Exercice2 2Dérivationnumérique Exercice1 1ProblèmesdeCauchy Travauxdirigés-E.D.O.

Energétique I Méthodes Numériques II

Sup'Galilée Année 2012-2013

Travaux dirigés - E.D.O.

1 Problèmes de Cauchy

Exercice 1

Pour chacune des E.D.O. suivantes écrire le problème de Cauchy associé p a q

"

y ² p t q αy ¹ p t q β cos p y p t qq sin p t q , t Ps 0, 2π s y p 0 q 0, y ¹ p 0 q 1.

p b q

$ &

%

LCv ² p t q L

R ₂ R 1 C

v ¹ p t q R 1

R ₂ 1

v p t q e, t Ps 0, 100 s v p 0 q 0, v ¹ p 0 q 0.

p c q

"

y ² p t q µ p 1 y ² p t qq y ¹ p t q y p t q , t Ps 0, 10 s y p 0 q 1, y ¹ p 0 q 1.

p d q

"

y ^{p 3 q} p t q cos p t q y ^{p 2 q} p t q 2 sin p t q y ^{p 1 q} p t q y p t q 0, t Ps 0, T s y p 0 q u 0 , y ^{p 1 q} p 0 q v 0 , y ^{p 2 q} p 0 q w 0 .

2 Dérivation numérique

Exercice 2

On note t ⁿ a nh, n P v 0, N w et h p b a q{ N une discrétisation régulière de r a, b s . Soit p Dy q n une approximation de y ¹ p t ⁿ q . On appelle

diérence nie progressive l'approximation

p Dy q ^P n y p t ^{n 1} q y p t ⁿ q

h , @ n P v 0, N 1 w (2.1)

diérence nie rétrograde l'approximation

p Dy q ^R n y p t ⁿ q y p t ^{n 1} q

h , @ n P v 1, N w (2.2)

diérence nie centrée l'approximation

p Dy q ^C n y p t ^{n 1} q y p t ^{n 1} q

2h , @ n P v 1, N 1 w (2.3)

Q. 1 Soit y P C ² pr a, b sq .

1. Montrer qu'il existe ξ _P P r t ⁿ , t ^{n 1} s et ξ _R P r t ^{n 1} , t ⁿ s tels que p Dy q ^P n y ¹ p t ⁿ q h

2 y ² p ξ P q et

p Dy q ^R n y ¹ p t ⁿ q h 2 y ² p ξ R q

1

2. En déduire que

| y ¹ p t ⁿ q p Dy q ^P i | ¤ Ch, avec C 1 2 max

t Pr t

,t

s | y ² p t q|

et

| y ¹ p t ⁿ q p Dy q ^R i | ¤ Dh, avec D 1 2 max

t Pr t

,t

s | y ² p t q|

3. Donner l'ordre de l'erreur de troncature pour les diérences nies progressive et régressive.

Q. 2 Soit y P C ³ pr a, b sq .

1. Montrer qu'il existe ξ 1 P r t ⁿ , t ^{n 1} s et ξ 2 P r t ^{n 1} , t ⁿ s tels que p Dy q ^C n y ¹ p t ⁿ q h ²

12 p y ^{p 3 q} p ξ ₁ q y ^{p 3 q} p ξ ₂ qq 2. En déduire que

| y ¹ p t ⁿ q p Dy q ^C n | ¤ Eh ² , avec E 1

6 max

t Pr t

,t

s | y ^{p 3 q} p t q|

3. Donner l'ordre de l'erreur de troncature pour la diérence nie centrée.

3 Schémas

Exercice 3

On veut résoudre numériquement le problème suivant : trouver y telle que

y ¹ p t q cos p t q 1, @ t P r 0, 4π s (3.1)

y p 0 q 0. (3.2)

dont la solution exacte est y p t q sin p t q t.

On rappelle le schéma d'Euler progressif pour la résolution d'un problème de Cauchy

"

y ^{r n 1 s} y ^{r n s} hf p t ⁿ , y ^{r n s} q , y ^{r 0 s} donné.

Q. 1 1. Soit a, b, a   b deux réels. Ecrire une fonction DisReg retournant une discrétisation de l'intervalle r a; b s avec N pas (constant) de discrétisation.

2. Expliquer en détail comment utiliser le schéma d'Euler progressif pour résoudre le problème (3.1-3.2) en précisant entre autres les données, les inconnues, les dimensions des variables, ...

3. Quel est le lien entre y ^{r n s} et la fonction y.

4. Ecrire une fonction EulerProg retournant l'ensemble des couples p t ⁿ , y ^{r n s} q calculés par le schéma d'Euler progressif.

5. Ecrire un algorithme complet de résolution de (3.1-3.2) par le schéma d'Euler progressif.

Le schéma d'Euler progressif est d'ordre 1.

Q. 2 1. Expliquer comment retrouver numériquement cet ordre (en utilisant la solution exacte de (3.1-3.2)).

2. Proposer un algorithme mettant en oeuvre cet technique.

On rappelle le schéma d'Euler régressif pour la résolution d'un problème de Cauchy

"

y ^{r n 1 s} y ^{r n s} hf p t ^{n 1} , y ^{r n 1 s} q , y ^{r 0 s} donné.

2

Q. 3 1. Expliquer en détail comment utiliser le schéma d'Euler régressif pour résoudre le problème (3.1-3.2) en précisant entre autres les données, les inconnues, les dimensions des variables, ...

2. Ecrire une fonction EulerReg retournant l'ensemble des couples p t ⁿ , y ^{r n s} q calculés par le schéma d'Euler régressif. On pourra utiliser la fonction PointFixe de paramètres φ , x 0 , tol, nmax retournant une approximation du point x tel que φ p x q x. L'algorithme utilisé par cette fonction est une méthode de point xe avec pour point initial x 0 , une tolérance de tol, un nombre maximum d'itération nmax.

3. Ecrire un algorithme complet de résolution de (3.1-3.2) par le schéma d'Euler régressif.

3