

4.4 Méthodes d'Adams-Moulton 4 MÉTHODES À PAS MULTIPLES

4.4 Méthodes d'Adams-Moulton y y y ^r ⁿ ¹ ^s y y y ^r ⁿ ^s h

2 f f f ^r ⁿ ¹ ^s f f f ^r ⁿ ^s . (4.6) y y y ^r ⁿ ¹ ^s y y y ^r ⁿ ^s h

12 5f f f ^r ⁿ ¹ ^s 8f f f ^r ⁿ ^s f f f ^r ⁿ ¹ ^s . (4.7) y y y ^r ⁿ ¹ ^s y y y ^r ⁿ ^s h

24 9f f f ^r ⁿ ¹ ^s 19f f f ^r ⁿ ^s 5f f f ^r ⁿ ¹ ^s f f f ^r ⁿ ² ^s . (4.8) Ces schémas sont implicites et leur ordre correspond au nombre de pas plus un.

4.5 Schéma prédicteur-correcteur 4.5.1 Principe

Il s'agit là d'une des méthodes les plus employées. Une méthode de prédiction-correction procède en deux temps : on fournit explicitement une valeur approchée de la solution au n ^i` ^eme pas (soit y y y ^r ⁿ ¹ ^s ), puis on calcule la valeur correspondante de f f f (soit f f f ^r ⁿ ¹ ^s ) et enn, on subsitue cette valeur dans un schéma implicite (on obtient alors une valeur corrigée).

pour n variant de 0 à N 1 faire

Calculer une valeur approchée y y y ^r ⁿ ¹ ^s par un schéma explicite ; Evaluer f f f ^r ⁿ ¹ ^s f f f p t ⁿ ¹ , y y y ^r ⁿ ¹ ^s q ;

y y y ^r ⁿ ¹ ^s q à l'aide d'un schéma implicite en remplaçant l'inconnue par y y y ^r ⁿ ¹ ^s q ; npour

4.5.2 Exemple

Choisissons la méthode d'Euler explicite pour prédicteur et la méthode implicite des trapèzes comme correcteur.

Euler explicite : y y y ^r ⁿ ¹ ^s y y y ^r ⁿ ^s hf f f p t ⁿ , y y y ^r ⁿ ^s q

Trapèze implicite : y y y ^r ⁿ ¹ ^s y y y ^r ⁿ ^s ^h ₂ p f f f p t ⁿ , y y y ^r ⁿ ^s q f f f p t ⁿ ¹ , y y y ^r ⁿ ¹ ^s qq On obtient :

$ ' ' '

&

' ' ' %

f f f ^r ⁿ ^s f f f p t ⁿ , y y y ^r ⁿ ^s q ; y y y ^r ⁿ ¹ ^s y y y ^r ⁿ ^s hf f f ^r ⁿ ^s ; f f f ^r ⁿ ¹ ^s f f f p t ⁿ ¹ , y y y ^r ⁿ ¹ ^s q ;

y y y ^r ⁿ ¹ ^s y y y ^r ⁿ ^s ^h ₂ p y y y ^r ⁿ ¹ ^s f f f ^r ⁿ ^s q

Remarque 4.6 On retrouve ici, pour ce cas simple, une formule de Runge-

Kutta 2.

En pratique, on peut utiliser un schéma d'Adams explicite (??) pour la

prédiction et un autre implicite (??) pour la correction.

(26)

5 EXERCICES CORRIGÉS

Exercice 4.2 On pose f f f ^r ⁿ ^s f f f p t ⁿ , y y y ^r ⁿ ^s q . La méthode de Adams-Bashforth d'ordre 4 explicite est donnée par

y y y ^r ⁿ ¹ ^s y y y ^r ⁿ ^s h 24

55f f f ^r ⁿ ^s 59f f f ^r ⁿ ¹ ^s 37f f f ^r ⁿ ² ^s 9f f f ^r ⁿ ³ ^s et la méthode de Adams-Moulton d'ordre 4 implicite par

y y y ^r ⁿ ¹ ^s y y y ^r ⁿ ^s h 24

9f f f ^r ⁿ ¹ ^s 19f f f ^r ⁿ ^s 5f f f ^r ⁿ ¹ ^s f f f ^r ⁿ ² ^s avec f f f ^r ⁿ ^s f f f p t ⁿ , y y y ^r ⁿ ^s q .

Q. 1 Ecrire la fonction algorithmique REDPreCor4Vec permettant de résoudre un problème de Cauchy (vectoriel) par une méthode de prédiction-

correction utilisant ces deux schémas.

Remarque 4.7 1. La stabilité du prédicteur intervient peu.

2. Le choix du pas dans ces méthodes est un problème dicile.

4.5.3 Comparaison avec Runge-Kutta

L'intérêt d'une méthode de résolution numérique d'équations diéren- tielles se mesure principalement suivant deux critères :

son coût pour obtenir une précision donnée (c'est à dire le nombre d'évaluations de fonctions par étapes).

sa stabilité.

La caractéristique des méthodes de Runge-Kutta est que le pas est assez facile à adapter, la mise en oeuvre informatique plus aisée. Mais pour des mé- thodes du même ordre de consistance, les méthodes de Runge-Kutta exigent plus d'évaluations de fonctions. Quand on sait que la solution de l'équa- tion n'est pas sujette à de brusques variations de la dérivée, on prendra une méthode de type prédicteur-correcteur mais, si le pas doit être adapté plus précisément, on préfèrera une méthode de Runge-Kutta.

5 Exercices corrigés

Exercice 1 Q. 1 Soit y P C ² pr a, b sq .

1. Montrer qu'il existe η ⁿ _P Ps t ⁿ , t ⁿ ¹ r et η _R ⁿ Ps t ⁿ ¹ , t ⁿ r tels que p Dy q ^P n y ^p ¹ ^q p t ⁿ q h

2 y ^p ² ^q p η _P ⁿ q et

p Dy q ^R n y ^p ¹ ^q p t ⁿ q h

2 y ^p ² ^q p η _R ⁿ q

(27)

5 EXERCICES CORRIGÉS

2. En déduire que

|y ^p ¹ ^q pt ⁿ q pDyq ^P _n | ¤ Ch, avec C 1

2 max

t Pr t

ⁿ

,t

ⁿ ¹

s |y ^p ² ^q ptq|

et

| y ¹ p t ⁿ q p Dy q ^R n | ¤ Dh, avec D 1 2 max

t Pr t

ⁿ¹

,t

ⁿ

s | y ^p ² ^q p t q|

Q. 2 Soit y P C ³ pr a, b sq .

1. Montrer qu'il existe η ⁿ ₁ Ps t ⁿ , t ⁿ ¹ r et η ₂ ⁿ Ps t ⁿ ¹ , t ⁿ r tels que p Dy q ^C n y ^p ¹ ^q p t ⁿ q h ²

12 p y ^p ³ ^q p η ₁ ⁿ q y ^p ³ ^q p η ⁿ ₂ qq 2. En déduire que

| y ^p ¹ ^q p t ⁿ q p Dy q ^C _n | ¤ Eh ² , avec E 1

6 max

t Pr t

ⁿ¹

,t

ⁿ ¹

s | y ^p ³ ^q p t q|

Correction

Q. 1 1. Soit n P v 0, N 1 w, on a

pDyq ^P _n y p t ⁿ ¹ q y p t ⁿ q

h .

D'après la formule de Taylor, il existe η ⁿ _P P r t ⁿ , t ⁿ ¹ s tel que ypt ⁿ ¹ q ypt ⁿ q hy ^p ¹ ^q pt ⁿ q h ²

2! y ^p ² ^q pη ⁿ _P q (5.1) d'où

p Dy q ^P n y p t ⁿ ¹ q y p t ⁿ q

h y ^p ¹ ^q p t ⁿ q h

2! y ^p ² ^q p η _P ⁿ q . (5.2) On a

p Dy q ^R n y p t ⁿ q y p t ⁿ ¹ q

h .

D'après la formule de Taylor, il existe η ⁿ _R P r t ⁿ ¹ , t ⁿ s tels que y p t ⁿ ¹ q y p t ⁿ q hy ^p ¹ ^q p t ⁿ q p h q ²

2! y ^p ² ^q p η _R ⁿ q (5.3) d'où

p Dy q ^R n y p t ⁿ q y p t ⁿ ¹ q

h y ^p ¹ ^q p t ⁿ q h

2 y ^p ² ^q p η _R ⁿ q (5.4)

(28)

5 EXERCICES CORRIGÉS

2. Soit n P v 0, N 1 w, comme η _P ⁿ P r t ⁿ , t ⁿ ¹ s on a

| y ^p ² ^q p η ⁿ _P q| ¤ max

t Pr t

ⁿ

,t

ⁿ ¹

s | y ^p ² ^q p t q|

d'où, en utilisant (5.2),

|pDyq ^P _n y ^p ¹ ^q pt ⁿ q| h

2 |y ^p ² ^q pη _P ⁿ q| ¤ h

2 max

t Pr t

ⁿ

,t

ⁿ ¹

s |y ^p ² ^q ptq|.

De même, comme η ⁿ _R P r t ⁿ ¹ , t ⁿ s on a

| y ^p ² ^q p η ⁿ _R q| ¤ max

t Pr t

ⁿ¹

,t

ⁿⁿ

s | y ^p ² ^q p t q|

d'où, en utilisant (5.4),

|p Dy q ^R n y ^p ¹ ^q p t ⁿ q| h

2 | y ^p ² ^q p η _R ⁿ q| ¤ h

2 max

t Pr t

ⁿ¹

,t

ⁿ

s | y ^p ² ^q p t q| . Q. 2 1. Soit n P v 0, N 1 w, on a

p Dy q ^C _n y p t ⁿ ¹ q y p t ⁿ¹ q

2h .

D'après la formule de Taylor, il existe η ⁿ ₁ P r t ⁿ , t ⁿ ¹ s et η ₂ ⁿ P r t ⁿ ¹ , t ⁿ s tels que

ypt ⁿ ¹ q ypt ⁿ q hy ^p ¹ ^q pt ⁿ q h ²

2! y ^p ² ^q pt ⁿ q h ³

3! y ^p ³ ^q pη ₁ ⁿ q (5.5) et

y p t ⁿ ¹ q y p t ⁿ q hy ^p ¹ ^q p t ⁿ q h ²

2! y ^p ² ^q p t ⁿ q h ³

3! y ^p ² ^q p η ₂ ⁿ q (5.6) En soustrayant (5.6) à (5.5), on obtient

y p t ⁿ ¹ q y p t ⁿ ¹ q 2hy ^p ¹ ^q p t ⁿ q h ³

6 p y ^p ³ ^q p η ⁿ ₁ q y ^p ³ ^q p η ₂ ⁿ qq d'où

y ^p ¹ ^q p t ⁿ q y p t ⁿ ¹ q y p t ⁿ ¹ q

2h h ²

12 p y ^p ³ ^q p η ⁿ ₁ q y ^p ³ ^q p η ₂ ⁿ qq . 2. Comme η ₁ ⁿ P r t ⁿ , t ⁿ ¹ s r t ⁿ ¹ , t ⁿ ¹ s , on en déduit que

| y ^p ³ ^q p η ₁ ⁿ q| ¤ max

t Pr t

ⁿ¹

,t

ⁿ ¹

s | y ^p ³ ^q p t q| . De même, comme η ⁿ ₂ P r t ⁿ ¹ , t ⁿ s r t ⁿ ¹ , t ⁿ ¹ s on a

| y ^p ³ ^q p η ₂ ⁿ q| ¤ max

t Pr t

ⁿ¹

,t

ⁿ ¹

s | y ^p ³ ^q p t q| .

(29)

5 EXERCICES CORRIGÉS

♦ Exercice 2

On veut résoudre numériquement le problème p P q suivant : trouver y telle que

p P q

"

y ¹ p t q cos p t q 1, @ t P r 0, 4π s y p 0 q 0.

dont la solution exacte est y p t q sin p t q t.

On rappelle le schéma d'Euler progressif pour la résolution d'un problème de Cauchy

p S q

"

y ^r ⁿ ¹ ^s y ^r ⁿ ^s hf pt ⁿ , y ^r ⁿ ^s q, y ^r ⁰ ^s donné.

Q. 1 Expliquer en détail comment utiliser le schéma d'Euler progressif pour résoudre le problème p P q en précisant entre autres les données, les inconnues, les dimensions des variables, lien entre y ^r ⁿ ^s et la fonction y, ...

Q. 2 (algorithmique) Soit a, b, a b deux réels. Ecrire une fonction Dis- Reg retournant une discrétisation de l'intervalle r a; b s avec N pas (constant)

de discrétisation.

Q. 3 (algorithmique) Ecrire une fonction REDEP retournant l'ensemble des couples p t ⁿ , y ^r ⁿ ^s q calculés par le schéma d'Euler progressif.

Q. 4 (algorithmique) Ecrire un algorithme complet de résolution de p P q

par le schéma d'Euler progressif.

Correction

Q. 1 On commence par écrire le problème de cauchy associé à p P q : p PC q

"

y ¹ p t q f p t, y p t qq , @ t P r t ⁰ , t ⁰ T s

y p t ⁰ q y 0 P R .

avec t ⁰ 0, T 4π, y ₀ 0 et

f : r t ⁰ , t ⁰ T s R ÝÑ R

p t, z q ÞÝÑ cos p t q 1 .

Les données du problème de Cauchy sont donc les réels t ⁰ , T, y 0 et la fonction f. L'inconnue est la fonction y : r t ⁰ , t ⁰ T s ÝÑ R .

Pour résoudre numériquement le problème de Cauchy, on utilise le schéma

p S q où les données sont celles du problème de Cauchy plus le nombre de

discrétisations N P N On peux alors calculer

(30)

5 EXERCICES CORRIGÉS

t ⁿ , n P v 0, N w qui sont les points de la discrétisation régulière à N intervalles :

t ⁿ t ⁰ nh, @n P v0, N w, avec h T N .

y ^r ⁿ ^s , n P v0, N w déterminés par le schéma p S q. On a y ^r ⁰ ^s y ⁰ , puis on calcule

y ^r ⁿ ¹ ^s y ^r ⁿ ^s hf p t ⁿ , y ^r ⁿ ^s q , pour i 0 à N 1

Q. 2 Une discrétisation régulière de l'intervalle r a, b s avec N pas (constant) de discrétisation est donnée par

t ⁿ a nh, @ n P v 0, N w , avec h b a N .

Algorithme 1 Fonction DisReg retournant une discrétisation régulière de l'intervalle ra, bs

Données : a, b : deux réels, a b

N : un entier non nul (nombre de pas de discrétisation).

Résultat : ttt : vecteur de R ^N ¹

1: Fonction ttt Ð DisReg( a, b, N )

2: h Ð p b a q{ N

3: Pour n Ð 0 à N faire

4: ttt p n 1 q Ð a n h

5: Fin Pour

6: Fin Fonction

Q. 3 L'algorithme de la fonction REDEP est :

(31)

5 EXERCICES CORRIGÉS

Algorithme 2 Fonction REDEP : résolution d'un problème de Cauchy scalaire par le schéma d'Euler progressif

Données : f : f : r t ⁰ , t ⁰ T s R ÝÑ R fonction d'un problème de Cauchy (scalaire)

t ⁰ : réel, temps initial T : réel ¡ 0

y ⁰ : réel, donnée initiale

N : un entier non nul (nombre de pas de discrétisation).

Résultat : ttt : vecteur de R ^N ¹ , ttt p n q t ⁿ ¹ , @ n P v 1, N 1 w Y Y Y : vecteur de R ^N ¹ , Y Y Y p n q y ^r ⁿ ¹ ^s , @ n P v 1, N 1 w

1: Fonction r ttt, Y Y Y s Ð REDEP( f, t ⁰ , T, y ⁰ , N )

2: ttt Ð DisRegp t ⁰ , t ⁰ T, N q

3: h Ð pb aq{N

4: Y Y Y p 1 q Ð y ⁰

5: Pour n Ð 1 à N faire

6: Y Y Y pn 1q Ð Y Y Y pnq h f ptttpnq, Y Y Y pnqq

7: Fin Pour

8: Fin Fonction

Q. 4 Il faut tout d'abord écrire la fonction fCauchy correspondant à la fonction f :

Algorithme 3 Fonction fCauchy : fonction f du problème de Cauchy associé à p P q

Introduction à la résolution des E.D.O.