´Episode III : Nombres complexes

UNIVERSIT ´E MONTESQUIEU BORDEAUX IV 2^`emeann´ee Licence Eco-Gestion

Semestre 2 2011/2012

´Episode III : Nombres complexes

E

1

Mettre sous forme alg´ebrique les nombres suivants : 1. 3 + 6i

3−4i 2.

1 +i 2−i

²

+3 + 6i 3−4i 3. (3 + 2i)(1−3i)

4. 2e^iπ3 ×3e^−i5π6 5. z= (1 +i)⁶ 6. z= (1 +i)⁸ 1−i√

3

E

2

Calculer le module et l’argument deu=^√6−2^i√2etv= 1−i. En d´eduire le module et l’argument dew= ^uv.

E

3

R´esoudre dansC: 1. 2z²−6z+ 5 = 0 2. z²+ 3 = 0 3. z²+z+ 1 = 0

4. z³+ 1 = 0 5. z⁴−1 = 0

6. z⁴−2z³−z²−2z+ 1 = 0(on pourra poserZ=z+1 z)

E

4

D´eterminer la forme trigonom´etrique et exponentielle des nombres suivants : 1. z=−3i

2. z= 1−i√ 3 3. z= 1−i√

3 1 +i

4. z=−√ 2

cosπ

3 +isinπ 3

5. z= cosπ

8 +isinπ 8

⁶

E

5

Soitz1=√

2(1 +i)etz2=

√3−i

2 . SoitZ =z1

z2

. 1. D´eterminer la forme alg´ebrique deZ

2. (a) D´eterminer une forme exponentielle dez1etz2. (b) D´eterminer une forme exponentielle deZ. 3. (a) En d´eduire la valeur exacte decos5π

12 etsin5π 12. (b) D´eterminer alorscos π

12 etsin π 12.

E

6

Calculer de deux fac¸ons diff´erentes le nombre e^ix4

(pourx∈ R) et en d´eduire les expressions decos 4xet sin 4xen fonction decosxetsinx.

E

7

Soienta,b ∈ N. On suppose quea = x² +y² etb = z² + t²avecx,y,z,t ∈ Z. D´emontrer que le produitabest encore la somme de deux carr´es.