Méthodes numériques II (cours 1 et 2)

(1)

Méthodes numériques II (cours 1 et 2)

François Cuvelier

Laboratoire d'Analyse Géométrie et Applications Institut Galilée

Université Paris XIII.

2016/01/31

(2)

Part III

Résolution numérique des E.D.O.

2016/01/31 2 / 67

(3)

1

Exemples d'E.D.O.

2

Dénitions et résultats

3

Problème de Cauchy

4

Diérences nies m “ 1

5

Diérences nies m ą 1

6

Méthodes à un pas

7

Méthodes à pas multiples

8

Méthodes de

prédiction-correction

9

Application

(4)

Plan

1

Exemples d'E.D.O.

Chimie : réaction BZ Météorologie : modèle de Lorentz (1963)

Mécanique : le pendule pesant

2

Dénitions et résultats

3

Problème de Cauchy

4

Diérences nies m “ 1

5

Diérences nies m ą 1

6

Méthodes à un pas

7

Méthodes à pas multiples

8

Méthodes de

prédiction-correction

9

Application

Exemples d'E.D.O. 2016/01/31 4 / 67

(5)

Réaction BZ (Belousov-Zhabotinsky)

(a)Boris Pavlovich Belousov 1893-1970, Chimiste et biophysicien russe

(b)Anatol Zhabotinsky 1938-2008, Chimiste russe

(c) Ilya Prigogine 1917-2003, Physicien et chimiste belge (origine russe). Prix Nobel de chimie en 1977

(6)

Modèle du Brusselator (1970)

Une solution de bromate de potassium et d'acide sulfurique mélangée à une solution d'acide manolique et de bromure de sodium peut entrainer, sous certaines conditions, une oscillation de la couleur de la solution mélange du rouge au bleue avec une période de 7 secondes.

Le modéle associé est nommé modèle du brusselator. Sous certaines hypothèses, le modèle simplié peut s'écrire :

"

X

¹

ptq “ 1 ` α X

²

ptqY ptq ´ pβ ` 1qX ptq

Y

¹

ptq “ ´α X

²

ptqY ptq ` β X ptq (1)

Exemples d'E.D.O. Chimie : réaction BZ 2016/01/31 6 / 67

(7)

Modèle du Brusselator

Avec α “ 1 , β “ 3 . 5 et les C.I. X p0q “ 3 et Y p0q “ 2 :

0 10 20 30 40 50 60

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

t

Brusselator simplifie − Concentrations X(t)

Y(t)

(8)

Modèle du Bruxelator

Avec α “ 1 , β “ 3 . 5 et les C.I. X p0q “ 3 et Y p0q “ 2 :

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

X(t)

Y(t)

Brusselator simplifie

X(0) Y(0)

Exemples d'E.D.O. Chimie : réaction BZ 2016/01/31 8 / 67

(9)

Modèle du Brusselator

Avec α “ 1 , β “ 3 . 5 et les C.I. X p0q “ 3 et Y p0q “ 2 :

0 1 2 3 4 5 6 7 8

X(t)

Y(t)

Brusselator simplifie

(10)

Modèle de Lorentz

(a)Edward Norton Lorenz 1917-2008, Mathématicien et météorologiste

américain

Le couplage Océan-Atmosphère est décrit par un système d'E.D.P. cou- plées de Navier-Stokes de la mé- canique des uides.

Le modèle de Lorentz est une ver- sion très simpliée de ces équations pour l'étude du phénomène de convec- tion de Rayleigh-Bénard :

$

&

%

x

¹

ptq “ ´σx ptq ` σy ptq

y

¹

ptq “ ´x ptqy ptq ` ρ x ptq ´ y ptq z

¹

ptq “ x ptqy ptq ´ β zptq

‚ x ptq : proportionnel à l'intensité du mouvement de convection,

‚ y ptq : proportionnel à la diérence de température entre les courants ascendants et descendants,

‚ zptq :proportionnel à une variation de température

Exemples d'E.D.O. Météorologie : modèle de Lorentz (1963) 2016/01/31 10 / 67

(11)

Modèle de Lorentz

Avec σ “ 10 , ρ “ 28 , β “ 8{3 et les données initiales

x p0q “ ´8 , y p0q “ 8 , z p0q “ 27 (courbe bleue) et des données initiales perturbées x p0q “ ´8 ` 1e ´ 4, y p0q “ 8, z p0q “ 27 (courbe rouge)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

−20

−15

−10

−5 0 5 10 15 20

x(t)

t Modele de Lorentz

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

−30

−20

−10 0 10 20 30

y(t)

t

0 10 20 30 40 50

z(t)

(12)

Modèle de Lorentz : papillon

En représentant la courbe paramétré px ptq, y ptq, zptqq dans l'espace, on obtient l'attracteur étrange de Lorenz en forme d'aile de papillon

−20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20

−50 0

50

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

y(t) x(t)

Modele de Lorentz

z(t)

Exemples d'E.D.O. Météorologie : modèle de Lorentz (1963) 2016/01/31 12 / 67

(13)

Pendule pesant sans viscosité

Le pendule pesant : objet pesant accroché à une tige de masse négligeable, l'autre extrémité de la tige est l'axe de rotation du pendule.

θ

²

ptq ` g

L sinpθptqq “ 0. (2)

où θptq est l'angle que fait, à l'instant t , le pendule par rapport à l'axe vertical, L la longueur de la tige.

θ

L

M

(14)

Pendule pesant sans viscosité

Avec

^g_L

“ 3 et les C.I. θ

₀

“

⁵₆^π

, θ

¹₀

“ 0 :

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

−3

−2

−1 0 1 2 3

t

θ(t)

Pendule pesant − valeur angulaire

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

−4

−2 0 2 4

t

θ’(t)

Pendule pesant − vitesse angulaire

Exemples d'E.D.O. Mécanique : le pendule pesant 2016/01/31 14 / 67

(15)

Pendule pesant sans viscosité

Avec

^g_L

“ 3 et les C.I. θ

₀

“

⁵₆^π

, θ

¹₀

“ 0 :

−3 −2 −1 0 1 2 3

−4

−3

−2

−1 0 1 2 3 4

θ(t)

θ’(t)

Pendule pesant

(16)

Pendule pesant sans viscosité

Avec

^g_L

“ 3 :

0 5 10 15 20

−8

−6

−4

−2 0 2 4 6 8

A B C

θ

θ’

Représentation des courbes paramétrées (θ(t),θ’(t))

Exemples d'E.D.O. Mécanique : le pendule pesant 2016/01/31 16 / 67

(17)

Plan

1

Exemples d'E.D.O.

2

Dénitions et résultats

3

Problème de Cauchy

4

Diérences nies m “ 1

5

Diérences nies m ą 1

6

Méthodes à un pas

7

Méthodes à pas multiples

8

Méthodes de

prédiction-correction

9

Application

(18)

Soit yyy : I Ă R ÝÑ R

^m

de classe

C

^p

(continûment dérivable d'ordre p). On note yyy

^p^p^q

la dérivée d'ordre p de yyy .

Denition 2.1

On appelle équation diérentielle ordinaire (E.D.O.) d'ordre p une équation de la forme :

Fpt,yyyptq,yyy^p¹^qptq,yyy^p²^qptq, . . . ,yyy^p^p^qptqq “0.

Denition 2.2

On appelle forme canonique d'une E.D.O. une expression du type :

yyy^p^p^qptq “GGGpt,yyyptq,yyy^p¹^qptq,yyy^p²^qptq, . . . ,yyy^p^p^´¹^qptqq. (3) Proposition 2.3

Toute équation diérentielle d'ordre p sous forme canonique peut s'écrire comme un système de p équations diérentielles d'ordre 1.

Dénitions et résultats 2016/01/31 18 / 67

(19)

Plan

1

Exemples d'E.D.O.

2

Dénitions et résultats

3

Problème de Cauchy

4

Diérences nies m “ 1

5

Diérences nies m ą 1

6

Méthodes à un pas

7

Méthodes à pas multiples

8

Méthodes de

prédiction-correction

9

Application

(20)

Denition 3.1: problème de Cauchy Soit fff l'application continue dénie par

fff : rt

⁰

, t

⁰

` T s ˆ R

^m

ÝÑ R

^m

pt , yyy q ÞÝÑ fff pt , yyy q

avec T Ps0, `8s. Le problème de Cauchy revient à chercher une fonction yyy dénie par

yyy : rt

⁰

, t

⁰

` T s ÝÑ R

^m

t ÞÝÑ yyy ptq

¨

˚

˝ y

₁

ptq y

_m

... ptq

˛

‹

‚

continue et dérivable, telle que

yyy

¹

ptq “ fff pt , yyy ptqq, @t P r0 , 100s (4)

yyy p0q “ yyy

^r⁰^s

P R

³

. (5)

Problème de Cauchy 2016/01/31 20 / 67

(21)

p C q

"

yyy

¹

ptq “ fff pt, yyy ptqq, @t P rt

⁰

, t

⁰

` T s yyy pt

⁰

q “ yyy

^r⁰^s

P R

^m

.

Exercise 3.1

Quelles sont les données du problème de Cauchy?

‚ t

⁰

P R , T P R

^`˚

, m P N

^˚

‚ la fonction fff

‚ le vecteur yyy

^r⁰^s

P R

^m

(22)

p C q

"

yyy

¹

ptq “ fff pt, yyy ptqq, @t P rt

⁰

, t

⁰

` T s yyy pt

⁰

q “ yyy

^r⁰^s

P R

^m

.

Exercise 3.2

Quelles sont les données du problème de Cauchy?

‚ t

⁰

P R , T P R

^`˚

, m P N

^˚

‚ la fonction fff

‚ le vecteur yyy

^r⁰^s

P R

^m

(23)

TD

Exercise 3.3

Pour chacune des E.D.O. suivantes écrire le problème de Cauchy associé paq

"

x²ptq `αx¹ptq `βcospxptqq “sinptq, tPs0,2πs xp0q “0, x¹p0q “1.

pbq

$

&

%

LCv²ptq ` ˆL

R2`R1C

˙ v¹ptq `

ˆR1

R2`1

˙

vptq “e, t Ps0,100s vp0q “0, v¹p0q “0.

pcq

"

x²ptq “µp1´x²ptqqx¹ptq ´xptq, tPs0,10s xp0q “1, x¹p0q “1.

pdq

# y^p3qptq ´cosptqy^p2qptq `2 sinptqy^p1qptq ´yptq “0, tPs0,Ts yp0q “u0, y^p¹^qp0q “v0, y^p²^qp0q “w0.

(24)

Exercise 3.4

Déterminer le problème de Cauchy associé au modèle du Brusselator simplié :

pBq

"

X¹ptq “ 1`αX²ptqYptq ´ pβ`1qXptq Y¹ptq “ ´αX²ptqYptq `βXptq avec C.I. Xp0q “X0et Yp0q “Y0.

Exercise 3.5

Déterminer le problème de Cauchy associé au modèle du pendule pesant sim- plié :

pPq θ^p²^qptq `g

Lsinpθptqq “0. avec C.I.θp0q “θ₀etθ¹p0q “θ₀¹.

(25)

‚ Problème de Cauchy linéaire :

"

y

¹

ptq “ 3yptq ´ 3t , si t ą 0 y p0q “ 1

On a f pt , v q “ 3v ´ 3t et une solution yptq “ p1 ´ 1{3qe

^3t

` t ` 1{3 .

‚ Problème non-linéaire :

"

y

¹

ptq “ a

³

y ptq, si t ą 0 y p0q “ 0

On a f pt, v q “ ?

³

v et trois solutions y ptq “ 0, y ptq “ a

8t

³

{27 et y ptq “ ´ a

8t

³

{27 .

(26)

‚ Problème de Cauchy linéaire :

"

y

¹

ptq “ 3yptq ´ 3t , si t ą 0 y p0q “ 1

On a f pt , v q “ 3v ´ 3t et une solution yptq “ p1 ´ 1{3qe

^3t

` t ` 1{3 .

‚ Problème non-linéaire :

"

y

¹

ptq “ a

³

y ptq, si t ą 0 y p0q “ 0

On a f pt , v q “ ?

³

v et trois solutions y ptq “ 0 , y ptq “ a

8t

³

{27 et y ptq “ ´ a

8t

³

{27 .

(27)

pPCq

"

yyy

¹

ptq “ fff pt , yyy ptqq yyy pt

⁰

q “ yyy

0

P R

^m

.

avec fff : U ÝÑ R

^m

, U un ouvert de R ˆ R

^m

et pt

⁰

, yyy

^r⁰^s

q P U.

Theorem 1: Cauchy-Lipschitz

On suppose que la fonction fff est continue sur U et quelle est localement lipschitzienne en yyy : @pt,yyyq PU,DW voisinage ttt,DV voisinage yyy,DLą0 tels que @sPW, @puuu,vvvq PV², }fffps,uuuq ´fffps,vvvq} ďL}uuu´vvv} (6)

Sous ces hypothèses le problème de CauchypPCqadmet une unique solution.

Proposition 3.2 Si Bfff

Byyypt,yyyqest continue et bornée, alors fff satisfait (6).

(28)

Plan

1

Exemples d'E.D.O.

2

Dénitions et résultats

3

Problème de Cauchy

4

Diérences nies m “ 1

5

Diérences nies m ą 1

6

Méthodes à un pas

7

Méthodes à pas multiples

8

Méthodes de

prédiction-correction

9

Application

Diérences nies m“1 2016/01/31 26 / 67

(29)

On veut résoudre le problème de Cauchy : p PC q

"

y

¹

ptq “ f pt , y ptqq, @t P rt

⁰

, t

⁰

` T s y pt

⁰

q “ y

₀

P R .

D'après la formule de Taylor-Lagrange :

y pt

ⁿ

` hq “ y pt

ⁿ

q ` hy

¹

pt

ⁿ

q ` Oph

²

q

La méthode d'Euler progressive est alors donnée par le schéma

"

y

^rⁿ^`¹^s

“ y

^rⁿ^s

` hf pt

ⁿ

, y

^rⁿ^s

q, @n P v0 , N ´ 1w

y

^r⁰^s

“ y pt

⁰

q (7)

Ce schéma est explicite, car il permet le calcul direct de y

^rⁿ^`¹^s

en fonction

de y

^rⁿ^s

.

(30)

On veut résoudre le problème de Cauchy : p PC q

"

y

¹

ptq “ f pt , y ptqq, @t P rt

⁰

, t

⁰

` T s y pt

⁰

q “ y

₀

P R .

D'après la formule de Taylor-Lagrange :

y pt

ⁿ^`¹

´ hq “ y pt

ⁿ^`¹

q ´ hy

¹

pt

ⁿ^`¹

q ` Oph

²

q La méthode d'Euler régressive est donnée par le schéma

"

y

^rⁿ^`¹^s

“ y

^rⁿ^s

` hf pt

ⁿ^`¹

, y

^rⁿ^`¹^s

q, @n P v0 , N ´ 1w

y

^r⁰^s

“ y pt

⁰

q (8)

Ce schéma est implicite, car y

^rⁿ^`¹^s

est dénit implicitement en fonction de y

^rⁿ^s

. Il faut donc résoudre à chaque pas de temps une équation non-linéaire en utilisant des méthodes de point xe par exemple.

Diérences nies m“1 2016/01/31 28 / 67

(31)

TD

Exercise 4.1

On veut résoudre numériquement le problèmepPqsuivant : trouver y telle que

pPq

"

y¹ptq “ cosptq `1, @tP r0,4πs yp0q “ 0.

dont la solution exacte est yptq “sinptq `t.

On rappelle le schéma d'Euler progressif pour la résolution d'un problème de Cauchy

pSq

"y^pn`1q “ y^pnq`hfptⁿ,y^pnqq,

y^p0q donné.

Q.1 Expliquer en détail comment utiliser le schéma d'Euler progressif pour résoudre le problèmepPqen précisant entre autres les données, les inconnues, les dimensions des variables, lien entre y^pnqet la fonction y,...

Q.2 Soit a,b,aăb deux réels. Ecrire une fonctionDisReg retournant une discrétisation de l'intervallera;bsavec N pas (constant) de discrétisation.

Q.3 Ecrire une fonctionREDEP retournant l'ensemble des couplesptⁿ,y^pnqqcalculés par le schéma d'Euler progressif.

Q.4 Ecrire un algorithme complet de résolution depPqpar le schéma d'Euler progressif.

(32)

Exemple

Soit l'E.D.O. suivante

"

y

¹

ptq “ y ptq ` t

²

y

²

ptq, pour t P r0 , 5s, y p0q “ ´1

de solution exacte y ptq “ 1{pe

^´^t

´ t

²

` 2t ´ 2q.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

−2

−1.8

−1.6

−1.4

−1.2

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2 0

t

y’(t)=y(t)+t² y²(t) avec y(0)=−1 et N=10

exacte Euler Progressive Euler Regressive

Diérences nies m“1 2016/01/31 30 / 67

(33)

Exemple

Soit l'E.D.O. suivante

"

y

¹

ptq “ y ptq ` t

²

y

²

ptq, pour t P r0 , 5s, y p0q “ ´1

de solution exacte y ptq “ 1{pe

^´^t

´ t

²

` 2t ´ 2q.

−1.6

−1.4

−1.2

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2 0

y’(t)=y(t)+t² y²(t) avec y(0)=−1 et N=50

exacte Euler Progressive Euler Regressive

(34)

Plan

1

Exemples d'E.D.O.

2

Dénitions et résultats

3

Problème de Cauchy

4

Diérences nies m “ 1

5

Diérences nies m ą 1

6

Méthodes à un pas

7

Méthodes à pas multiples

8

Méthodes de

prédiction-correction

9

Application

Diérences nies mą1 2016/01/31 32 / 67

(35)

On veut résoudre le problème de Cauchy : pPCq

"

yyy

¹

ptq “ fff pt , yyy ptqq, @t P rt

⁰

, t

⁰

` T s yyy pt

⁰

q “ yyy

0

P R

^m

.

La méthode d'Euler progressive est donnée par le schéma

"

yyy

^rⁿ^`¹^s

“ yyy

^rⁿ^s

` hfff pt

ⁿ

, yyy

^rⁿ^s

q, @n P v0 , N ´ 1w

yyy

^r⁰^s

“ yyy pt

⁰

q (9)

Ce schéma est explicite, car il permet le calcul direct de yyy

^rⁿ^`¹^s

en fonction

de yyy

^rⁿ^s

.

(36)

On veut résoudre le problème de Cauchy : pPCq

"

yyy

¹

ptq “ fff pt , yyy ptqq, @t P rt

⁰

, t

⁰

` T s yyy pt

⁰

q “ yyy

0

P R

^m

.

La méthode d'Euler régressive est donnée par le schéma

"

yyy

^rⁿ^`¹^s

“ yyy

^rⁿ^s

` hfff pt

ⁿ^`¹

, yyy

^rⁿ^`¹^s

q, @n P v0 , N ´ 1w

yyy

^r⁰^s

“ yyy pt

⁰

q (10)

Ce schéma est implicite, car yyy

^rⁿ^`¹^s

est dénit implicitement en fonction de yyy

^rⁿ^s

.

Diérences nies mą1 2016/01/31 34 / 67

(37)

Plan

1

Exemples d'E.D.O.

2

Dénitions et résultats

3

Problème de Cauchy

4

Diérences nies m “ 1

5

Diérences nies m ą 1

6

Méthodes à un pas

Méthodes de Runge-Kutta

7

Méthodes à pas multiples

8

Méthodes de

prédiction-correction

9

Application

(38)

Soit yyy la solution d'un problème de Cauchy et pt

ⁿ

q

^N_n_“₀

la discrétisation régulière de l'intervalle rt

⁰

, t

⁰

` T s.

Denition 6.1: Méthodes à un pas

Les méthodes à un pas utilisent la formule générale:

yyy

^rn`1s

“ yyy

^rns

` h Φ Φ Φpt

ⁿ

, yyy

^rns

, hq (11) Le schéma (11) converge sur l'intervalle rt

⁰

, t

⁰

`T s si, pour la suite des yyy

^rns

calculés, l'écart maximum avec la solution exacte diminue quand le pas h diminue:

h“

lim

^T_NÑ0

max

nPt0,...,Nu

›

› ›yyy

^rⁿ^s

´ yyy pt

ⁿ

q

›

› “ 0

Pour la méthode d'Euler progressif Φ Φ Φpt , yyy , hq “ fff pt , yyy q.

Méthodes à un pas 2016/01/31 36 / 67

(39)

Denition 6.2: Consistance

Le schéma de calcul (11) est consistant avec le problème de Cauchy (4)-(5) si

h“

lim

^T_NÑ0

max

n

›

yyy pt

ⁿ^`¹

q ´ yyy pt

ⁿ

q

h ´ Φ Φ Φpt

ⁿ

, yyy pt

ⁿ

q, hq

›

› “ 0

Cela signie que le schéma doit être une approximation vraisemblable, bien construite.

Theorem 2

Le schéma (11) est consistant avec le problème de Cauchy (4)-(5) si

Φpt , yyy , 0q “ f pt , yyy q.

(40)

Denition 6.3: Stabilité

La méthode est stable si une petite perturbation sur yyy

^r⁰^s

ou Φ Φ Φ n'entraîne qu'une petite perturbation sur la solution approchée, et cela quel que soit le pas h.

Theorem 3

Si Φ Φ Φpt,yyy , hq vérie la condition de Lipschitz en yyy alors la méthode est stable.

Theorem 4

Si la méthode est stable et consistante, alors elle converge pour n'importe quelle valeur initiale.

Méthodes à un pas 2016/01/31 38 / 67

(41)

Denition 6.4: Ordre d'un schéma

Le schéma (11) est d'ordre p si la solution yyy du problème de Cauchy (4)-(5) vérie

max

n

›

yyypt

ⁿ^`¹

q ´ yyy pt

ⁿ

q

h ´ Φ Φ Φpt

ⁿ

, yyy pt

ⁿ

q, hq

›

› “ Oph

^p

q

Lemma 6.5

Soient yyy la solution du problème de Cauchy (4)-(5). et pyyy

^rⁿ^s

q

_n_Pv₀_,_N_w

donnés par un schéma à un pas (11) d'ordre p avec yyy

^r0s

“ yyy pt

⁰

q. On a alors

nPv

max

0,Nw

›

› ›yyy pt

ⁿ

q ´ yyy

^rns

›

› “ Oph

^p

q (12)

(42)

Proposition 6.6

Le schéma d'Euler progressif est une méthode à un pas d'ordre 1 . y

¹

ptq “ cosptq ` 1 , t P r0 , 4 πs avec yp0q “ 0 psol . ex . y ptq “ sinptq ` tq

0 2 4 6 8 10 12 14

t 0

0.2 0.4 0.6 0.8

Error

Erreur avech= 2/(20×T), N=20

0 2 4 6 8 10 12 14

t 0

0.02 0.04 0.06 0.08

Error

Erreur avech= 2/(200×T), N=200

Figure : Méthode d'Euler progressive : vérication numérique de l'ordre

Méthodes à un pas 2016/01/31 40 / 67

(43)

Proposition 6.6

Le schéma d'Euler progressif est une méthode à un pas d'ordre 1 . y

¹

ptq “ cosptq ` 1 , t P r0 , 4 πs avec yp0q “ 0 psol . ex . y ptq “ sinptq ` tq

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14

h 0

0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14

E(h)

Figure : Méthode d'Euler progressive : vérication numérique de l'ordre

(44)

Méthodes de Runge-Kutta

(a)Carle Runge 1856-1927, mathématicien et physicien allemand

(b)Martin Wilhelm Kutta 1867-1944, Mathématicien allemand

(c)John C. Butcher 1933, Mathématicien appliqué néozélandais

L'idée fondamentale des méthodes de Runge-Kutta est d'intégrer l'équation yyy

¹

ptq “ fff pt , yyy ptqq sur rt

ⁿ

, t

^n`1

s et de calculer:

yyy pt

ⁿ^`¹

q “ yyypt

ⁿ

q ` ż

_t^n`1

tⁿ

fff pt , yyyptqqdt ,

en utilisant une formule d'intégration numérique à q points intermédiaires pour évaluer l'intégrale.

Méthodes à un pas Méthodes de Runge-Kutta 2016/01/31 41 / 67

(45)

Méthodes de Runge-Kutta

Ce sont des méthodes à un pas :

yyy

^rⁿ^`¹^s

“ yyy

^rⁿ^s

` h Φ Φ Φpt

ⁿ

, yyy

^rⁿ^s

, hq avec

Φ Φ Φpt , yyy , hq “ ÿ

q

i“1

c

i

kkk

^rⁱ^s

pt , yyy , hq et

kkk

^rⁱ^s

pt , yyy , hq “ fff

˜

t ` ha

i

, y ` h ÿ

q

j“1

b

i,j

kkk

^r^j^s

pt , yyy , hq

¸

, 1 ď i ď q que l'on peut représenter sous la forme d'un tableau dit tableau de Butcher :

aaa B

ccc

^t

(13)

avec B “ pb

_i,j

q

_i_,_j_Pv₁_,_q_w

P M q , qpRq, aaa “ pa

_i

q

_i_Pv₁_,_q_w

P R

^q

et

ccc “ pc

^q

(46)

Proposition 6.7: (admis)

1 Les méthodes de Runge-Kutta explicites sont stables si fff est contractante en yyy.

2 Une méthode de Runge-Kutta est d'ordre 0 si ai“

q

ÿ

j“1

bij.

3 Une méthode de Runge-Kutta est d'ordre 1 (et donc consistante) si elle est

d'ordre 0 et si _q

ÿ

i“1

ci “1.

4 Une méthode de Runge-Kutta est d'ordre 2 si elle est d'ordre 1 et si ÿq

i“1

c_ia_i “1{2.

5 Une méthode de Runge-Kutta est explicite si la matriceBest triangulaire inférieure à diagonale nulle :

@pi,jq P v1,qw, jěi, bij “0.

(47)

Runge-Kutta d'ordre 2

0 0 0

21α 1

2α

0 1 ´ α α

(14)

Φ Φ Φpt,yyy , hq “ p1 ´ αqfff pt,yyy q ` αfff pt ` h

2 α ,yyy ` h

2 α fff pt, yyy qq

‚ α “

¹₂

, méthode de Heun : yyy

^rn`1s

“ yyy

^rns

` h

2 fff pt

ⁿ

, yyy

^rns

q ` h 2 fff ´

t

^n`1

, yyy

^rns

` hfff pt

ⁿ

, yyy

^rns

q

¯ .

‚ α “ 1 , méthode d'Euler modiée ou méthode du point milieu:

yyy

^rⁿ^`¹^s

“ yyy

^rⁿ^s

` hfff ˆ

t

ⁿ

` h

2 , yyy

^rⁿ^s

` h

2 fff pt

ⁿ

, yyy

^rⁿ^s

q

˙

.

(48)

Exercise 6.1

la méthode de Heun est donnée par yyy

^rn`1s

“ yyy

^rns

` h

2 fff pt

ⁿ

, yyy

^rns

q ` h 2 fff ´

t

^n`1

, yyy

^rns

` hfff pt

ⁿ

, yyy

^rns

q

¯ . Q.1 Ecrire la fonction algorithmique

REDHeunVec

permettant de résoudre un problème de Cauchy (vectoriel par la méthode de Heun en utilisant au plus 2N évaluation de fff .

Q.2 Ecrire un programme algorithmique permettant de retrouver numériquement l'ordre de cette méthode.

(49)

Application

y

¹

ptq “ cosptq ` 1 , t P r0 , 4 πs avec yp0q “ 0 psol . ex . y ptq “ sinptq ` tq

1e-2 1e-1 1e+0

1e-6 1e-5 1e-4 1e-3 1e-2 1e-1 1e+0

h

E(h)

Euler (ordre 1.000) Heun (ordre 1.999) O(h) O(h^2)

Figure : Méthode dde Heun : vérication numérique de l'ordre

(50)

Runge-Kutta d'ordre 4

La méthode explicite la plus utilisée est donnée par le tableau de Buchler suivant

0 0 0 0 0

1{2 1{2 0 0 0

1{2 0 1{2 0 0

1 0 0 1 0

1{6 2{6 2{6 1{6

(15)

Ce qui donne le schéma explicite de Runge-Kutta d'ordre 4 : kkk

^r₁ⁿ^s

“ fff pt

ⁿ

, yyy

^rns

q

kkk

^rns₂

“ fff pt

ⁿ

`

^h₂

, yyy

^rⁿ^s

`

^h₂

kkk

^rns₁

q kkk

^r₃ⁿ^s

“ fff pt

ⁿ

`

^h₂

, yyy

^rⁿ^s

`

^h₂

kkk

^r₂ⁿ^s

q kkk

^r₄ⁿ^s

“ fff pt

ⁿ

` h,yyy

^rⁿ^s

` hkkk

^r₃ⁿ^s

q

yyy

^rⁿ^`¹^s

“ yyy

^rⁿ^s

`

^h₆

pkkk

^r₁ⁿ^s

` 2kkk

^r₂ⁿ^s

` 2kkk

^r₃ⁿ^s

` kkk

^r₄ⁿ^s

q.

(16)

(51)

TD

Exercise 6.2

la méthode de Runge-Kutta d'ordre 4 est donnée par kkk^r₁ⁿ^s “ fffptⁿ,yyy^rnsq

kkk^r₂ⁿ^s “ fffptⁿ`^h₂,yyy^rns` ^h₂kkk^r₁ⁿ^sq kkk^rns₃ “ fffptⁿ`^h₂,yyy^rns` ^h₂kkk^rns₂ q kkk^rns₄ “ fffptⁿ`h,yyy^rns`hkkk^rns₃ q

yyy^rn`1s “ yyy^rns`^h₆pkkk^r₁ⁿ^s`2kkk^r₂ⁿ^s`2kkk^r₃ⁿ^s`kkk^r₄ⁿ^sq.

Q.1 Ecrire la fonction algorithmiqueREDRK4Vec permettant de résoudre un problème de Cauchy (vectoriel par la méthode de Runge-Kutta d'ordre 4.

Q.2 Ecrire un programme algorithmique permettant de retrouver numérique- ment l'ordre de cette méthode.

(52)

y

¹

ptq “ cosptq ` 1 , t P r0 , 4 πs avec yp0q “ 0 psol . ex . y ptq “ sinptq ` tq

1e-2 1e-1 1e+0

1e-12 1e-11 1e-10 1e-9 1e-8 1e-7 1e-6 1e-5 1e-4 1e-3 1e-2

h

E(h)

Heun (ordre 1.999) RK4 (ordre 3.998) O(h^2) O(h^3) O(h^4)

Figure : Méthode RK4 : vérication numérique de l'ordre

mais en prenant des h de plus en plus petits ...

(53)

y

¹

ptq “ cosptq ` 1, t P r0, 4πs avec yp0q “ 0 psol .ex .y ptq “ sinptq ` tq

1e-3 1e-2 1e-1

1e-14 1e-13 1e-12 1e-11 1e-10 1e-9 1e-8 1e-7 1e-6 1e-5 1e-4 1e-3

h

E(h)

Heun (ordre 2.000) RK4 (ordre 2.908) O(h^2) O(h^3) O(h^4)

Figure : Méthode RK4 progressive : vérication numérique de l'ordre

(54)

Plan

1

Exemples d'E.D.O.

2

Dénitions et résultats

3

Problème de Cauchy

4

Diérences nies m “ 1

5

Diérences nies m ą 1

6

Méthodes à un pas

7

Méthodes à pas multiples Résultats théoriques

Méthodes d'Adams-Bashforth Méthodes d'Adams-Moulton

8

Méthodes de

prédiction-correction

9

Application

Méthodes à pas multiples 2016/01/31 50 / 67

(55)

Exemple d'une méthode à deux pas :

yyy

^rⁿ^`¹^s

“ yyy

^rⁿ^´¹^s

` 2hfff pt

ⁿ

, yyy

^rⁿ^s

q. (17) Cette méthode est d'ordre 2 .

Denition 7.1: Méthodes à pas multiples

Les méthodes à pas multiples s'écrivent sous la forme générale:

ÿ

k

i“0

α

_i

yyy

^rⁿ^`ⁱ^s

“ h ÿ

^k

i“0

β

_i

fff pt

ⁿ^`ⁱ

, yyy

^rⁿ^`ⁱ^s

q (18) où k est le nombre de pas, α

_k

‰ 0 et |α

₀

| ` |β

₀

| ą 0 .

Si β

_k

“ 0 le schéma est explicite, sinon il est implicite.

(56)

Denition 7.2: ordre

Soit yyy la solution d'un problème de Cauchy (4)-5 et yyy^rⁿ^`^k^s le terme obtenu par le schéma (18) en prenant yyy^rⁿ^`ⁱ^s“yyyptⁿ^`ⁱq,@iP v0,k´1w.Alors, l'erreur locale est

τpn`kq “›

›

›yyypt^n`kq ´yyy^rn`ks›

›

›8

.

Le schéma (18) est alors d'ordre p si

τpn`kq “Oph^p`1q.

Theorem 5: ordre schémas à pas multiples (admis)

Un schéma à pas multiples de type (18) est d'ordre p si et seulement si ÿk

i“0

α_i “ 0, ÿk

i“0

α_ii^q “ qÿ^k

i“0

β_ii^q^´¹, @qP v1,pw.

Méthodes à pas multiples Résultats théoriques 2016/01/31 52 / 67

(57)

Theorem 6: stabilité schémas à pas multiples (admis)

Soit une méthode à pas multiples donnée par (18). On note P le polynôme déni par Ppλq “ÿ^k

i“0

α_iλⁱ.

La méthode à pas multiples est stable, si

1 toutes les racines de P sont de module inférieur ou égal à 1,

2 une racine de module égal à 1 est une racine simple de P. Theorem 7: convergence (admis)

On suppose que les k valeurs initiales vérient,

›

››yyyptⁱq ´yyy^ris›

›

›ďC0h^p, @i P v0,k´1w.

Si le schéma (18) est stable et d'ordre p, alors il est convergent d'ordre p :

›

›yyyptⁿq ´yyy^rns›

›

›ďCh^p, @nP v0,Nw.

(58)

Exemples de schémas à pas multiples

John Couch Adams 1819-1892,

mathématicien et astronome britannique

Francis Bashforth 1819-1912,

mathématicien appliqué britannique

(a)Forest Ray Moulton 1872-1952,

mathématicien et astronome américain

‚ Méthodes explicites d'Adams-Bashforth

‚ Méthodes implicites d'Adams-Moulton

Méthodes à pas multiples Résultats théoriques 2016/01/31 54 / 67

(59)

Méthodes explicites d'Adams-Bashforth

On note en abrégé fff

^rⁿ^s

“ fff pt

ⁿ

, yyy

^rns

q. Voici trois schémas :

‚ Ordre 2 à 2 pas :

yyy

^rn`1s

“ yyy

^rns

` h 2

´ 3fff

^rⁿ^s

´ fff

^rⁿ^´¹^s

¯ .

‚ Ordre 3 à 3 pas :

yyy

^rⁿ^`¹^s

“ yyy

^rⁿ^s

` h 12

´ 23fff

^rⁿ^s

´ 16fff

^rⁿ^´¹^s

` 5fff

^rⁿ^´²^s

¯ .

‚ Ordre 4 à 4 pas : yyy

^rⁿ^`¹^s

“ yyy

^rⁿ^s

` h

24 ´ 55fff

^rⁿ^s

´ 59fff

^rⁿ^´¹^s

` 37fff

^rⁿ^´²^s

´ 9fff

^rⁿ^´³^s

¯

.

(60)

Exercise 7.1

La méthode de Adam-Bashforth d'ordre 4 explicite est donnée par yyy

^rn`1s

“ yyy

^rns

`

₂₄^h

´ 55fff

^rⁿ^s

´ 59fff

^rⁿ^´¹^s

` 37fff

^rⁿ^´²^s

´ 9fff

^rⁿ^´³^s

¯ . (19) avec fff

^rⁿ^s

“ fff pt

ⁿ

, yyy

^rⁿ^s

q.

Q.1 Ecrire la fonction algorithmique REDAB4Vec permettant de ré- soudre un problème de Cauchy (vectoriel) par cette méthode.

Méthodes à pas multiples Méthodes d'Adams-Bashforth 2016/01/31 56 / 67

(61)

Méthodes implicites d'Adams-Moulton

On note en abrégé fff

^rⁿ^s

“ fff pt

ⁿ

, yyy

^rns

q. Voici trois schémas :

‚ Ordre 2 à 1 pas :

yyy

^rn`1s

“ yyy

^rns

` h 2

´ fff

^rⁿ^`¹^s

` fff

^rⁿ^s

¯ .

‚ Ordre 3 à 2 pas :

yyy

^rⁿ^`¹^s

“ yyy

^rⁿ^s

` h 12

´ 5fff

^rⁿ^`¹^s

` 8fff

^rⁿ^s

´ fff

^rⁿ^´¹^s

¯ .

‚ Ordre 4 à 3 pas : yyy

^rⁿ^`¹^s

“ yyy

^rⁿ^s

` h

24 ´ 9fff

^rⁿ^`¹^s

` 19fff

^rⁿ^s

´ 5fff

^rⁿ^´¹^s

` fff

^rⁿ^´²^s

¯

.

(62)

Plan

1

Exemples d'E.D.O.

2

Dénitions et résultats

3

Problème de Cauchy

4

Diérences nies m “ 1

5

Diérences nies m ą 1

6

Méthodes à un pas

7

Méthodes à pas multiples

8

Méthodes de

prédiction-correction

9

Application

Méthodes de prédiction-correction 2016/01/31 58 / 67

(63)

Méthodes de prédiction-correction

Une méthode de prédiction-correction procède en deux étapes à chacune des itérations :

‚ Prédiction : on calcule une approximation de yyy pt

n`1

q notée yyy

^rⁿ^`¹^s

à l'aide du schéma explicite

‚ Correction : on utilise le schéma implicite dans lequel les fonctions fff

utilisant yyy

^rn`1s

sont remplacées par les fonctions fff utilisant yyy

^rⁿ^`¹^s

.

(64)

Exemple

Méthode d'Euler explicite pour prédicteur et méthode implicite des trapèzes comme correcteur.

Euler explicite : yyy

^rⁿ^`¹^s

“ yyy

^rⁿ^s

` hfff pt

ⁿ

, yyy

^rⁿ^s

q

Trapèze implicite : yyy

^rⁿ^`¹^s

“ yyy

^rⁿ^s

`

^h₂

pfff pt

ⁿ

, yyy

^rⁿ^s

q ` fff pt

ⁿ^`¹

, yyy

^rⁿ^`¹^s

qq

On obtient :

"

yyy

^rn`1s

“ yyy

^rⁿ^s

` hfff pt

ⁿ

, yyy

^rⁿ^s

q Prédiction yyy

^rⁿ^`¹^s

“ yyy

^rⁿ^s

`

^h₂

pfff pt

ⁿ^`¹

, yyy

^rⁿ^`¹^s

q ` fff pt

ⁿ

, yyy

^rⁿ^s

qq Correction

Méthodes de prédiction-correction 2016/01/31 60 / 67

(65)

TD

Exercise 8.1

On pose fff^rns “ fffptⁿ,yyy^rnsq. La méthode de Adams-Bashforth d'ordre 4 explicite est donnée par

yyy^rⁿ^`¹^s“yyy^rⁿ^s` h 24

´55fff^rns´59fff^rn´1s`37fff^rn´2s´9fff^rn´3s¯ et la méthode de Adams-Moulton d'ordre 4 implicite par

yyy^rn`1s“yyy^rns` h 24

´9fff^rn`1s`19fff^rns´5fff^rn´1s`fff^rn´2s¯ avec fff^rns“fffptⁿ,yyy^rnsq.

Q.1 Ecrire la fonction algorithmique REDPreCor4Vec permettant de résoudre un problème de Cauchy (vectoriel) par une méthode de prédiction- correction utilisant ces deux schémas. On minimisera le nombre d'appel à la fonction fff dans la boucle principale.

(66)

Plan

1

Exemples d'E.D.O.

2

Dénitions et résultats

3

Problème de Cauchy

4

Diérences nies m “ 1

5

Diérences nies m ą 1

6

Méthodes à un pas

7

Méthodes à pas multiples

8

Méthodes de

prédiction-correction

9

Application

Application 2016/01/31 62 / 67