Exercice3 Exercice2 Exercice1 1Normesvectoriellesetmatricielles Travauxdirigés-3

L3-Math Analyse Numérique

Institut Galilée Année 2012-2013

Travaux dirigés - 3

1 Normes vectorielles et matricielles

Exercice 1

Soient x x x et y y y deux vecteurs de C ⁿ .

Q. 1 Trouver α P C tel que x αx x x y y y, x x x y 0.

Q. 2 En calculant } αx x x y y y } ² ₂ , montrer que

| x x x x, y y y y | ¤ } x x x } ₂ } y y y } ₂ . (1.1) Q. 3 Soit x x x 0 . Montrer alors que l'inégalité (1.1) est une égalité si et seulement si y y y αx x x.

Exercice 2

Soient x x x et y y y deux vecteurs de C ⁿ . Q. 1 Démontrer l'inégalité triangulaire

} x x x y y y } 2 ¤ } x x x } 2 } y y y } 2 . (2.1) Q. 2 Si x x x et y y y sont non nuls, prouver que l'inégalité (2.1) est une égalité si et seulement si y y y αx x x avec α un

réel strictement positif.

Q. 3 Déduire de (2.1) l'inégalité suivante :

| } x x x } 2 } y y y } 2 | ¤ } x x x y y y } 2 . (2.2) Q. 4 Soient x x x 1 , . . . , x x x p , p vecteurs de C ⁿ . Montrer que

¸ p i 1

x x x i

2

¤

¸ p i 1

} x x x i } ₂ . (2.3)

Exercice 3

Q. 1 Soit la fonction f p t q p 1 λ q λt t ^λ avec 0   λ   1. Montrer que pour tous α ¥ 0 et β ¥ 0 on a

α ^λ β ^{1 λ} ¤ λα p 1 λ q β. (3.1)

Soient x x x et y y y deux vecteurs non nuls de C ⁿ . Soient p ¡ 1 et q ¡ 1 vériant ¹ _p ¹ _q 1.

Q. 2 On pose u u u _{} x x x} ^{x x x} _}

p

et v v v _{} y y y} ^{y y y} _}

q

. En utilisant l'inégalite (3.1), montrer que

¸ n i 1

| u i v i | ¤ 1 p

¸ n i 1

| u i | ^p 1 q

¸ n i 1

| v i | ^q 1. (3.2)

1

Q. 3 En déduire alors l'inégalité de Hölder

| x x x x, y y y y | ¤ } x x x } _p } y y y } _q . (3.3)

Exercice 4

Soit p ¡ 1 et q le nombre tel que ¹ _q 1 ¹ _p . Q. 1 Vérier que @p α, β q P C ² on a

| α β | ^p ¤ | α || α β | ^{p { q} | β || α β | ^{p { q} . (4.1) Q. 2 En utilisant l'inégalité de Hölder et (4.2), démontrer l'inégalité de Minkowski :

} x x x y y y } _p ¤ } x x x } _p } y y y } _p , @ x x x P C ⁿ , @ y y y P C ⁿ , p ¥ 1. (4.2)

Exercice 5

Soit A P M n pCq . On dénit l'application }} F par }A} ² F

¸ n i 1

¸ n j 1

| a _ij | ² . (5.1)

Q. 1 On note, respectivement, A A A i , @ i P v 1, n w et A A A j , @ j P v 1, n w les vecteurs lignes et colonnes de A . Montrer que

}A} ² F

¸ n i 1

} A A A i } ² 2

¸ n j 1

} A A A j } ² ₂ tr A A . (5.2) Q. 2 Montrer que

}A x x x } 2 ¤ }A} F } x x x } 2 , @ x x x P C ⁿ . (5.3) Q. 3 Montrer que cette application est une norme matricielle (nommée norme de Frobenius).

Q. 4 Calculer }A } F et }I n } F où I n est la matrice identitée de M n pCq .

Exercice 6

Soit A P M _m,n pCq . Montrer les propriétés suivantes 1. }A} ₂ max

} x x x }

1 } y y y }

1

| xA x x x, y y y y | .

2. }A} 2 }A } 2 . 3. }A A} 2 }A} ² 2 .

4. }U AV} 2 }A} 2 quand UU I et VV I

2

Exercice 7

Soient A P M m,n pCq , B P M n,l pCq , x x x P C ⁿ et p ¥ 1. Montrer que

}A x x x } _p ¤ }A} _p } x x x } _p (7.1)

}A} p max

} x x x }

1 }A x x x } p (7.2) }A} p max

} x x x }

¤ 1 }A x x x } p (7.3)

}AB} p ¤ }A} p }B} p (7.4)

2 Conditionnement

Exercice 8

Soit le système linéaire dénie par A x x x bbb dénie par : A

240 319.5 179.5 240

, bbb

3 4

.

Q. 1 Trouver la solution x x x de ce système.

Q. 2 On pose ∆ A

0 0.5 0.5 0

. Déterminer la solution x x x ∆x x x du système pA ∆ Aqp x x x ∆x x x q bbb.

Q. 3 Vérier l'inégalité

} ∆x x x } _p } x x x ∆x x x } p

¤ cond p pAq } ∆ A} _p }A} p

(8.1)

pour p 1, 2, 8 .

Exercice 9

Soit A P M _n pCq dénie par a _ii 1, pour i P v 1, n w , a _{i,i 1} 2, pour i P v 1, n 1 w , et a _ij 0 sinon.

Q. 1 Montrer que cond 2 pAq ¥ 2 ⁿ .

Indication : utiliser le vecteur eee n de la base canonique pour montrer que }A} 2 ¥ 2 et }A ^-1 } 2 ¥ 2 ^{n 1} .

Exercice 10

Soit A n p ε q P M n pCq dénie par

A n p ε q

0 . . . . . . 0 ε 1 0 . . . . . . 0 0 ... ... ...

... ... ... ...

0 . . . 0 1 0

Q. 1 Calculer les valeurs propres de A ⁿ p 0 q et A ⁿ p ε q .

Q. 2 Appliquer les résultats à n 40 et ε 10 ⁴⁰ . Conclure.

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