III Utilisation des nombres complexes

Géométrie

I Un peu de dualité

Exercice 1. Soit E un espace vectoriel de dimension finie n. On noteE^∗ = L(E,K).

1. Quelle est la dimension deE^∗?

2. Soit(e₁, . . . , e_n) une base deE, et soit, pour tout i,

φ_i : x=

n

X

k=1

x_ke_k 7−→x_i

Montrer que (φ₁, . . . , φ_n) est une base de E^∗.

3. Ici, E =Kn−1[X], (α1, . . . , αn) unn-uplet d’éléments distincts deK.

On désigne par (e1, . . . , en) la base des polynômes interpolateurs de Lagrange associés aux αi. Quelle est la base (φ1, . . . , φn) correspon- dante ?

4. Soit(ψ₁, . . . , ψ_n)une base deE^∗. Montrer qu’il existe une unique base (f₁, . . . , f_n) deE telle que

∀x∈E x=

n

X

i=1

ψ_i(x)f_i

4. Deux applications linéaires sont égales si et seulement si elles coïncident sur une base, donc

∀x∈E x=

n

X

i=1

ψ_i(x)f_i

équivaut à, pour tout k :

f_k =

n

X

i=1

ψ_i(f_k)f_i ce qui équivaut à

∀(i, k)∈J1, nK

2 ψ_i(f_k) = δ_i,k (δ_i,k symbole de Kronecker, 1si i=k et 0sinon).

Considérons donc l’application

u : x7−→(ψ₁(x), ψ₂(x), . . . , ψ_n(x))

qui est clairement linéaire, donc est élément deL(E,Rⁿ). Pour montrer qu’il s’agit d’un isomorphisme, il suffit de montrer l’injectivité (car dim(E) = dim(Rⁿ) =n).

Si x ∈ Ker(u), on a φ₁(x) = . . . = φ_n(x) = 0 donc, pour tout ψ ∈ E^∗, ψ(x) = 0.

Or si x 6= 0, on peut compléter x en une base (x, ₂, . . . , _n) de E. Si ψ est la première forme linéaire composante associée à cette forme linéaire, alors ψ(x) = 1.

On a donc bien u isomorphisme, et donc il y a une unique base (f₁, . . . , f_n) de E qui convient : c’est l’image par u⁻¹ de la base canonique de Rⁿ.

Exercice 2 (Oral X). Montrer qu’un endomorphismeud’un espace vectoriel E de dimensionn est diagonalisable si et seulement s’il existe n hyperplans H₁,. . . ,H_n deE stables par u et tels que

n

\

i=1

H_i ={0_E}

II Géométrie vectorielle euclidiennne

Exercice 3 (Oral Mines). Soit trouver tous les couples (f, g) d’éléments de SO(R³)différents de l’identité tels que f ◦g =g ◦f (remarque : ce sont

2

bien des rotations vectorielles, le problème n’est pas affine).

III Utilisation des nombres complexes

Exercice 4. On note D_n le groupe des isométries du plan affine euclidien laissant stable un polygone régulier à n côtés. Déterminer une rotation r et une réflexion s telles que

r◦s =s◦rⁿ⁻¹

et telles que

D_n={Id, r, . . . , rⁿ⁻¹, s, s◦r, . . . , s◦rⁿ⁻¹} .

Exercice 5. Dans le plan complexe, démontrer que les points d’affixesa, b, c sont alignés si et seulement si

ab+bc+ca=ba+cb+ac .

Exercice 6. Soit a, b, c, d quatre nombres complexes vérifiant a+c=b+d et a+ib =c+id . Quelle figure forment leurs images dans le plan ?

Exercice 7 (Oral X). Vérifier qu’une condition nécessaire et suffisante pour que les points d’affixes a, b, c dans le plan complexe soient les sommets d’un triangle équilatéral est :

Exercice 8 (Oral Mines). Interpréter géométriquement la relation e^ix + e^iy+e^iz = 0 oùx, y etz sont des réels.

Exercice 9 (Oral X). Donner une condition nécessaire et suffisante sur les nombres complexes a, b, c pour que les racines de X⁴ +aX² +bX +c forment un parallélogramme dans le plan complexe. Même question avec un rectangle.

Exercice 10 (Oral X). Déterminer les homographies deC(i.e. les applica- tions z 7→ az+b

cz+d) qui transforment D₀ en D₀, où D₀ est le disque de centre 0 et de rayon 1.

Exercice 11 (Oral X). Calculer l’aire d’un triangle dont les sommets ont pour affixes les nombres complexes a, b, c.

Exercice 12 (Oral X). Soient a et b deux complexes distincts. Calculer l’affixe du projeté orthogonal de O sur la droite passant para etb, puis l’aire du triangle Oab.

Exercice 13 (Oral X).

1. Pour θ∈R, exprimer |e^iθ−1| en fonction desin(θ/2).

2. Soit ABCD un quadrilatère convexe inscrit dans un cercle. Montrer que

AC BD≤AB CD+BC AD

4

Exercice 14 (Oral X). Soit abc un triangle du plan complexe avec |a| =

|b|=|c|= 1.

1. Déterminer le second point d’intersection, notéd, de la hauteur issue dea et du cercle circonscrit.

2. Déterminer le symétrique, noté d⁰, de d par rapport à la droite (bc).

En déduire que les trois hauteurs sont concourantes, en un point que l’on note h, orthocentre du triangle abc.

3. Montrer que l’orthocentre, le centre du cercle circonscrit et le centre de gravité sont alignés.

4. Montrer que les pieds des hauteurs, les milieux des côtés, les milieux des segments [ha], [hb] et [hc] sont cocycliques.

IV Courbes

Exercice 15. Tracer l’allure de la courbe donnée par le paramétrage x(t) = (1 + cost) cost , y(t) = (1 + cost) sint

Exercice 16 (Oral ccp). Tracer la courbe x= t−1

t , y = t² t+ 1.

Exercice 17. Soit E l’ellipse d’équation x² a² + y²

b² = 1

où a > 0, b > 0. Trouver l’équation de la tangente à l’ellipse en un point (x₀, y₀)∈ E. Trouver un paramétrage deE, retrouver l’équation de la tangente en un point en utilisant ce paramétrage. Trouver l’ensemble des points par où passent deux tangentes à E orthogonales.

Exercice 18. On considère dans cet exercice la courbe C de représentation paramétrique :







x(t) = t

1 +t⁴ y(t) = t³

1 +t⁴ où t décrit R.

1. Tracer la courbe C.

2. Trouver une condition nécessaire et suffisante portant sur les fonctions symétriques élémentairesσ₁ =t₁+t₂+t₃, σ₂ =t₁t₂+t₁t₃+t₂t₃, σ₃ = t₁t₂t₃ pour que les points de paramètres t₁, t₂, t₃ soient alignés (on suppose lest_i deux à deux distincts).

3. Donner une équation cartésienne de la courbe.

Exercice 19 (Oral Centrale). On considère l’arc paramétré C : x(t) = t

1 +t⁴ , y(t) = t³ 1 +t⁴

Tracer C, donner l’équation de la tangente D_t au point de paramètre t, donner une cns sur t pour que D_t coupe C en deux points M(t₁) et M(t₂) distincts de t. Calculer t₁+t₂ et t₁t₂. Donner les coordonnées du centre du cercle circonscrit à OM(t₁)M(t₂).

Exercice 20. On considère dans le plan affine euclidien deux points I et I⁰ de coordonnées respectives (a,0) et (−a,0) dans un repère orthonormal (a >0). SoitL la courbe ensemble des points M tels que

M I M I⁰ = a²

Déterminer les points à tangente horizontale et les points à tangente verticale sur cette courbe.

Exercice 21(Oral Mines). Trouver l’ensemble des points du plan euclidien d’où l’on peut mener deux tangentes orthogonales à une parabole d’équation y² =ax (dans un repère orthonormal).

Exercice 22. SoitP une parabole, d’équationy² = 4ax (a >0). Une droite passant par le point P(a,0)coupe cette parabole en M et M⁰. Les normales à la parabole en M et M⁰ se coupent en Q. Trouver l’ensemble des pointsQ lorsque la droite varie.

Exercice 23 (Oral Mines). Soit P une parabole d’équation y² = 4ax (a > 0), F le point de coordonnées (a,0) et D la droite d’équation x=−a.

SoitM ∈DetH le projeté orthogonal deM surD. Montrer que la tangente en M à P est la médiatrice de [HF].

V « Lieux » géométriques

Exercice 24(Oral Mines). Construire les cercles tangents à à deux droites perpendiculaires données et passant par un point donné.

Exercice 25. Déterminer le lieu des projections orthogonales d’un point fixé sur les tangentes à un cercle donné.

VI Surfaces

Exercice 26 (Oral Centrale). Indiquer pour quels u, v, w, t le plan ux+ vy+wz =t est tangent à la surface d’équationz =x²−y².

Exercice 27. On considère la surface d’équation cartésienne x²

α + y² β +z²

γ = 1

Démontrer que le plan d’équation ux+ vy+ wz = 1 est tangent à cette quadrique si et seulement si αu²+βv²+γw² = 1; préciser alors le point de contact.

Exercice 28 (Oral Mines). Etudier l’intersection de la surface d’équation z =xy avec son plan tangent en un de ses points.

Exercice 29. Soit(S)une surface d’équation ax²+by²+cz²+dxy+exz+ f yz =k. Soit M un point de l’espace. Démontrer que l’ensemble des points de (S) en lesquels le plan tangent à (S) contient M est l’intersection de (S) et d’un plan.

Exercice 30 (Oral Centrale). Soit p > 0. La surfaceS est définie par M(u, v) = u²

2p, ucosv, usinv

1. Donner un vecteur normal àS au point de paramètre(u, v).

2. Identifier le lieu des points qui sont centre d’une sphère tangente àS et passant par F = (p/2,0,0).

Exercice 31. Etudier l’intersection de la surface d’équation (x²+y²+z²+ 3)² = 16(x²+y²) avec son plan tangent quand celui-ci est horizontal.

Exercice 32. Soit, dans Rⁿ,

V ={(x₁, . . . , x_n)∈Rⁿ ;

n

X

i=1

x²_i a²_i = 1}

Quels sont les vecteurs tangents à V en un point deV ? (les ai sont des réels positifs).

Exercice 33. Soit, dans Rⁿ,

V ={(x₁, . . . , x_n)∈Rⁿ ; x₁x₂. . . x_n=k}

Quels sont les vecteurs tangents à V en un point de V ? (k est un réel non nul).

On définit F(x₁, . . . , x_n) = x₁x₂. . . x_n, tout vecteur tangent en (a₁, . . . , a_n) est orthogonal au gradient deF en ce point, donc orthogonal à(1/a₁, . . . ,1/a_n).

Mais réciproquement ? soit (λ₁, . . . , λ_n)tel queXλ_i

a_i = 0, on considère l’arc t7−→

a₁+tλ₁, . . . , an−1+tλn−1, k

(a₁+tλ₁)· · ·(an−1+tλn−1)

dont on calcule la dérivée en 0 et qui montre bien la réciproque.

VII Divers

Exercice 34. Dans M_n(R), quel est l’espace tangent enI_n à SO(n)?

On peut commencer par regarder n = 2, si

γ(t) = cos(θ(t)) −sin(θ(t)) sin(θ(t)) cos(θ(t))

!

On dérive (en supposantθdérivable), et, siθ(0) = 0, alorsγ⁰(0) = θ⁰(0) 0 −1 1 0

! . On en déduit qu’une matrice tangente à SO(2) en I₂ est dans A₂(R), inclu- sion réciproque assez facile.

Pour n quelconque, si

∀t∈R ^tγ(t) γ(t) =I_n

et si γ(0) =I_n et si γ est dérivable en0alors en dérivant on voit queγ⁰(0)∈ A_n(R), réciproque pas si facile, mais qui l’est si on pense à t7−→exp(tA).

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