R´esolution des ´equations lin´eaires `a deux variables

R´ esolution des ´ equations lin´ eaires ` a deux variables

D´edou

Septembre 2011

R´ esoudre une ´ equation de droite

Une ´equation de droite a une infinit´e de solutions, on ne peut pas toutes les ´ecrire.

R´esoudre une ´equation de droite,

c’est choisir une inconnue qu’on exprime en fonction de l’autre.

On dit que la premi`ere est notre inconnueprincipaleet que la seconde est notre inconnuesecondaire.

Sauf que pour les droites horizontales ou verticales, on n’a pas le choix.

R´ esoudre en y une ´ equation de droite

Exemple

Consid´erons la droite d’´equation

2x+ 3y+ 5 = 0.

Cette ´equation est ´equivalente `a

y =−2x/3−5/3.

C’est l’´equationr´esolue eny de cette droite.

Exo 1

Donner l’´equation r´esolue eny de la droite d’´equation 5x−3y−4 = 0.

R´ esoudre en x une ´ equation de droite

Exemple

Consid´erons de nouveau la droite d’´equation 2x+ 3y+ 5 = 0.

Cette ´equation est ´equivalente `a

x=−3y/2−5/2.

C’est l’´equationr´esolue enx de cette droite.

Exo 2

Donner l’´equation r´esolue enx de la droite d’´equation 5x−3y−4 = 0.

R´ esoudre une ´ equation de droite : existence

Pour les droites horizontales

on doit prendrey comme inconnue principale.

Exemple

La droite d’´equation

3y+ 4 = 0 est horizontale. Son ´equation r´esolue eny est

y =−4 3. Exo 3

Ecrire une ´equation r´esolue de la droite d’´equation 4x−3 = 0.

R´ esoudre une ´ equation de droite : unicit´ e

Une droite a au plus

une ´equation r´esolue enx et une ´equation r´esolue eny.

C’est pour ¸ca qu’on parle del’´equation r´esolue enx oul’´equation r´esolue eny d’une droite.

R´ esoudre une ´ equation de droite avec param` etre I

Exo r´esolu

Pour quelles valeurs du param`etre ml’´equation (m+ 1)x+ (m²−1)y+m= 0 d´efinit-elle une droite ?

R´eponse

les coefficientsm+ 1 et m²−1 de x ety dans l’´equation donn´ee ne s’annulent ensemble que pourm=−1. Donc c’est pour m6=−1 que cette ´equation d´efinit bien une droite.

R´ esoudre une ´ equation de droite avec param` etre II

Exo r´esolu

Pour les valeurs ad´equates du param`etre m, r´esoudre eny l’´equation

(m+ 1)x+ (m²−1)y+m= 0.

R´eponse

c’est pourmdiff´erent de 1 et de −1 que le coefficient m²−1 dey dans l’´equation est non-nul, et qu’on peut r´esoudre cette ´equation eny. Pour ces valeurs de m, on trouve

y =− x

m−1 − m m²−1.

R´ esoudre une ´ equation de droite avec param` etre III

Exo 4

a) Pour quelles valeurs du param`etrem l’´equation (m+ 1)x+ (m−1)y+m= 0 d´efinit-elle une droite ?

b) Pour les valeurs ad´equates du param`etrem, r´esoudre cette

´equation enx.

Equation d´ eg´ en´ er´ ee I

Exo r´esolu

R´esoudre l’´equation

(m+ 1)x+ (m²−1)y+m= 0 pourm=−1.

R´eponse

Pourm=−1 l’´equation devient 0 =−1. Elle n’a pas de solution.

Autrement dit l’ensemble de ses solutions est vide.

Equation d´ eg´ en´ er´ ee II

Exo r´esolu

R´esoudre l’´equation

(m+ 1)x+ (m²−1)y+m−1 = 0 pourm=−1.

R´eponse

Pourm=−1 l’´equation devient 0 = 0. L’ensemble de ses solutions est le planR² tout entier.

R´ esoudre une ´ equation avec param` etre

Exo 5

R´esoudre, selon la valeur du param`etre m, l’´equation (m−1)x+ (m²−1)y+m³−1 = 0.