Orsay 2008-2009 IFIPS S2 Math´ematiques (M160).
Fiche de TD num´ero 2. R´esolution d’´equations diff´erentielles lin´eaire.
Exercice 1 : R´esoudre les ´equations diff´erentielles lin´eaires, homog`enes, du second ordre suiv- antes:
1. y00−3y0−4y = 0.
2. y00−10y0+ 25y= 0.
3. y00−2y0+ 5y = 0.
Dans chaque cas on d´eterminera la solutiony telle que y(0) = 0 ety0(0) = 1.
Exercice 2 : R´esoudre les ´equations diff´erentielles suivantes : 1. y00+ 2y0+y=x+ 1.
2. y00+ 2y0 =x+ 1.
3. y00+ 2y0 =ex.
4. y00+ 2y0+y=ex. D´eterminera la solutiony telle quey(0) = 1 ety0(0) = 1.
Exercice 3 : R´esoudre les ´equations diff´erentielles suivantes : 1. y00+y=xsin 2x.
2. y00+y=xsinx+x2. D´eterminera la solutiony telle que y(0) = 1 et y0(0) = 0.
3. y00−5y0+ 4y = 2e4x+ (34x+ 18) cosx.
4. y00−4y0+ 5y =xcosxe2x.
5. 3y00+ 13y0+ 4y= 4 cos 2x−sin 2x.
Exercice 4 : Consid´erons l’´equation diff´erentielle y00 +by0 +ω02y = Acos(ωt), avec b > 0 et b2−4ω02 <0.
1. Trouvez la solution g´en´erale.
2. D´eterminez l’unique solution born´ee.
Exercice 5 : R´esolvez l’´equation diff´erentielle suivante, en devinant une solution particuli`ere : y00+y0−2y= 2 tan3x+ tan2x+ 1,y(0) = 0, y0(0) = 2.
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