UNIVERSIT ´E MONTESQUIEU BORDEAUX IV 2`emeann´ee Licence Eco-Gestion
Semestre 1 2012/2013
´Episode III : Nombres complexes
E
XERCICE1
Mettre sous forme alg´ebrique les nombres suivants : 1. 3 + 6i
3−4i 2.
1 +i 2−i
2
+3 + 6i 3−4i 3. (3 + 2i)(1−3i)
4. 2eiπ3 ×3e−i5π6 5. z= (1 +i)6 6. z= (1 +i)8 1−i√
3
E
XERCICE2
Calculer le module et l’argument deu=√6−2i√2etv= 1−i.
En d´eduire le module et l’argument dew= uv.
E
XERCICE3
R´esoudre dansC: 1. 2z2−6z+ 5 = 0 2. z2+ 3 = 0 3. z2+z+ 1 = 0
4. z3+ 1 = 0 5. z4−1 = 0
6. z4−2z3−z2−2z+ 1 = 0(on pourra poserZ=z+1 z)
E
XERCICE4
D´eterminer la forme trigonom´etrique et exponentielle des nombres suivants : 1. z=−3i
2. z= 1−i√ 3 3. z= 1−i√
3 1 +i
4. z=−√ 2
cosπ
3 +isinπ 3
5. z= cosπ
8 +isinπ 8
6
E
XERCICE5
Soitz1=√
2(1 +i)etz2=
√3−i
2 . SoitZ =z1
z2
. 1. D´eterminer la forme alg´ebrique deZ
2. (a) D´eterminer une forme exponentielle dez1etz2. (b) D´eterminer une forme exponentielle deZ.
3. (a) En d´eduire la valeur exacte decos5π
12 etsin5π 12. (b) D´eterminer alorscos π
12 etsin π 12.
E
XERCICE6
Calculer de deux fac¸ons diff´erentes le nombre eix4
(pourx∈ R) et en d´eduire les expressions decos 4xet sin 4xen fonction decosxetsinx.
E
XERCICE7
Calculer les racines carr´ees de1, i, 3 + 4i, 8−6iet7 + 24i.
E
XERCICE8
R´esoudre dansCl’´equationz3= 14(−1+i)et montrer qu’une seule de ses solutions a une puissance quatri`eme r´eelle.
E
XERCICE9
Trouver les racines cubiques de2−2i.
E
XERCICE10
Trouver les racines quatri`emes de81et de−81.
E
XERCICE11
Soienta,b ∈ N. On suppose quea = x2 +y2 etb = z2 + t2avecx,y,z,t ∈ Z. D´emontrer que le produitabest encore la somme de deux carr´es.