´Episode I : Nombres complexes et r´ecurrences lin´eaires

UNIVERSIT ´E DE BORDEAUX 2^`emeann´ee Licence Eco-Gestion

Semestre 1 2016/2017

´Episode I : Nombres complexes et r´ecurrences lin´eaires

Mettre sous forme alg´ebrique les nombres suivants : 1. z1= 5 + 2i

−3 +i 2. z₂=

2−5i 3i

3. z₃= 1−i

1 +i 2

4. z4=

2 +i⁵ 1 +i¹⁵

²

5. z₅= (1 +i)⁶ 6. z6= (1 +i)⁸ 1−i√

3

7. z7= (1 + 2i)(2−3i)(3−2i)

E

1

Rechercher les modules et arguments des nombres complexes suivants : 1. z1= 1−i

2. z2= (√

3 +i)×

√3 +i 1−i

3. z3=1 +√

√ 3i 3 +i 4. z₄= (1 +i)⁸(1−√

3i)⁻⁶

E

2

R´esoudre dansC: 1. 2z²−6z+ 5 = 0 2. z²+ 3 = 0 3. z²+z+ 1 = 0

4. z³+ 1 = 0 5. z⁴−1 = 0

6. z⁴−2z³−z²−2z+ 1 = 0(on pourra poserZ=z+1 z)

E

3

D´eterminer la forme trigonom´etrique et exponentielle des nombres suivants : 1. z₁= 3i

2. z₂= 1−i 3. z3=−1 +i√

3 4. z4= 1−i√

3 1 +i

5. z₅= 1−i

1 +i 2

6. z6=−√ 2

cosπ

3 +isinπ 3

7. z7= cosπ

8 +isinπ 8

6

E

4

Soienta,b ∈ N. On suppose quea = x² + y² etb = z² +t²avecx,y,z,t ∈ Z.

D´emontrer que le produitabest encore la somme de deux carr´es.

E

5

R´esoudre les ´equations de r´ecurrence suivantes, en exprimant les solutions en fonction deu₀: 1. ut+1= 3ut+ 4 u0= 1 puisu0=−2 avecvt=b

2. 3u_t−2u_t−1= 3 2

3 t

u₀= 1 avecv_t=bt 2

3 t

3. u_t+1+³₅u_t= 6 + 19 ²₃^t

u₀= 14 avecv_t=b etw_t=b 2

3 ^t

4. ut−ut−1= 2t+ 1 u0= 1 avecvt=t(at+b)

E

6

R´esoudre les ´equations de r´ecurrence suivantes en exprimant les solutions en fonction des deux premiers termesu0etu1:

1. 2u_t+2+ 3u_t+1+u_t= 2 −¹₂^t

+ 3.2^t u₀= 0 u₁= 1 avecv_t=bt −¹₂^t

etw_t=b2^t 2. ut+2−2ut+1+ 4ut= 2t−1 u0= 0 u1= 3 avecvt=at+b

3. u_t+2−2u_t+1+u_t=t+ 1 u₀= 1 u₁= 2 avecv_t=t²(at+b)

4. ut+2+ut+1−2ut= 6 + 3.(−2)^t u0= 1 u1= 2 avecvt=bt etwt=bt(−2)^t

E

7

C_t d´esigne la consommation durant la p´eriodet,Y_tle revenu durant cette p´eriode etI_tl’investissement pendant cette p´eriode. On suppose que :

C_t= 0.8Y_t−1 I_t= 0.6 (C_t−C_t−1) +I

o `uIest une constante (investissement autonome).

1. En utilisant la relationY_t=C_t+I_t, montrer que la suite(Y_t)est solution de l’´equation de r´ecurrence : Y_t−1.28Y_t−1+ 0.48Y_t−2=I

2. Montrer que cette ´equation admet une solution constante.

3. ´Ecrire la solution g´en´erale de cette ´equation en fonction du module et de l’argument der1o `ur1est une solution complexe de l’´equation caract´eristique (on pourra d´efinirθ=arg(r₁)).

En d´eduire le comportement asymptotique de(Y_t).

4. Expliquer comment pr´edire le comportement asymptotique de(Yt)sans d´eterminer les racines du polyn ˆome caract´eristique.

E

8

Ctd´esigne la consommation durant la p´eriodet,YtrespectivementIt, le revenu et l’investissement durant cette p´eriode etGune constante (d´epense gouvernementale).

On suppose que :







Ct=cY_t−1 0< c <1 It=β(Ct−C_t−1) β >0

Yt=Ct+It+G

1. En utilisant la relationYt=Ct+It+G, montrer que la suite(Yt)est solution de l’´equation de r´ecurrence : Yt−c(1 +β)Yt−1+βcYt−2=G

2. Montrer que cette ´equation admet une solution constante.

3. ´Ecrire la solution g´en´erale de cette ´equation suivant les valeurs decetβ. 4. D´eterminer le comportement asymptotique de(Y_t)suivant les valeurs decetβ.

E

9