Exercices avec solutions :

Prof/ATMANI NAJIB Année Scolaire 2018-2019 Semestre2 http:// abcmaths.e-monsite.com 1

Exercices avec solutions :

fonctions exponentielles

PROF: ATMANI NAJIB 2BAC SM http:// abcmaths.e-monsite.com

Exercice1 : Résoudre les équations et inéquations suivantes dans ℝ :

5 1

1) exp exp

2 3 1

x

x x

    

     

    ^{2) exp 2}



^{x 1}



^{exp 6}

x

     

Solution :1) ^{ln x}



^2



^0

a)cette équation est définie ssi : 2x 3 0 et 1 0

x  donc: ³

x 2 et x1donc : ³;1

E 2

D    

 

b) Résoudre l’équation :

5 1 5 1

exp exp

2 3 1 2 3 1

x x

x x x x

 

    

       

   



^x5



^{x 1}



^{2x 3 x²2x 8 0}

 

2 2

4 2 4 8 1 4 32 36 0

b ac

           

1

2 6 4 2 1 2 2 x    

 et ₁ ^{2 6 8} 4

2 1 2 x     



Donc : ^{S }



^{4; 2}



 

⁶

2) exp 2x 1 exp x

     

a)cette inéquation est définie ssi : x0 donc : DI  ^

 

^{6 6}

2) exp 2x 1 exp 2x 1

x x

       

2 ² 6

x x 0 x

   



^{, 2}



^0,3

S  2

     

Exercice2 : Résoudre les équations et inéquations suivantes dans ℝ :

1) e^1xe^2x e 2)

2

1 1 2

x x x

e e

e

 

  3)e^2x5e^x 6 0 ^4)ex²

   

^{ex 3  ex 5e7}

 

2 3 2

5)e ^x  e1 e^x 1 0

Solution :1) e^1xe^2x e  e^{2x 1 x}  e¹

e^x1 e¹ x 1 1 x0 donc : ^{S }

 

⁰

2)

2

1 1 2

x x x

e e

e

 

   e^{2  x 1 2x} e^x1





^{2  x}

 

^{1 2x}



^{ x 1   4x 2 1}

x 2

Donc : ¹

S    2

 

3) e^2x5e^x 6 0

 

^{ex 25ex 6 0} on pose : e^x X

Donc : X²5X  6 0  b²4ac2524 1 0

1

5 1 X 2 1

  et

2

5 1 X  2 1

 donc : X₁3 et X₂ 2

Donc : e^x1 3 et e^x2 2 donc : x₁ln 3 et x₂ ln 2 Donc : ^S



^{ln 2, ln 3}



4) cette équation est définie dans ℝ

   

^{3 5}

² 7 ² 3 5 7

x x x x x x

e  e  e^ e^  e e e^ e^

² 3 5 7

² 3 5 7

x x x

e ^ e^{ } x x x

      

² 8 7 0

x x

   

2 2

4 8 4 7 1 64 28 36 0 b ac

          

1

8 6 2 2 1 2 1 x     

 et ₂ ^{8 6 14} 7

2 1 2 x     



FONCTIONS EXPONENTIELLES

Donc : ^{S  }



^{7; 1}



5) cette équation est définie dans ℝ

 

 

3 2 1 3

1 0

x x

e^ e e e^ e

   

 

2^x 1 ^x 1 3 0

e e e ^ e

    car e^3 0

  

^{ex 2 e2 e e}



^{x e3 0}

   

On pose : e^x t on aura : ^t2



^{e2e t}



^{e3 0}

  ^{ }  

2 2 3 x 2

t  e e t  e t e e e

    

2 3 2 2

2)e ^x  e 1 e^x 1 0 e^xe e^xe 0



^{ex e1}



^{ex e2}



⁰

  



^{x 1}



^{x 2}



⁰

  

 

^{1; 2}

 x donc : ^S

 

^{1; 2}

Exercice3 : Déterminer les limites suivantes : 1) lim ₂

3 4

x x

e

x x

   ²⁾

lim

5 ^x

x

x e

^{ }



3)

sin 0

lim 1

x x

e

 x

 4)

1

lim0 x x

e e

x







Solution :1)

2 2

2

2 2

1 3 4 3 4

3 4 1 1

x x x

e e e

x x x

x x x x x

 

       

Et on a : lim ₂

x x

e

x   et lim 1 ^{3 4}₂ 1

x^  x x 

Donc : lim ₂

3 4

x x

e

x x

  

 

2)

lim

^{5 x}

x

x e

^{ }

 on pose : t x donc x    t

10

5 10

lim ^x lim ^t lim _t 0

x t t

x e t e t

e

  

     

3 ) on a :

sin sin

0 0

1 1 sin

lim lim 1 1 1

sin

x x

x x

e e x

x x x

 

 

    

Car :

sin 0

lim 1 1 sin

x x

e

 x

  (on pose : tsinx)et

0

limsin 1

x

x

 x 

4)On pose : ^{f x}

 

^{ex1 donc : f}

 

^{0 e0 1 e1 e}

Et : ^f

  

^{x  x1}



^{ex1 1ex1 ex1 et f}

 

^{0 e}

Donc : ¹

     

0 0

lim lim 0 0

0

x

x x

f x f

e e

f e

x x



 

     



Exercice4 : Déterminer les dérivées des fonctions suivantes : 1)

f x ( )  e

^2x1

2)

2 2 3 1

( ) ^x 3 ^x

g x e^  e ^ 3)

1

( )

3

x

h x e

x





 

4) ^{f x}

 

^



^ex4



^ex1

Solutions : 1)

f x ( )  e

^2x1

la fonction : u₁:x  2x1est dérivable sur

1; 2

 

 

 et

 

1

2 1 1

( )

2 2 1 2 1

u x x

x x

 

  

 

Donc la fonction f est dérivable sur 1;

2

 

 

 et ( ) ^{1 2 1}

2 1

f x e x

x

  



2) g x( )e^2x2 3e^3x1les fonctions:

2

1: 2

u x  x et u₂:x3x1sont dérivables sur et on a :

1 ( ) 4

u x   xet u₂( )x 3

Donc la fonction g est dérivable sur et

2 2 3 1

( ) 4 ^x 9 ^x

g x   xe^  e ^

3)

1

( )

3

x

h x e

x





 

la fonction : 1

: 3

u x x

x

 

  est dérivable sur



^3;



^et



^;3



^et

 

²

( ) 4

3 u x

x

 



Donc la fonction f est dérivable sur



^3;



^et



^;3



^et

 

1 3 2

( ) 4

3

x

h x e x

x



   



4) ^{f x} ^



^ex4



^ex1

 

 

^{x 4}



^{x 1}

 ^{ }

^{x 4}

^{ }

^{x 1}

^

^{x 4}

^ 

^{x 1}



f x  e  e   e   e   e  e  

  ¹



⁴

 

¹



¹



⁴



2 1 2 1

x x

x x x x x x

x x

e e

f x e e e e e e

e e

 

        

 

  ²



¹

 

⁴



2 ² 2 ² 4 3 ² 6

2 1 2 1 2 1

x x x x x x x x x x

x x x

e e e e e e e e e e

f x

e e e

      

   

  

Exercice5 : Déterminer les primitives des fonctions suivantes : 1) ( )

e x

f x

 x 3)

 

²

( ) ^x

g x  e

3)

arctan

( ) 2

1 e x

h x  x

 Solutions : 1) _{f x( )} ^{e x}

 x Si on pose : u x( ) x On a :

( ) 2 ( ) ^{u x}( )

f x  u x e si 𝑥 > 0 donc les primitives de 𝑓 sont :

( ) 2 ^{u x}( ) 2 ^x

F x  e  



e 





 2) ^{g x( )}

 

^{ex 2} Si on pose : u x( )e^x

On a : g x( )u x u x( ) ( ) donc les primitives de g sont : ^{( ) 1 2( ) 1}

 

²

2 2

G x  u x   ex  

3)

arctan

( ) 2

1 e x

h x  x

 Si on pose : u x( )arctanx On a : h x( )u x e( ) ^{u x( )} donc les primitives de h sont : H x( )e^arctanx 





Exercice6 : Déterminer une primitive des fonctions suivantes :

1) ^{I  ;f x}

 

^{2e3xex}

2)

   

 

2 2 2

0; ;

1

x x

I f x e

e

  



3) ^{I  ; f x}

 

^ex



^ex1



³

4) ^I 

 

^0; ^{;f x}

 

^sinxecosx 5) ^{f x}

 

^e_x^{x 1}

e x

 

 ^{I }



^0;



Solutions :1) ^{I  ;f x}

 

^{2e3xex}

 

^{2 3 2}

 

^{3 3}

 

3

x x x x

f x  e e^  x e  x e ^

 

^{2 3}

3

x x

F x  e e^ est une primitive de f sur I 2)

   

 

2 2 2

0; ;

1

x x

I f x e

e

  



 

   

 

2 2

2 2

2 2

1 1

1 2 1

x x

x x

e e f x

e e

 

 

 

Donc :

 

¹ ₂¹

2 ^x 1 F x   e

 est une primitive de f sur I 3) ^{I  ;f x}

 

^ex



^ex1



³

 

^x



^{x 1}

 

^{3 x 1}

 

^{x 1}



³

f x e e   e   e  donc :   ¹



¹



^{3 1 1}



¹



⁴

3 1 4

x x

F x  e  ^  e 

 est une primitive de

f sur I

4) ^{I }

 

^{0; ;f x}

 

^sinxecosx

 

^{sin cosx}



^cos



^cosx

f x  xe   x e

donc :^{F x}

 

^ecosx est une primitive de f sur I 5)

 

x^{x 1}

f x e

e x

 

 ^{I }



^0;



 

^x 1



^x



x x

e x

f x e

e x e x

 

  

  donc : ^{F x}

 

^{lnex x est}

une primitive de f sur I

Exercice7 : Considérons la fonction 𝑓 définie par :

  

¹



^x

f x  x e

1)Etudier les variations de 𝑓 et dresser son tableau de variation.

2) Etudier les branches infinies de la courbe 𝐶𝑓 au voisinage de +∞

3) Etudier la concavité de la courbe 𝐶𝑓 4) Construire la courbe 𝐶𝑓.

Solution : 1) Df 

   

lim lim 1 ^x lim ^{x x} 0

x f x x x e x xe e

       

   

lim lim 1 ^x

x f x x x e

      car lim ^x

x e

  

Car : lim ^x 0

x e ^

  et lim ^x 0

x xe

 

Donc : y0 est une asymptote a

 

^{C au}

voisinage de 

   

¹



^x

 ^

¹

^

^x

^

¹

^  

^x

f x  x e   x e  x e 

 

^{1 x}



¹



^{x x x x x}

f x  e  x e e xe e xe Le signe de : ^f

 

^x est celui dex Tableau de variation :

2)

  

1



1

lim lim lim

x

x

x x x

f x x e x

x x x e

  

 

 

On a : 1

lim lim 1

x x

x x

x x

 

   et lim ^x

x e

   donc :

 

¹

 

lim lim ^x 1

x x

f x x

x x e

 

      

Donc : la courbe 𝐶𝑓 admet une branche parabolique dans la direction de l’axe des ordonnées au voisinage de +∞

3) Etudie de la concavité de la courbe 𝐶𝑓 :

   

^x

^{ }

^x

 

^{x x}

^

¹

^

f x  xe   x e x e  e x Le signe de : ^f

 

^x est celui de : x1

1 0 1

x    x

Donc :

 

^Cf est convexe sur



^{ 1;}



 

Cf est concave sur



^{ ; 1}



^{et A}



^{ 1, 2e1}



^{est un}

point d’inflexion de

 

Cf

4)

Exercice8 : Considérons la fonction 𝑓 définie

par :

 

^{1 3}

x 1 f x x

  e



1)déterminer D_f et calculer les limites aux bornes de D_f

2)Etudier les variations de 𝑓 et dresser son tableau de variation.

3)montrer que :

   

^{; 2 3}

1

x x

x f x x e

    e

 4) Etudier les branches infinies de la courbe 𝐶𝑓 Et étudier la position de la courbe 𝐶𝑓 avec les asymptotes obliques

Solutions :

1) ^{Df }



^{x /ex  1 0}



1 0 1

x x

e   e   pas de solutions car e^x 0 x Donc : D_f 

  ³

lim lim 1

x 1

x f x x x

    e  

 car lim 1

x x

   

Et lim ³ 0

x 1

x^e 



  ³

lim lim 1

x 1

x f x x x

    e  

 carlim 1

x x

   

Et lim ³ 3

x 1

x^e 



2)

   

 

²

 

²

3 1

1 1 3 1 3

1 1 1

x x

x x x

e e

f x x

e e e

  

 

           

 

 

   

   

 

2 2 2

2 2 2

1 3 2 1 3 1

1 1 1

x x x x x x x

x x x

e e e e e e e

f x

e e e

      

   

  

Le signe de : ^f

 

^x est celui de :

 

^{ex 2 ex1}

On pose : e^x X donc on a : X²  X 1 0

2 4 1 4 3 0

b ac

       

Donc : X² X 1 0(signe de a)

Donc :

 

^{ex 2 ex  1 0} par suite: ^f

 

^{x 0}

3)montrons que :

   

^{; 2 3}

1

x x

x f x x e

    e



 

^{1 3 2 3 3}

1 1

x x

f x x x

e e

      

 

 

³



¹



³ 3 3 3

2 2

1 1

x x

x x

e e

f x x x

e e

     

     

 

 

^{2 3}

1

x x

f x x e

  e



4) Etude des branches infinies ?

a)On a

 

^{1 3}

x 1 f x x

  e

 donc    ¹ ³

x 1 f x x

  e



Donc : ^lim    ¹ ^{lim 3 0}

x 1

x f x x x

    e 



Par suite :la droite d’équation

 

^{ y x 1 est une}

asymptote oblique a la courbe 𝐶𝑓 au voisinage de +∞ et on a aussi :

  

¹



^{3 0}

x 1

f x x

   e 

 Donc :la courbe 𝐶𝑓 est au-dessus de la droite d’équation

 

^{ y x 1}

b) On a

 

^{2 3}

1

x x

f x x e

  e

 donc

  

2



³

1

x x

f x x e

   e

 Donc : ^lim

  

²



^{lim 3 0}

1

x

x x x

f x x e

    e 



Par suite :la droite d’équation

 

^{D y x 2 est une}

asymptote oblique a la courbe 𝐶𝑓 au voisinage de  et on a aussi :

  

²



^{3 0}

1

x x

f x x e

   e 



Donc :la courbe 𝐶𝑓 est au-dessous de la droite d’équation

 

^{D y x 2}

Exercice9 : Considérons la fonction 𝑓 définie par :

  

^{x 4}



^{x 1}

f x  e  e 

1)déterminer D_f et calculer les limites aux bornes de D_f

2)montrer que :



 ^{x }

  

^{4 1}

1

x x

x

f x e e

x e x

 

 



3) Etudier la dérivabilité de la fonction 𝑓 à droite de 0 et interpréter géométriquement le résultat obtenu

4) montrer que :



 ^{x }

  

³



²



2 1

x x

x

e e f x

e

  

 5)Etudier les variations de 𝑓 et dresser son tableau de variation.

6) Etudier les branches infinies de la courbe 𝐶𝑓 Au voisinage de +∞

7)calculer : ^f



^{2 ln 2}



et construire la courbe 𝐶𝑓. Solutions : 1) ^{Df }



^{x /ex 1 0}



1 0 1 ln1 0

x x

e   e   x  x Donc : D_f  ^

   

lim lim ^x 4 ^x 1

x f x x e e

      

Car : lim ^x 4

x e

    et lim ^x 1

x e

   

2)

  

⁴



¹



⁴

 

¹



²

1

x x

x x

x

e e

e e

f x

x x x e

 

 

 



  

⁴



¹



4 1

1 1

x x x x

x x

e e

f x e e

x x e e x

   

  

 

3)

   

0 0

0 4 1

lim lim

0 1

x x

x x x

f x f e e

x e x

 

 

    

 

0 0

4 1

lim lim

1

x x

x x x

e e

e x

 

 

 

 

 puisque : 0

lim 1 1

x x

e

 x



 



Et

0

lim ^x 4 3

x _e

    et

0

lim ^x 1 0

x _ e ^

  

Donc :

   

0

lim 0

0

x

f x f

 x



  



Donc la fonction 𝑓 n’est pas dérivable à droite de 0

Interprétation géométriquement :

la courbe 𝐶𝑓 admet une demie tangente vertical adroite du point ^O

 

^0;0 dirigé vers le bas

car :

   

0

lim 0

0

x

f x f

 x



 

 

   

^{   }

 

^

4) montrons que :



 ^{x }

  

³



²



2 1

x x

x

e e f x

e

  

 ?

   

^{x 4}



^{x 1}

 ^

^{x 4}

^

^{x 1}

^

^{x 4}

^ 

^{x 1}



f x  e  e   e   e   e  e  

    

¹

 

⁴



1 4 1

2 1 2 1

x x x

x x x x x

x x

e e e

f x e e e e e

e e

  

       

 

 

²



¹



²

^

⁴

^

²



¹

 

⁴



2 1 2 1

x x x x x x x x

x x

e e e e e e e e

f x

e e

     

  

 

 

2 ² 2 ² 4 3 ² 6 ³



²



2 1 2 1 2 1

x x

x x x x x x

x x x

e e

e e e e e e

f x

e e e

    

   

  

5)le signe de : ^{f x}

 

est celui de e^x2

car ³ 0

2 1

x x

e e

 



^{ x }



2 0 2 ln 2

x x

e   e   x

 

^{ln 2}



^{ln 2 4}



^{ln 2 1}

^

^{2 4}

^

^{2 1 2}

f  e  e      

6) Etude des branches infinies de la courbe 𝐶𝑓 Au voisinage de +∞ ?

 

4

lim lim 1

x

x

x x

f x e

x x x e

 

 

    

 

On a : lim

x x

e

 x   et 4

lim 0

x^x  et lim ^x 1

x e

   

Donc :

 

lim

x

f x

 x   Donc : la courbe 𝐶𝑓 admet une branche parabolique dans la direction de l’axe des ordonnées au voisinage de +∞



^{2ln 2}

 

^{2ln 2 4}



^{2ln 2 1}



^{ln 4 4}



^{ln 4 1}

^{ }

^{4 4 4 1 0}

f  e  e   e  e     

Exercice10 :: Considérons la fonction 𝑓 définie par : ^{f x}

 

^{ exe2x}

1)déterminer D_f et calculer les limites aux bornes de D_f

2) Etudier la continuité et la dérivabilité de la fonction 𝑓 à droite de 0 et interpréter

géométriquement le résultat obtenu

3)Etudier les variations de 𝑓 et dresser son tableau de variation.

4) construire la courbe 𝐶𝑓.

Solutions : 1) ^{Df }



^{x /exe2x 0}



2 2

0 2 0

x x x x

e^ e^  e^ e^      x x x Donc : Df 



^0;



 

²

lim lim ^{x x} 0

x f x x e^ e^

    

Car : lim ^x 0

x e^

  et lim ^2x 0

x e^

 

2) a)

 

²

 

0 0

lim lim ^{x x} 0 0

x _ f x x _ e^ e^ f

     

Donc 𝑓 est continue à droite de 0 b)

   

²

 

0 0 0

0 1

lim lim lim

0 ²

x x

x x

x x x

e e

f x f e e

x x x

  

 

 

  

    



0

lim 1

x x

x

e e

x x



 



  

 on a :

0

lim

x x

e

 x



  et

0

lim 1 1

x x

e

 x





 



Donc :

   

0

lim 0

0

x

f x f

 x



  



Donc la fonction 𝑓 n’est pas dérivable à droite de 0

Interprétation géométriquement :

la courbe 𝐶𝑓 admet une demie tangente vertical adroite du point ^O

 

^0;0 dirigé vers le haut

car :

   

0

lim 0

0

x

f x f

 x



 

 

   

^{   }

 

^

3)Etude des variations de 𝑓 :

  

²

 ^

²₂

^

²

2

x x

x x

x x

e e

f x e e

e e

 

 

 

 

    



 

²

 

2 2

2 2

2 1

2

2 2

x x

x x

x x x x

e e

e e

f x

e e e e

 

 

   

  

  

 

le signe de : ^{f x}

 

est celui de 2e^x1

car ₂

2

0 2

x

x x

e e e



  





^{ x }



on a : ²e ^{x 1 1}x

 

² e^x e

   

2  e^x 0 e^x 2x ln 2

 

^{ln 2 ln 2 2ln 2} _{ln 2}¹ _{2ln 2}^{1 1 1 1}

2 4 2

f e e

e e

 

      

4) la courbe 𝐶𝑓 :

Exercice11 : Considérons la fonction 𝑓 définie

par :

 

₂

1

x x

f x e

e

 

1)déterminer D_f et calculer les limites aux bornes de D_f

2)Etudier les variations de 𝑓 et dresser son tableau de variation.

3) montrer que 𝑓 admet une fonction réciproque définie sur un intervalle J que l’on déterminera

4) déterminer : ^f1

 

^x  ^{x J} Solutions :

 

₂

1

x x

f x e

e

 



^{/1 2x 0}



Df  x e 

2 2 0 2

1e ^x   0 1 e ^x e e ^x  0 2x x 0

Donc : Df  



^{, 0}



 

2

lim lim 0 0

1 1 0

x x

x x

f x e

   e  

 