II. MÉTHODES ITÉRATIVES DE RÉSOLUTION DE SYSTÈMES LINÉAIRES

(1)

II. M ´ ETHODES IT ´ ERATIVES DE R ´ ESOLUTION DE SYST ` EMES LIN ´ EAIRES

Analyse Num´ erique Tronc Commun

Analyse Numérique Systèmes linéaires : Méthodes itératives 1

(2)

Un exemple

On veut résoudre le système linéaire suivant :

2x1− x2= 0

−x₁+ 2x2= 3

de solutionx1= 1,x2= 2.

On procède, pour cela, parapproximations successives: On se donne une solution initialex₁⁽⁰⁾=¹₂,x₂⁽⁰⁾=³₂. 1êitération :

On déterminex1, à partir de la 1êéquation, par

2x₁⁽¹⁾−x₂⁽⁰⁾= 0 donc x₁⁽¹⁾=3 4

−x₁⁽⁰⁾+ 2x₂⁽¹⁾= 3 donc x₂⁽¹⁾=7 4

(3)

Un exemple

2x1− x2= 0

−x₁+ 2x2= 3

On proc`ede, pour cela, parapproximations successives: On se donne une solution initialex₁⁽⁰⁾=¹₂,x₂⁽⁰⁾= ³₂.

1^eit´eration :

2x₁⁽¹⁾−x₂⁽⁰⁾= 0 donc x₁⁽¹⁾=3 4

−x₁⁽⁰⁾+ 2x₂⁽¹⁾= 3 donc x₂⁽¹⁾=7 4

(4)

Un exemple

2x1− x2= 0

−x₁+ 2x2= 3

On procède, pour cela, parapproximations successives: On se donne une solution initialex₁⁽⁰⁾=¹₂,x₂⁽⁰⁾= ³₂. 1êitération :

2x₁⁽¹⁾−x₂⁽⁰⁾= 0 donc x₁⁽¹⁾=3 4

−x₁⁽⁰⁾+ 2x₂⁽¹⁾= 3 donc x₂⁽¹⁾=7 4

(5)

Un exemple

2x1− x2= 0

−x₁+ 2x2= 3

On procède, pour cela, parapproximations successives: On se donne une solution initialex₁⁽⁰⁾=¹₂,x₂⁽⁰⁾= ³₂. 1êitération :

2x₁⁽¹⁾−x₂⁽⁰⁾= 0 donc x₁⁽¹⁾=3 4

−x₁⁽⁰⁾+ 2x₂⁽¹⁾= 3 donc x₂⁽¹⁾=7 4

(6)

2^eit´eration :

2x₁⁽²⁾−x₂⁽¹⁾= 0 donc x₁⁽²⁾=7 8

−x₁⁽¹⁾+ 2x₂⁽²⁾= 3 donc x₂⁽²⁾=15 8

3^eit´eration :

2x₁⁽³⁾−x₂⁽²⁾= 0 donc x₁⁽³⁾= 15 16

−x₁⁽²⁾+ 2x₂⁽³⁾= 3 donc x₂⁽³⁾= 31 16

Ainsi, une bonne approximation est obtenue en 3 itérations. Nous avons ainsi présenté la méthode deJacobi

(7)

2^eit´eration :

2x₁⁽²⁾−x₂⁽¹⁾= 0 donc x₁⁽²⁾=7 8

−x₁⁽¹⁾+ 2x₂⁽²⁾= 3 donc x₂⁽²⁾=15 8

3^eit´eration :

2x₁⁽³⁾−x₂⁽²⁾= 0 donc x₁⁽³⁾= 15 16

−x₁⁽²⁾+ 2x₂⁽³⁾= 3 donc x₂⁽³⁾= 31 16

(8)

2^eit´eration :

2x₁⁽²⁾−x₂⁽¹⁾= 0 donc x₁⁽²⁾=7 8

−x₁⁽¹⁾+ 2x₂⁽²⁾= 3 donc x₂⁽²⁾=15 8

3^eit´eration :

2x₁⁽³⁾−x₂⁽²⁾= 0 donc x₁⁽³⁾= 15 16

−x₁⁽²⁾+ 2x₂⁽³⁾= 3 donc x₂⁽³⁾= 31 16

(9)

2^eit´eration :

2x₁⁽²⁾−x₂⁽¹⁾= 0 donc x₁⁽²⁾=7 8

−x₁⁽¹⁾+ 2x₂⁽²⁾= 3 donc x₂⁽²⁾=15 8

3^eit´eration :

2x₁⁽³⁾−x₂⁽²⁾= 0 donc x₁⁽³⁾= 15 16

−x₁⁽²⁾+ 2x₂⁽³⁾= 3 donc x₂⁽³⁾= 31 16

Ainsi, une bonne approximation est obtenue en 3 it´erations.

Nous avons ainsi présenté la méthode deJacobi

(10)

2^eit´eration :

2x₁⁽²⁾−x₂⁽¹⁾= 0 donc x₁⁽²⁾=7 8

−x₁⁽¹⁾+ 2x₂⁽²⁾= 3 donc x₂⁽²⁾=15 8

3^eit´eration :

2x₁⁽³⁾−x₂⁽²⁾= 0 donc x₁⁽³⁾= 15 16

−x₁⁽²⁾+ 2x₂⁽³⁾= 3 donc x₂⁽³⁾= 31 16

Ainsi, une bonne approximation est obtenue en 3 it´erations.

(11)

Une m´ ethode it´ erative g´ en´ erique

Considérons le système linéaire

Ax=b o`uAest une matrice carr´ee d’ordren, inversible.

Supposons que l’on puisse ´ecrire

A=M−N oùMest une matrice inversible,facile à inverser. L’équationAx=bs’écrit encoreMx=Nx+b.

Étant donnée une solution initialex⁽⁰⁾∈Rⁿ, on calcule sucessivementx⁽¹⁾,x⁽²⁾, . . . en résolvant successivement :

Mx⁽¹⁾=Nx⁽⁰⁾+b Mx⁽²⁾=Nx⁽¹⁾+b

. . . .

ou encore

Mx^(k+1)=Nx^(k)+b k= 0,1, . . .

(12)

Une m´ ethode it´ erative g´ en´ erique

A=M−N o`uMest une matrice inversible,facile `a inverser.

L’´equationAx=bs’´ecrit encoreMx=Nx+b.

Mx⁽¹⁾=Nx⁽⁰⁾+b Mx⁽²⁾=Nx⁽¹⁾+b

. . . .

ou encore

Mx^(k+1)=Nx^(k)+b k= 0,1, . . .

(13)

Une m´ ethode it´ erative g´ en´ erique

Mx⁽¹⁾=Nx⁽⁰⁾+b Mx⁽²⁾=Nx⁽¹⁾+b

. . . .

ou encore

Mx^(k+1)=Nx^(k)+b k= 0,1, . . .

(14)

Une m´ ethode it´ erative g´ en´ erique

Mx⁽¹⁾=Nx⁽⁰⁾+b Mx⁽²⁾=Nx⁽¹⁾+b

. . . .

ou encore

Mx^(k+1)=Nx^(k)+b k= 0,1, . . .

(15)

Une m´ ethode it´ erative g´ en´ erique

Mx⁽¹⁾=Nx⁽⁰⁾+b Mx⁽²⁾=Nx⁽¹⁾+b

. . . .

ou encore

Mx^(k+1)=Nx^(k)+b k= 0,1, . . .

(16)

Convergence

Soitx∈Rⁿ; on d´efinit la norme :

kxk:=Xⁿ

i=1

x_i²¹₂ .

D´efinition

On dit que la m´ethode it´erative

Mx^(k+1)=Nx^(k)+b converges’il existe un vecteurx∈Rⁿtel que

k→∞lim kx^(k)−xk= 0

pour tout vecteur initialx⁽⁰⁾∈Rⁿ.

Remarquons que si on choisit pourx⁽⁰⁾la solution exacte du syst`eme, alors on a Mx⁽¹⁾=Nx⁽⁰⁾+b=Mx⁽⁰⁾

CommeMest inversible, on aconvergence en 1 it´eration.

(17)

Convergence

kxk:=Xⁿ

i=1

x_i²¹₂ .

D´efinition

(18)

Convergence

kxk:=Xⁿ

i=1

x_i²¹₂ .

D´efinition

Remarquons que si on choisit pourx⁽⁰⁾la solution exacte du syst`eme, alors on a

(19)

Convergence

kxk:=Xⁿ

i=1

x_i²¹₂ .

D´efinition

(20)

Crit` ere de convergence

Quelles sont les conditions surMetNpour que la m´ethode it´erative converge ?

D´efinition

On appellerayon spectraldeA(ρ(A)) la plus grande valeur propre en module,i.e. ρ(A) := max{|λ_i|; λi valeur propre deA, 1≤i≤n}.

Théorème La méthode itérative

Mx^(k+1)=Nx^(k)+b converge si et seulement si

ρ(M⁻¹N)<1.

(21)

Crit` ere de convergence

D´efinition

On appellerayon spectraldeA(ρ(A)) la plus grande valeur propre en module,i.e.

ρ(A) := max{|λ_i|; λi valeur propre deA, 1≤i≤n}.

ρ(M⁻¹N)<1.

(22)

Crit` ere de convergence

D´efinition

On appellerayon spectraldeA(ρ(A)) la plus grande valeur propre en module,i.e.

ρ(A) := max{|λ_i|; λi valeur propre deA, 1≤i≤n}.

ρ(M⁻¹N)<1.

(23)

Remarque

On peut ´ecrireMx^(k)=Nx^(k−1)+b

Donc

x^(k)=M⁻¹N x^(k−1)+M⁻¹b

=. . . .

= (M⁻¹N)^kx⁽⁰⁾+

k−1

X

`=0

(M⁻¹N)^`M⁻¹b

Ceci explique le critère de convergence de la méthode itérative.

(24)

Remarque

On peut ´ecrireMx^(k)=Nx^(k−1)+b Donc

x^(k)=M⁻¹N x^(k−1)+M⁻¹b

=. . . .

= (M⁻¹N)^kx⁽⁰⁾+

k−1

X

`=0

(M⁻¹N)^`M⁻¹b

(25)

Remarque

On peut ´ecrireMx^(k)=Nx^(k−1)+b Donc

x^(k)=M⁻¹N x^(k−1)+M⁻¹b

=. . . .

= (M⁻¹N)^kx⁽⁰⁾+

k−1

X

`=0

(M⁻¹N)^`M⁻¹b

(26)

Quelques m´ ethodes it´ eratives

On ´ecritAsous la formeA=D+L+U: o`u dij=

(

aij sii=j 0 sinon , `ij=

(

aij sii>j 0 sinon , uij=

(

aij sii<j 0 sinon

Exemple :







a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33







=







a11 0 0 0 a22 0 0 0 a33





 +







0 0 0

a21 0 0 a31 a32 0





 +







0 a12 a13

0 0 a23

0 0 0







M´ethode de Jacobi :

ou encore

x_i^(k+1)= 1 a_ii

b_i−X

j6=i

a_ijx_j^(k)

1≤i≤n sia_ii6= 0

(27)

Quelques m´ ethodes it´ eratives

(

aij sii<j 0 sinon Exemple :







a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33







=







a11 0 0 0 a22 0 0 0 a33





 +







0 0 0

a21 0 0 a31 a32 0





 +







0 a12 a13

0 0 a23

0 0 0







ou encore

x_i^(k+1)= 1 a_ii

b_i−X

j6=i

a_ijx_j^(k)

(28)

Quelques m´ ethodes it´ eratives

(







a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33







=







a11 0 0 0 a22 0 0 0 a33





 +







0 0 0

a21 0 0 a31 a32 0





 +







0 a12 a13

0 0 a23

0 0 0







D x +L x +U x =b

ou encore

x_i^(k+1)= 1 a_ii

b_i−X

j6=i

a_ijx_j^(k)

(29)

Quelques m´ ethodes it´ eratives

(







a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33







=







a11 0 0 0 a22 0 0 0 a33





 +







0 0 0

a21 0 0 a31 a32 0





 +







0 a12 a13

0 0 a23

0 0 0







D x^(k+1)+L x^(k)+U x^(k)=b

ou encore

x_i^(k+1)= 1 a_ii

b_i−X

j6=i

a_ijx_j^(k)

(30)

Quelques m´ ethodes it´ eratives

(







a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33







=







a11 0 0 0 a22 0 0 0 a33





 +







0 0 0

a21 0 0 a31 a32 0





 +







0 a12 a13

0 0 a23

0 0 0







D x^(k+1)+L x^(k)+U x^(k)=b ou encore

x^(k+1)= 1 b −X

a x^(k)

1≤i≤n sia 6= 0

(31)

Ainsi

M x^(k+1)=N x^(k)+b D x^(k+1)=−(L+U)x^(k)+b

i.e.

M=D, N=−(L+U)

M´ethode de Gauss–Seidel Reprenons le 1^erexemple :

2x1− x2= 0

−x1+ 2x2= 3

de solutionx1= 1,x2= 2, avec la solution initialex₁⁽⁰⁾= ¹₂,x₂⁽⁰⁾= ³₂.

(32)

Ainsi

M x^(k+1)=N x^(k)+b D x^(k+1)=−(L+U)x^(k)+b i.e.

M=D, N=−(L+U)

2x1− x2= 0

−x1+ 2x2= 3

(33)

Ainsi

M x^(k+1)=N x^(k)+b D x^(k+1)=−(L+U)x^(k)+b i.e.

M=D, N=−(L+U)

2x1− x2= 0

−x1+ 2x2= 3

(34)

1^eit´eration :

2x₁⁽¹⁾−x₂⁽⁰⁾= 0 doncx₁⁽¹⁾=3 4

−x₁⁽¹⁾+ 2x₂⁽¹⁾= 3 doncx₂⁽¹⁾=15 8

2^eit´eration :

2x₁⁽²⁾−x₂⁽¹⁾= 0 doncx₁⁽²⁾=15 16

−x₁⁽²⁾+ 2x₂⁽²⁾= 3 doncx₂⁽²⁾=63 32

Nous approchons ainsi la solution exacte en 2 it´erations

(35)

1^eit´eration :

2x₁⁽¹⁾−x₂⁽⁰⁾= 0 doncx₁⁽¹⁾=3 4

−x₁⁽¹⁾+ 2x₂⁽¹⁾= 3 doncx₂⁽¹⁾=15 8

2^eit´eration :

2x₁⁽²⁾−x₂⁽¹⁾= 0 doncx₁⁽²⁾=15 16

−x₁⁽²⁾+ 2x₂⁽²⁾= 3 doncx₂⁽²⁾=63 32

(36)

1^eit´eration :

2x₁⁽¹⁾−x₂⁽⁰⁾= 0 doncx₁⁽¹⁾=3 4

−x₁⁽¹⁾+ 2x₂⁽¹⁾= 3 doncx₂⁽¹⁾=15 8

2^eit´eration :

2x₁⁽²⁾−x₂⁽¹⁾= 0 doncx₁⁽²⁾=15 16

−x₁⁽²⁾+ 2x₂⁽²⁾= 3 doncx₂⁽²⁾=63 32

(37)

1^eit´eration :

2x₁⁽¹⁾−x₂⁽⁰⁾= 0 doncx₁⁽¹⁾=3 4

−x₁⁽¹⁾+ 2x₂⁽¹⁾= 3 doncx₂⁽¹⁾=15 8

2^eit´eration :

2x₁⁽²⁾−x₂⁽¹⁾= 0 doncx₁⁽²⁾=15 16

−x₁⁽²⁾+ 2x₂⁽²⁾= 3 doncx₂⁽²⁾=63 32

(38)

M´ethode de Gauss–Seidel :

D x +L x +U x =b

ou encore x_i^(k+1)= 1

aii

bi−X

j<i

aijx_j^(k+1)−X

j>i

aijx_j^(k)

1≤i≤n siaii6= 0

Ainsi

M=D+L, N=−U

M´ethode de relaxation

pourω >0.

On retrouve ainsi la m´ethode de Gauss-Seidel pourω= 1.

(39)

D x^(k+1)+L x^(k+1)+U x^(k)=b

ou encore x_i^(k+1)= 1

aii

bi−X

j<i

aijx_j^(k+1)−X

j>i

aijx_j^(k)

1≤i≤n siaii6= 0

Ainsi

M=D+L, N=−U

pourω >0.

(40)

D x^(k+1)+L x^(k+1)+U x^(k)=b ou encore

x_i^(k+1)= 1 aii

bi−X

j<i

aijx_j^(k+1)−X

j>i

aijx_j^(k)

1≤i≤n siaii6= 0

Ainsi

M=D+L, N=−U

pourω >0.

(41)

x_i^(k+1)= 1 aii

bi−X

j<i

aijx_j^(k+1)−X

j>i

aijx_j^(k)

1≤i≤n siaii6= 0

Ainsi

M=D+L, N=−U

pourω >0.

(42)

x_i^(k+1)= 1 aii

bi−X

j<i

aijx_j^(k+1)−X

j>i

aijx_j^(k)

1≤i≤n siaii6= 0

Ainsi

M=D+L, N=−U

M´ethode de relaxation 1

ωD+L

x =

1−ω

ω D−U

x +b

pourω >0.

(43)

x_i^(k+1)= 1 aii

bi−X

j<i

aijx_j^(k+1)−X

j>i

aijx_j^(k)

1≤i≤n siaii6= 0

Ainsi

M=D+L, N=−U

ωD+L

x^(k+1)= 1−ω

ω D−U

x^(k)+b k= 0,1, . . .

pourω >0.

(44)

x_i^(k+1)= 1 aii

bi−X

j<i

aijx_j^(k+1)−X

j>i

aijx_j^(k)

1≤i≤n siaii6= 0

Ainsi

M=D+L, N=−U

ωD+L

x^(k+1)= 1−ω

ω D−U

x^(k)+b k= 0,1, . . .

pourω >0.

(45)

M´ ethode de Richardson

Pour résoudre le systèmeAx=b, on définit la méthode suivante : x^(k+1)=x^(k)+αkr^(k)

o`u

r^(k)=b−Ax^(k)

est le résidu à l’itérationk, etαkest un coefficient à choisir.

(46)

Matrices sym´ etriques d´ efinies positives

Th´eor`eme

SoitAune matrice symétrique définie positive et soitA=M−Nune décomposition deAoùMest inversible. On suppose que la matriceM^T+Nest symétrique définie positive. Alors, la méthode itérativeMx^(k+1)=Nx^(k)+bconverge.

(47)

Corollaire

SiAest symétrique définie positive, la méthode de relaxation avec0< ω <2 converge.

D´emonstration

Pour la m´ethode de relaxation, on a M= 1

ωD+L, N=1−ω

ω D−U.

CommeAest symétrique, on aL=U^T. La diagonale deMest celle deD. On en déduit queMest inversible puisque les élémentsdiisont positifs. Soit

M^T+N= 1

ωD+L^T+1−ω

ω D−L^T=2−ω

ω D.

Cette matrice diagonale est d´efinie positive si et seulement si0< ω <2.

(48)

Corollaire

D´emonstration

ωD+L, N=1−ω

ω D−U.

CommeAest sym´etrique, on aL=U^T. La diagonale deMest celle deD.

On en déduit queMest inversible puisque les élémentsdiisont positifs. Soit

M^T+N= 1

ωD+L^T+1−ω

ω D−L^T=2−ω

ω D.

(49)

Corollaire

D´emonstration

ωD+L, N=1−ω

ω D−U.

On en déduit queMest inversible puisque les élémentsdiisont positifs.

Soit

M^T+N= 1

ωD+L^T+1−ω

ω D−L^T=2−ω

ω D.

(50)

Corollaire

D´emonstration

ωD+L, N=1−ω

ω D−U.

On en déduit queMest inversible puisque les élémentsdiisont positifs.

Soit

M^T+N= 1

ωD+L^T+1−ω

ω D−L^T=2−ω

ω D.

(51)

Corollaire

SoitAune matrice symétrique définie positive telle que2D−Asoit définie positive.

Alors, la m´ethode de Jacobi converge.

En effet, on aM^T+N= 2D−A.

Th´eor`eme

On suppose que la matriceAest symétrique définie positive et queαk>0est choisi assez petit. Alors la méthode de Richardson converge.

D´emonstration

Pour la m´ethode de Richardson, on a M= 1 αk

I, N= 1 αk

I−A.

Donc

M^T+N= 2 αk

I−A.

D’o`u le r´esultat.

(52)

Corollaire

Th´eor`eme

D´emonstration

I, N= 1 αk

I−A.

Donc

M^T+N= 2 αk

I−A.

(53)

Corollaire

Th´eor`eme

D´emonstration

I, N= 1 αk

I−A.

Donc

M^T+N= 2 αk

I−A.

(54)

Corollaire

Th´eor`eme

D´emonstration

I, N= 1 αk

I−A.

Donc

M^T+N= 2 α I−A.

(55)

Matrices ` a diagonale dominante

D´efinition

On dit qu’une matriceAest `adiagonale dominantesi on a X

j6=i

|a_ij| ≤ |a_ii| ∀i= 1, . . . ,n.

On dit qu’elle està diagonale strictement dominantesi l’inégalité ci-dessus est stricte.

Th´eor`eme

SoitAune matrice `adiagonale strictement dominante; alorsAest inversible. De plus, les m´ethodes de Jacobi et de Gauss-Seidel convergent.

(56)

Matrices ` a diagonale dominante

D´efinition

On dit qu’une matriceAest `adiagonale dominantesi on a X

j6=i

|a_ij| ≤ |a_ii| ∀i= 1, . . . ,n.

On dit qu’elle està diagonale strictement dominantesi l’inégalité ci-dessus est stricte.

Th´eor`eme

SoitAune matrice `adiagonale strictement dominante; alorsAest inversible. De plus, les m´ethodes de Jacobi et de Gauss-Seidel convergent.

(57)

D´ emonstration

Montrons queAest inversible :

Soitx∈Rⁿavecx6= 0etAx= 0.

Soititel que|xi| ≥ |xj|pour toutj= 1, . . . ,n. aiixi=−X

j6=i

aijxj. Donc

|a_ii||x_i|=

X

j6=i

a_ijx_j ≤X

j6=i

|a_ij| |x_j| ≤ |x_i|X

j6=i

|a_ij|.

Puisquex6= 0, on en d´eduit

|aii| ≤X

j6=i

|aij|.

Impossible ! !DoncAest inversible. Montrons la convergence : On poseB=M⁻¹N.

Soitλune valeur propre deBetxvecteur propre associ´e,i.e. Bx=λx, x6= 0.

Puisque l’on s’int´eresse `a la plus grande valeur propre en module, on supposeλ6= 0. On a ainsi

M−1

λN

x= 0.

(58)

D´ emonstration

Montrons queAest inversible : Soitx∈Rⁿavecx6= 0etAx= 0.

Soititel que|xi| ≥ |xj|pour toutj= 1, . . . ,n. aiixi=−X

j6=i

aijxj. Donc

|a_ii||x_i|=

X

j6=i

a_ijx_j ≤X

j6=i

|a_ij| |x_j| ≤ |x_i|X

j6=i

|a_ij|.

|aii| ≤X

j6=i

|aij|.

M−1

λN

x= 0.

(59)

D´ emonstration

Soititel que|xi| ≥ |xj|pour toutj= 1, . . . ,n.

aiixi=−X

j6=i

aijxj. Donc

|a_ii||x_i|=

X

j6=i

a_ijx_j ≤X

j6=i

|a_ij| |x_j| ≤ |x_i|X

j6=i

|a_ij|.

|aii| ≤X

j6=i

|aij|.

M−1

λN

x= 0.

(60)

D´ emonstration

aiixi=−X

j6=i

aijxj. Donc

|a_ii||x_i|=

X

j6=i

aijxj

≤X

j6=i

|a_ij| |x_j| ≤ |x_i|X

j6=i

|a_ij|.

|aii| ≤X

j6=i

|aij|.

M−1

λN

x= 0.

(61)

D´ emonstration

aiixi=−X

j6=i

aijxj. Donc

|a_ii||x_i|=

X

j6=i

aijxj

≤X

j6=i

|a_ij| |x_j| ≤ |x_i|X

j6=i

|a_ij|.

|aii| ≤X

j6=i

|aij|.

M−1

λN

x= 0.

(62)

D´ emonstration

aiixi=−X

j6=i

aijxj. Donc

|a_ii||x_i|=

X

j6=i

aijxj

≤X

j6=i

|a_ij| |x_j| ≤ |x_i|X

j6=i

|a_ij|.

|aii| ≤X

j6=i

|aij|.

Impossible ! !DoncAest inversible.

Montrons la convergence : On poseB=M⁻¹N.

M−1

λN

x= 0.

(63)

D´ emonstration

aiixi=−X

j6=i

aijxj. Donc

|a_ii||x_i|=

X

j6=i

aijxj

≤X

j6=i

|a_ij| |x_j| ≤ |x_i|X

j6=i

|a_ij|.

|aii| ≤X

j6=i

|aij|.

Montrons la convergence :

On poseB=M⁻¹N.

M−1

λN

x= 0.

(64)

D´ emonstration

aiixi=−X

j6=i

aijxj. Donc

|a_ii||x_i|=

X

j6=i

aijxj

≤X

j6=i

|a_ij| |x_j| ≤ |x_i|X

j6=i

|a_ij|.

|aii| ≤X

j6=i

|aij|.

M−1

λN

x= 0.

(65)

D´ emonstration

aiixi=−X

j6=i

aijxj. Donc

|a_ii||x_i|=

X

j6=i

aijxj

≤X

j6=i

|a_ij| |x_j| ≤ |x_i|X

j6=i

|a_ij|.

|aii| ≤X

j6=i

|aij|.

Soitλune valeur propre deBetxvecteur propre associ´e,i.e.

Bx=λx, x6= 0.

M−1

λN

x= 0.

(66)

D´ emonstration

aiixi=−X

j6=i

aijxj. Donc

|a_ii||x_i|=

X

j6=i

aijxj

≤X

j6=i

|a_ij| |x_j| ≤ |x_i|X

j6=i

|a_ij|.

|aii| ≤X

j6=i

|aij|.

Soitλune valeur propre deBetxvecteur propre associ´e,i.e.

Bx=λx, x6= 0.

Puisque l’on s’int´eresse `a la plus grande valeur propre en module, on supposeλ6= 0.

(67)

Pour la m´ethode de Jacobi, cela devient

D+1 λL+1

λU x= 0.

Soit

C=D+1 λL+1

λU.

Supposons, par contradiction, que|λ| ≥1. On a

|c_ii|=|a_ii|>X

j6=i

|a_ij| ≥ 1

|λ| X

j6=i

|a_ij|=X

j6=i

|c_ij|.

On en d´eduit queCest `a diagonale strictement dominante, donc inversible. Donc x= 0.

Ceci est une contradiction avec le fait quexest vecteur propre.

(68)

D+1 λL+1

λU x= 0.

Soit

C=D+1 λL+1

λU.

|c_ii|=|a_ii|>X

j6=i

|a_ij| ≥ 1

|λ| X

j6=i

|a_ij|=X

j6=i

|c_ij|.

(69)

D+1 λL+1

λU x= 0.

Soit

C=D+1 λL+1

λU.

|c_ii|=|a_ii|>X

j6=i

|a_ij| ≥ 1

|λ|

X

j6=i

|a_ij|=X

j6=i

|c_ij|.

(70)

D+1 λL+1

λU x= 0.

Soit

C=D+1 λL+1

λU.

|c_ii|=|a_ii|>X

j6=i

|a_ij| ≥ 1

|λ|

X

j6=i

|a_ij|=X

j6=i

|c_ij|.

(71)

Pour la m´ethode de Gauss-Seidel, on pose C=D+L+1

λU.

Ici encore, par contradiction, si|λ| ≥1, on d´eduit

|cii|=|aii|>X

j6=i

|aij|

≥X

j<i

|a_ij|+ 1

|λ| X

j>i

|a_ij|=X

j6=i

|c_ij|.

On obtient encore une contradiction.