Exercice2 Exercice1 1Normesvectoriellesetmatricielles Travauxdirigés-2

L3-Math Analyse Numérique

Institut Galilée Année 2014-2015

Travaux dirigés - 2

1 Normes vectorielles et matricielles

Exercice 1

Soit A P M n pCq une matrice hermitienne, dénie positive. On désigne par λ 1 , . . . , λ n ses valeurs propres (nécessairement réelles et strictement positive) rangées par ordre croissant.

On rappelle l'inégalité de Cauchy-Schwarz :

xx x x, y y yy ² ď xx x x, x x xy xy y y, y y yy , @x x x P C ⁿ , @y y y P C ⁿ . (1.1) Q. 1 Montrer que

x A x x x, x x xy @

A ^-1 x x x, x x x D

ě }x x x} ⁴ , @x x x P C ⁿ . (1.2)

‚ Soit P “ p A ´ λ 1 I qp A ´ λ n I q A ^-1 , où I désigne la matrice identité de M n p C q.

Q. 2 1. Etudier le signe de x P x x x, x x xy pour tout x x x P C ⁿ . 2. En déduire que, pour tout x x x P C ⁿ ,

x A x x x, x x xy ` λ ₁ λ _n @

A ^-1 x x x, x x x D

ď pλ ₁ ` λ _n q }x x x} ² . (1.3)

‚

Q. 3 Etablir l'inégalité de Kantorovich : }x x x} ⁴ ď x A x x x, x x xy @

A ^-1 x x x, x x x D

ď pλ ₁ ` λ _n q ² 4λ 1 λ n

}x x x} ⁴ , @x x x P C ⁿ . (1.4)

‚

Q. 4 Soit x x x P C ⁿ tel que }x x x} “ 1.

1. Montrer que

x A x x x, x x xy ´ @

A ^-1 x x x, x x x D ´1

ě 0 (1.5)

2. On pose µ “ λ 1 ` λ n ´ x A x x x, x x xy , Montrer que µ ą 0.

3. Etablir, à partir de (1.3), l'inégalité :

x A x x x, x x xy ´ @

A ^-1 x x x, x x x D ´1

ď λ ₁ ` λ <sub>n</sub> ´ µ <sup>2</sup> ` λ ₁ λ _n

µ . (1.6)

4. En déduire

0 ď x A x x x, x x xy ´ @

A ^-1 x x x, x x x D ´1

ď

´a λ n ´ a λ 1

¯ 2

. (1.7)

‚

Exercice 2

Soient x x x et y y y deux vecteurs de C ⁿ .

Q. 1 Trouver α P C tel que xαx x x ´ y y y, x x xy “ 0. ‚

Q. 2 En calculant }αx x x ´ y y y} ² ₂ , montrer que

| xx x x, y y yy | ď }x x x} ₂ }y y y} ₂ . (2.1)

‚

Q. 3 Soit x x x ‰ 0 . Montrer alors que l'inégalité (2.1) est une égalité si et seulement si y y y “ αx x x. ‚

Exercice 3

Soient x x x et y y y deux vecteurs de C ⁿ . Q. 1 Démontrer l'inégalité triangulaire

}x x x ` y y y} <sub>2</sub> ď }x x x} <sub>2</sub> ` }y y y} ₂ . (3.1)

‚ Q. 2 Si x x x et y y y sont non nuls, prouver que l'inégalité (3.1) est une égalité si et seulement si y y y “ αx x x avec α un

réel strictement positif. ‚

Q. 3 Déduire de (3.1) l'inégalité suivante :

| }x x x} ₂ ´ }y y y} ₂ | ď }x x x ´ y y y} ₂ . (3.2)

‚

Q. 4 Soient x x x 1 , . . . , x x x p , p vecteurs de C ⁿ . Montrer que

›

›

›

›

›

p

ÿ

i“1

x x x i

›

›

›

›

› 2

ď

p

ÿ

i“1

}x x x i } ₂ . (3.3)

‚

Exercice 4

Q. 1 Soit la fonction f ptq “ p1 ´ λq ` λt ´ t ^λ avec 0 ă λ ă 1. Montrer que pour tous α ě 0 et β ě 0 on a

α ^λ β ^1´λ ď λα ` p1 ´ λqβ. (4.1)

‚ Soient x x x et y y y deux vecteurs non nuls de C ⁿ . Soient p ą 1 et q ą 1 vériant ¹ _p ` ¹ _q “ 1.

Q. 2 On pose u u u “ _{}x x x}} ^{x x x}

p

et v v v “ _{}y y y}} ^{y y y}

q

. En utilisant l'inégalite (4.1), montrer que

n

ÿ

i“1

|u i v i | ď 1 p

n

ÿ

i“1

|u i | ^p ` 1 q

n

ÿ

i“1

|v i | ^q “ 1. (4.2)

‚

Q. 3 En déduire alors l'inégalité de Hölder

| xx x x, y y yy | ď }x x x} _p }y y y} _q . (4.3)

‚

Exercice 5

Exercice 6

Soit A P M n p C q. On dénit l'application }‚} _F par

} A } ² _F “

n

ÿ

i“1 n

ÿ

j“1

|a ij | ² . (6.1)

Q. 1 On note, respectivement, A A A i‹ , @i P v1, nw et A A A ‹j , @j P v1, nw les vecteurs lignes et colonnes de A . Montrer que

}A} ² _F “

n

ÿ

i“1

}A A A i‹ } ² ₂ “

n

ÿ

j“1

}A A A ‹j } ² ₂ “ tr A ^˚ A . (6.2)

‚ Q. 2 Montrer que

}A x x x} ₂ ď }A} _F }x x x} ₂ , @x x x P C ⁿ . (6.3)

‚

Q. 3 Montrer que cette application est une norme matricielle (nommée norme de Frobenius). ‚ Q. 4 Calculer } A ^˚ } _F et } I n } _F où I n est la matrice identitée de M n p C q. ‚

Exercice 7

Soit A P M _m,n p C q. Montrer les propriétés suivantes 1. } A } ₂ “ max

}x x x}

“1 }y y y}

“1

| x A x x x, y y yy |.

2. } A } ₂ “ } A ^˚ } ₂ . 3. } A ^˚ A } ₂ “ } A } ² ₂ .

4. } U ^˚ AV } ₂ “ } A } ₂ quand UU ^˚ “ I et VV ^˚ “ I

Exercice 8

Soient A P M m,n p C q, B P M n,l p C q, x x x P C ⁿ et p ě 1. Montrer que

}A x x x} _p ď }A} _p }x x x} _p (8.1)

} A } _p “ max

}x x x}

“1 } A x x x} _p (8.2)

} A } _p “ max

}x x x}

ď1 } A x x x} _p (8.3)

} AB } _p ď } A } _p } B } _p (8.4)

2 Conditionnement

Exercice 9

Soit le système linéaire dénie par A x x x “ bbb dénie par :

A “

ˆ 240 ´319.5

´179.5 240

˙ , bbb “

ˆ 3 4

˙ .

Q. 1 Trouver la solution x x x de ce système. ‚

Q. 2 On pose ∆ A “

ˆ 0 0.5 0.5 0

˙

. Déterminer la solution x x x ` ∆x x x du système p A ` ∆ A qpx x x ` ∆x x xq “ bbb.

Q. 3 Vérier l'inégalité

}∆x x x} _p

}x x x ` ∆x x x} _p ď cond _p p A q }∆ A } _p

} A } _p (9.1)

pour p “ 1, 2, 8. ‚

Exercice 10

Soit A P M _n p C q dénie par a _ii “ 1, pour i P v1, nw, a _i,i`1 “ 2, pour i P v1, n ´ 1w, et a _ij “ 0 sinon.

Q. 1 Montrer que cond ₂ p A q ě 2 ⁿ . ‚

Indication : utiliser le vecteur eee n de la base canonique pour montrer que }A} ₂ ě 2 et }A ^-1 } ₂ ě 2 ^n´1 .

Exercice 11

Soit A n pεq P M n pCq dénie par

A n pεq “

¨

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˝

0 . . . . . . 0 ε 1 0 . . . . . . 0 0 ... ... ...

... ... ... ...

0 . . . 0 1 0

˛

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‚

Q. 1 Calculer les valeurs propres de A n p0q et A n pεq. ‚

Q. 2 Appliquer les résultats à n “ 40 et ε “ 10 ^´40 . Conclure. ‚

On suppose que A est hermitienne, de valeurs propres

λ ₁ ď λ ₂ ď . . . ď λ _n ,

les vecteurs propres associés p p p 1 , p p p 2 , . . . , p p p n vériant

xp p p i , p p p j y “ δ ij , @pi, jq P v1, nw ² .

Pour k P v1, nw, on note V k le sous-espace de C ⁿ engendré par les vecteurs p p p i , i P v1, kw, et on note V k l'ensemble des sous-espaces de dimension k de C ⁿ . On pose par ailleurs : V 0 “ t0u et V 0 “ V 0 .

Q. 2 Montrer que les valeurs propres de A admettent les caractérisations suivantes, pour k P v1, nw :

λ k “ ρ _A pp p p k q, (12.1)

λ k “ max

vPV

v‰0

ρ _A pv v vq, (12.2)

λ _k “ min

vKV

v‰0

ρ _A pv v vq, (12.3)

λ k “ min

W PV

max

vPW v‰0

ρ _A pv v vq, (12.4)

λ k “ max

W PV

min

vKW v‰0

ρ _A pv v vq. (12.5)

‚ Q. 3 Montrer que

tρ _A pv v vq ; v v v P C ⁿ zt0uu “ rλ ₁ , λ _n s Ă R . (12.6)

‚