Nombre complexes: Aspect trigonométrique

(1)

Nombre complexes: Aspect trigonométrique

BOUOPDA FRANCIS Sous l’encadrement de

Pr.Christophe MOUAHA (Maitre de Conférences) Dr.Siméon FOTSO (Chargé de Cours)

Mr.ADJABA BIWOLI JEAN PIERRE(IPN/MATHS) Et de Mr.TCHOKONA DONATIEN(PLEG)

Yaoundé, le 1^er janvier 2001

(2)

Chapitre 2

NOMBRES COMPLEXES : ASPECT TRIGONOMETRIQUE

2.1 Présentation de la ressource

Objectif pédagogique général de la ressource

Cette ressource vise permet à l’élève de résoudre des problèmes faisant appel aux aspects trigonométriques des nombres complexes.

Objectifs pédagogiques spécifiques

A la fin de cette ressource l’élève doit être capable de :

– déterminer l’argument d’un produit et d’un rapport de deux nombres complexes ; – de passer de la forme algébrique d’un nombre complexe à la forme trigonométrique

et vice versa ;

– d’énoncer la formule de Moivre et de l’utiliser pour déterminer les racines nième de l’unité, linéariser dans C...;

– utiliser et exploiter diverses formules trigonométriques pour la résolution des pro- blèmes ;

– déterminer, interpréter et utiliser les racinesn^ième de l’unité.

Liens avec les autres parties du programme

Les parties du programme ayant un lien avec cette ressource sont :

• la trigonométrie ;

• le calcul des primitives et l’intégration ;

• les isométries et les similitudes du plan.

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2.2 Aspect trigonométrique d’un nombre complexe

Les apports de la ressource à ces parties sont :

• la formule de Moivre permet de montrer les formules trigonométriques ;

• la linéarisations permet de calculer les intégrales de la formeR

(acosⁿx+bsin^mx)dx n, m∈N;a, b, x∈R;

• elle permet de calculer le rapport et l’argument d’une similitude (isométrie) et plus encore, elle permet de trouver facilement l’expression analytique d’une application affine.

Pré-requis

Pour mieux aborder cette ressource, il est conseillé à l’élève d’être familiarisé avec, les notions de structures algébriques, les formules usuelles de trigonométrie, et de maitriser parfaitement l’ensemble C des nombres complexes.

Introduction et Historique(voir [6])

Au XVI siècle, les mathématiciens italiens Jérôme Cardan et Raffaele Bombelli ont introduit des nombres "imaginaires" ayant un carré négatif, pour résoudre des équations du troisième degré. Deux siècles plus tard, Leonhard Euler et Jean le Rond d’Alembert ont parachevé la création des nombres complexes et fixé les notations actuelles, en particulier celle du nombre i. Aujourd’hui, les nombres complexes sont utilisés non seulement dans toutes les branches des mathématiques, en particulier en trigonométrie et en géométrie, mais aussi dans d’autres sciences comme la physique.

2.2 Aspect trigonométrique d’un nombre complexe

2.2.1 Argument et forme trigonométrique d’un nombre complexe

Activité 2.1.

Soit z =√

3 +i un nombre complexe, a et b désignent respectivement la partie réelle et la partie imaginaire de z.

1. Déterminer a et b.

2. Calculer le module de z. On le note |z|.

(4)

3. Déduire l’existence d’un θ appartenant à R tel que cosθ = _|z|^a et sinθ = _|z|^b . Le réel θ est appelé argument de z.

4. Ecrire z en fonction de θ et de |z|. Cette forme est appelée forme trigonométrique de z.

5. Soitz =a+ib un nombre complexe non nul, écrire z sous forme trigonométrique.

Solution.

1. – La partie réelle de z est:a=√ 3 – La partie imaginaire de z est : b=1 2. Calculons la valeur |z| :

|z|=√

a²+b²

= q

(√

3)²+ 1²

= 2

3. Cherchons θ∈R /cosθ= ^a_r et sinθ = ^b_r. 2 = √

3 + 1 ⇒(2)² = 3 + 1

⇒1 = ³₄ +¹₄

⇒1 = (

√3

2 )²+ (¹₂)²

⇒1 = (cos^π₆)²+ (sin^π₆)²

Prendre θ= ^π₆ et







cosθ=

√3 2

sinθ= ¹₂ 4. z =√

3 +i= 2(

√3

2 +¹₂i) = 2(cos^π₆ +isin^π₆)

5. |z|=√

a²+b² ⇔a²+b² =|z|²

⇔ _|z|^a²2 + _|z|^b²2 = 1

⇔(_|z|^a)²+ (_|z|^b )² = 1

Il existe θ∈R/







cosθ = a

|z|

sinθ = b

|z|

⇔ z =|z|(cosθ+isinθ)

Activité 2.2.

Soient M,N les points du plan d’affixes respectives z = √

3 +i, z₁ = 1

(5)

1. Placer les points O, N et M dans le plan P.

2. Calculer d(O,M) et |z| et Comparer d(O,M) et|z|.

3. Calculercosθ,sinθ où θ=(−→\ i ,−−→

OM) et comparer argz et θ.

4. Exprimer z en fonction de |z| et θ. Cette forme est appelée forme trigonométrique de z.

5. Donner une interprétation géométrique de l’argument d’un nombre complexe non nul z.

Définition 2.1.

Soit z = a+ib un nombre complexe non nul et M un point d’affixe z. On appelle argument de z toute mesure de l’angle orienté (~i,\−−→

OM).

Remarque 2.1.

Soit z =a+ib un nombre complexe non nul, si θ est un argument de z et |z| le module de z alors :







cosθ = _|z|^a sinθ = _|z|^b Définition 2.2.

Soit z ∈C^∗, z s’écrit en fonction de son module (|z|) et θ, où θ est un argument de z.

z =|z|(cosθ+isinθ) (2.1) On dit alors que z =|z|(cosθ+isinθ) est écrit sous forme trigonométrique.

Notation

Soit z ∈ C, z=|z|(cosθ+isinθ),cosθ+isinθ se note e^iθ et est appelée fonction exponentielle. z s’écrit alors

z =|z|e^iθ (2.2)

Cette forme est appelée la forme exponentielle de z.

(6)

Propriété 2.1.

Soient z =|z|(cosθ+isinθ)et z⁰ =|z⁰|(cosθ⁰+isinθ⁰) deux nombres complexes non nuls.

1. Si z=r(cosθ+isinθ)avec r>0 alors |z|=r etarg(z) =θ[2π]

2. Si z=z’ alors |z|=|z⁰| et θ=θ⁰+ 2kπ(k ∈Z) Exemple 2.1.

Calculer le module, un argument, écrire sous forme trigonométrique et exponentielle les nombres complexes suivants. z₁ = 1 +i√

3; z₂ = 2 + 2i; z₃ =−1−i; z₁. a. z₁ = 1 +i√

3

|z₁|=√

1 + 3 =√ 4 = 2







cos arg(z₁) = ¹₂ sin arg(z1) =

√ 3 2

⇐⇒arg(z₁) = ^π₃[2π]

z₁ = 2(cos^π₃ +isin^π₃) = 2eⁱ^π³. b. z₂ = 2 + 2i

|z₂|=√

4 + 4 =√

8 = 2√ 2







cos arg(z₂) = ²

2√ 2 =

√ 2 2

sin arg(z₂) = ²

2√ 2 =

√2 2

⇐⇒arg(z₂) = ^π₄[2π]

z₂ = 2√

2(cos^π₄ +isin^π₄) = 2√ 2eⁱ^π⁴.

(7)

c. z₃ =−1 +i

|z₃|=√

1 + 1 =√ 2







cos arg(z₃) = ⁻¹^√

2

sin arg(z3) =

√ 1 2

⇐⇒arg(z₃) = ^3π₄ [2π]

z₃ =|√

2|(cos^3π₄ +isin^3π₄ ) =√ 2eⁱ^3π⁴

2.2.2 Argument des nombres complexes particuliers

Activité 2.3.

Soienta, b, c ∈R^∗ etz, z⁰, g les complexes définis par :z=a+ia, z⁰ =ib etg =c.

Soient M,N,P les points d’affixes respectives z, z⁰ et g.

i. Placer les points M,N et P dans le planP.

ii. Déterminer le module et un argument des nombres complexes z, z’ et g.

iii. SoientM⁰, N⁰etP⁰ les points d’affixes respectivesz, z⁰ et−g.

a. Placer M⁰, N⁰etP⁰ dans le plan P.

b. En déduire le module et l’argument de z, z⁰ et g.

iv. Quelle relation existe-t-il entre l’argument de z et l’argument de z.

Solution.

i.

ii. a Calculons le module de z, z’ et g.

|z|=√

a²+a² =|a|√ 2

(8)

|z⁰|=√

b²+ 0² =|b|

|g|=√

c² =|c|

b Calculons un argument de z, z’ et g.

arg(z) = (−→\ i ,−−→

OM) = ^π₄ +kπ arg(z⁰) = (−→\

i ,−−→

ON) = ^π₂ +kπ arg(g) = (−→\

i ,−→

OP) = 0 +kπ iii. arg(z) =(−→\

i ,−−→

OM⁰) =−^π₄ +kπ arg(z⁰) = \

(−→ i ,−−→

ON⁰) =−^π₂ +kπ arg(−g) =(−→\

i ,−−→

OP⁰) =π+kπ

iv. Nous constatons que arg(z) =−arg(z)[2π]

Propriété 2.2.

Soit z un nombre complexe ;

1. z est un nombre réel non nul, si et seulement si arg(z) = 0 +kπ(k ∈Z).

2. z est un nombre réel non nul, strictement positif si et seulement si arg(z) = 0 + 2kπ(k ∈Z).

3. z est un nombre réel non nul, strictement négatif si et seulement si arg(z) =π+ 2kπ(k ∈Z).

4. z est un imaginaire pur si et seulement si arg(z) = ^π₂ +kπ(k ∈Z).

5. arg(z) =−arg(z)[2π].

Exercice d’application 2.1.

Soit i le complexe imaginaire pur tel que i² =−1.

a) Calculer le module et un argument de i.

b) Mettre le complexei sous la forme trigonométrique.

c) Calculeriⁿ, ∀n ∈N. d) En déduire la sommeS =

n

P

k=0

i^k. e) Simplifier les expressions suivantes :

i I =i¹⁰⁰⁰⁰⁰ ii J =i^23000004

iii K =i¹⁰⁰⁰⁰⁰+i^23000004

iv L=i^5000000 +i^7896543+i⁴¹²³⁶

(9)

2.3 Formule de Moivre et applications

2.2.3 Exercices d’entrainement

2.a Déterminer le module et un argument des nombres complexes suivants : a) 3i

b) 2 +√ 3i c) −4 d) √

6 +i√ 2

2.b Écrire sous forme algébrique les nombres complexes suivants : a) (2 + 2i)(1−i)

b) ⁻²⁺ⁱ

√ 3 1+3i

c)

√ 3 1+2i

d) (−1−i)⁴

2.c Placer dans le plan complexe les points d’affixes suivants : a) z =eⁱ^π³

b) z = 3eⁱ^π⁴ c) z = 1 +e⁻ⁱ^π⁶ d) z =e⁻ⁱ^π⁴ +eⁱ^π⁴

2.d Soit z₁ = 1 +iet z₂ = 1 +i√ 3.

a) Déterminer le module et un argument de z₁ etz₂.

b) Écrire sous forme algébrique et sous forme trigonométrique le produit z₁z₂. c) En déduire les valeurs de cos^7π₁₂ etsin^7π₁₂

2.3 Formule de Moivre et applications

2.3.1 Formule de Moivre

Activité 2.4.

Cette activité a pour objectif d’énoncer et de montrer la formule de Moivre.

Considérons la fonction : f :R −→ C

θ 7−→ cosθ+isinθ

(10)

1. Montrer quef(θ+θ⁰) =f(θ)f(θ⁰) 2. En déduire que f(2θ) = (f(θ))² 3. Montrer que







cos 2θ= cos²θ−sin²θ sin 2θ = 2 cosθsinθ

4. En utilisant la question 1), montrer que f(nθ) = (f(θ))ⁿ ∀n∈N. 5. Montrer quef(nθ) = (f(θ))ⁿ ∀n∈N par récurrence sur n.

6. En utilisant la question précédente, déterminer l’expression de cosnθ et sinnθ.

7. En déduire la formule de Moivre c’est-à-dire f(nθ) = f(θ)ⁿ ∀n∈Z ∀θ∈R. Solution.

1. f(θ+θ⁰) = cos(θ+θ⁰) +isin(θ+θ⁰)

=cosθcosθ⁰−sinθsinθ⁰+i(sinθcosθ⁰+ cosθsinθ⁰)

=cosθcosθ⁰−sinθsinθ⁰+isinθcosθ⁰ +icosθsinθ⁰

=cosθ⁰(cosθ+isinθ)−sinθ⁰(sinθ−icosθ)

=cosθ⁰(cosθ+isinθ) +i²sinθ⁰(sinθ−icosθ)

=cosθ⁰(cosθ+isinθ) +isinθ⁰(isinθ−i²cosθ)

=cosθ⁰(cosθ+isinθ) +isinθ⁰(isinθ+ cosθ)

=(cosθ+isinθ)(cosθ⁰+isinθ⁰)

=f(θ)f(θ⁰)

2. f(2θ) =f(θ+θ) d’après la question 1.) avecθ =θ⁰

=f(θ)f(θ)

=f(θ)²

3. f(2θ) = cos 2θ+isin 2θ

= (cosθ+isinθ)²

= cos²θ+ 2isinθcosθ−sin²θ

= cos²θ−sin²θ+i2 sinθcosθ Donc







cos 2θ = cos²θ−sin²θ sin 2θ = 2 cosθsinθ

(11)

4. f(nθ) =f(θ+ (n−1)θ)

=f(θ)f((n−1)θ)

=f(θ)f(θ)f((n−2)θ)

=f(θ)×...×f(θ)

| {z }

nf ois

=f(θ)ⁿ

5. Désignons par P(n) cette propriété.

Pour n=1 (cosθ+isinθ)¹ = cos 1θ+isin 1θ D’où P(1) est vraie

Supposons que ∀k < n p(k) est vraie et montrons que P(n) est aussi vraie.

En effet

(cosθ+isinθ)ⁿ= (cosθ+isinθ)ⁿ⁻¹(cosθ+isinθ)

= (cos(n−1)θ+isin(n−1)θ)(cosθ +isinθ) (hypothèse de récurrence)

= cos(n−1)θcosθ+icos(n−1)θsinθ+isin(n−1)θcosθ−sin(n−1)θsinθ

= cos((n−1)θ+θ) +isin((n−1)θ+θ)

= cosnθ+isinnθ D’où P(n) est aussi vraie

Donc∀n ∈N(cosθ+isinθ)ⁿ= cosnθ+isinnθ 6. (cosnθ+isinnθ) = (cosθ+isinθ)ⁿ

=Pn

k=0C^k_n(cosθ)^k(isinθ)^n−k (D’après la formule du Binôme de Newton)

Donc







cosnθ=Re(Pn

k=0C^k_n(cosθ)^k(isinθ)^n−k) sinnθ=Im(Pn

k=0C^k_n(cosθ)^k(isinθ)^n−k) 7. Soit n∈Z⁻ , -n∈N

(cosθ+isinθ)ⁿ= 1

(cosθ+isinθ)⁻ⁿ

= 1

cos−nθ+isin−nθ

= (cosnθ+isinnθ)

(cos−nθ+isin−nθ)(cosnθ+isinnθ)

= cosnθ+isinnθ

cos²nθ−isinθcosθ+isinθcosθ+ sin²nθ

= cosnθ+isinnθ cos²nθ+ sin²nθ

(12)

= cosnθ+isinnθ

Il en résulte que : (cosθ+isinθ)ⁿ = cosnθ+isinnθ ∀n ∈Z. Propriété 2.3. (Formule de Moivre)

Pour toutθ ∈R et pour tout n ∈Z (cosθ+isinθ)ⁿ = cosnθ+isinnθ Proposition 2.1.

Pour toutθ ∈R et pour tout n ∈N :







cosnθ= êînθ^+e₂^−inθ sinnθ= êînθ^−e_2i^−inθ Corollaire 2.1. (Formule d’Euler)

∀θ ∈R cosθ = e^iθ+e^−iθ

2 et sinθ= e^iθ−e^−iθ 2i

2.3.2 Module et argument d’un produit (rapport) de nombres complexes

Activité 2.5.

Soitz =re^iα =r(cosα+isinα)et z⁰ =r⁰e^iα⁰ =r⁰(cosα⁰+isinα⁰) deux nombres complexes non nul.

1. Prouver quezz⁰ =rr⁰(cos(α+α⁰) +isin(α+α⁰)).

2. En déduire|zz⁰| et arg(zz⁰).

3. Écrire ¹_z; −z; z sous la forme trigonométrique.

4. En déduire le module et un argument de ¹_z; −z; z.

5. En utilisant la formule de Moivre déterminer le module et un argument dezⁿ. 6. Écrire _z^z0 sous forme trigonométrique avec z⁰ ∈C^∗.

7. En déduire le module et un argument de _z^z0. Solution.

1. zz⁰ =reîαr⁰eîα⁰ =rr⁰eî(α+α⁰⁾ (d’après l’activité précédente ) 2. zz⁰ =rr⁰eî(α+α⁰⁾ avec rr⁰ >0

Donc |zz⁰|=rr⁰ et arg(zz⁰) = α+α⁰

3. ¹_z = _re¹iα = ¹_re^−iα = ¹_r(cos(−α) +isin(−α)) On fait de même pour les autres.

4. |¹_z|= ¹_r etarg¹_z

(13)

5. Nous pouvons déduire d’après la formule de Moivre que |zⁿ|=|rⁿ| et argzⁿ=nα

6. _z^z0 = ^re^iα

r⁰eîα⁰ = _r^r0eîαe^−iα⁰ = _r^r0eî(α−α⁰⁾ 7. |_z^z0|= _r^r0 et arg(_z^z0) = α−α⁰ Propriété 2.4.

∀z, z⁰ ∈C^∗

1. |zz⁰|=|z||z⁰| etarg(zz⁰) = arg(z) + arg(z⁰)[2π]

2. ∀n ∈N|zⁿ|=|z|ⁿ et arg(zⁿ) =narg(z)[2π]

3. |_z^z0|= _|z^|z|0|

4. arg(_z^z0) = arg(z)−arg(z⁰)[2π]

5. |¹_z|= _|z|¹

6. arg(¹_z) =−arg(z)[2π]

2.3.3 Racines n^ième d’un nombre complexe

Etant donné un nombre complexe Z et un entier naturel non nul n, le but de cette partie est de déterminer des nombres complexes z tels que zⁿ=Z

Activité 2.6.

Soit Z un nombre complexe non nul.

1. Vérifier que (1 +i)² = 2i. On dit que 1+i est une racine carrée de 2i.

2. Trouver une autre racine carrée de 2i.

3. On se donne l’équation (E) :z² =Z. Nous nous proposons de chercher z ∈C^∗ telle que z vérifie (E).

(a) Mettre z et Z sous forme trigonométrique.

(b) En utilisant la formule de Moivre mettre z² sous forme trigonométrique.

(c) Remplacer z et Z par leurs expressions dans (E).

(d) Résoudre (E).

Solution.

1. (1 +i)² = 1−2i−1 = 2i).

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2. On remarque que :(−1−i)² = 1 + 2i−1 = 2i.

Donc l’autre racine de 2i est -1-i.

3. (a) Z=|Z|(cosθ+isinθ) et z=|z|(cosα+isinα) avecα= argz et θ = argZ.

(b) z² = (|z|(cosα+isinα))².

=|z|²(cosα+isinα)².

=|z|²(cos 2α+isin 2α).

=|Z|(cosθ+isinθ).

(c) Comme|z|²,|z|>0Par identification on’a :











|z|² =|Z|

cos 2α= cosθ sin 2α= sinθ

=⇒







|z|=p

|Z|

α= ^θ₂ +kπ k ∈ {0,1}

Donc S ={p

|Z|(cos ^θ₂ +isin^θ)₂,p

|Z|(cos(^θ₂ +π) +isin(^θ)₂ +π)}

Proposition 2.2.

Soient z et Z deux nombres complexes non nuls, z est une racine carrée de Z si et seulement si z² =Z.

Activité 2.7.

Soit Z=a+ib un nombre complexe non nul etn ∈N. L’objectif de cet activité est de trouver des nombres complexes z tels que zⁿ =a+ib.

1. Supposons quea+ib = 1 (rechercher les racines n^ième de l’unité) 2. Supposons quea+ib = 1 +i (rechercher les racinesn^ième de 1+i)

3. Trouver z tel que zⁿ=a+ib avecn > 1. (rechercher les racines n^ième de a+ib) Solution.

1. Premier cas zⁿ = 1

Posons z =|z|(cosθ+isinθ) =⇒zⁿ =|z|ⁿ(cosnθ+isinnθ) = 1 Par identification :







|z|ⁿ= 1

nθ= 2kπ k ∈ {0,1, ..., n−1}

=⇒







|z|= 1

θ = ^2kπ_n k ∈ {0,1, ..., n−1}

Les racines nième de l’unité sont les z_k =eⁱ^2kπⁿ , k∈ {0,1, ..., n−1}

2. Deuxième cas on fait de même comme dans le premier cas.

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3. Cas général

Nous savons que zⁿ=|z|ⁿ(cosnθ+isinnθ)

Or zⁿ =Z d’où zⁿ=|Z|(cos(argZ) +isin(argZ)) Par identification on a :











|z|ⁿ=|Z|

cosnθ= cos(argZ) sinnθ= sin(argZ)

=⇒







|z|= pⁿ

|Z|

θ = ^arg_n^Z + ^2kπ_n k ∈ {0,1, ..., n−1}

Les racinesn^ième de Z=a+ib sont les complexesz_k = pⁿ

|Z|eⁱ^arg^Z+2kπⁿ , k∈ {0,1, ..., n−

1}.

Propriété 2.5.

Soit Z =re^iα un nombre complexe non nul et n un entier naturel(n ≥2).

1. Z admet n racines n^ième telles que :z_k= pⁿ

|Z|eⁱ^arg^Z+2kπⁿ , k ∈ {0,1, ..., n−1}.

2. Les images de ces racines sont les sommets d’un polygone régulier à n cotés inscrit dans le cercle de centre O et de rayon √ⁿ

r.

3. Si z et g sont les racines nième d’un nombre complexe Z non nul, alors ^z_g et ^g_z sont les racines nième de l’unité.

4. La somme de toutes les racines n^ièmes de Z est égale à 0.

5. L’ensemble de toutes les racinesn^ièmes de Z forme un groupe pour la multiplication de C.

Preuve

1. D’après l’activité précédente.

2. SoitM_k d’affixe z_k,OM_k =|z_k|=|z₀|=|√ⁿ

r|=⇒M_k∈C(O;√ⁿ r) M_kM_k+1 =|z_k+1−z_k|=|z_k||eⁱ^2πⁿ −1|=|eⁱ^2πⁿ −1|√ⁿ

r= 2 sin(^π_n)√ⁿ r.

M₀M₁ =M₁M₂ =...=M_n−1M_n =M_nM₀ =⇒ polygone régulier de n cotés inscrit dans le cercle C(O;√ⁿ

r).

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3. Montrons que (^z_g)ⁿ= 1 Pour cela (^z_g)ⁿ= ^z_gⁿn = ^Z_Z = 1.

De même on montre que ^g_z = 1.

4. Posons S=z0+z1+z2+...+zn−1 etq =eⁱ^2πⁿ. On remarque que, zk+1=qzk

S =z₀+qz₀+z₀q²+...+qⁿ⁻¹z₀

=z₀(1 +q+q²+...+qⁿ⁻¹)

=z₀(

n−1

P

k=0

q^k)

=z0qⁿ−1

q−1 (Or qⁿ= 1)

= 0

2.3.4 Linéarisation

Activité 2.8.

1. En utilisant la formule d’Euler exprimercos²θ en fonction decoskθoùk∈N.Cette écriture est une linéarisation de cos²θ

2. Linéarisercos³θ,sin³θ 3. Linéarisercos²θsinθ Solution.

1. D’après la formule d’Euler on a : cos²θ= (^e^iθ^+e₂^−iθ)²

= ¹₄(e^i2θ+ 2 +e^−i2θ)

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= ¹₂(^e^i2θ^+e₂^−i2θ +²₂)

= ¹₂(cos 2θ+ 1)

= ^{cos 2θ+1}₂

2. En utilisant toujours la formule d’ Euler nous avons : cos³θ= (^e^iθ+e

−iθ

2 )³

= ¹₈(e^i2θ+ 2 +e^−i2θ)(e^iθ+e^−iθ)

= ¹₈(eî3θ+ 2eîθ+e^−iθ+eîθ+ 2e^−iθ) +e^−i3θ

= ¹₄(êî3θ^+e₂^−i3θ + 3êîθ^+e₂^−iθ)

= ¹₄(cos 3θ+ 3 cosθ)

De même on montre que sin³θ= ¹₄(−sin 3θ+ 3 sinθ) En effet

sin³θ= (^e^iθ−e

−iθ

2 )³

=−_8i¹(e^i2θ−2 +e^−i2θ)(e^iθ −e^−iθ)

=−_8i¹(eî3θ−2eîθ +e^−iθ −eîθ+ 2e^−iθ)−e^−i3θ

=−¹₄(êî3θ^−e_2i^−i3θ + 3êîθ^−e_2i^−iθ)

= ¹₄(−sin 3θ+ 3 sinθ) Définition 2.3.

Linéariser c’est transformer un produit en une somme, développer les expressions de la forme cosⁿx et sin^mx en fonction de cosαx ou en fonction de sinβx avec α, β, ...

étant des entiers naturels non nuls.

A. Utilisations des formules trigonométriques pour linéariser a. Forme linéaire de cos²x et sin²x

cos 2x= 2 cos²x−1 ⇐⇒ cos²x= ¹₂(1 + cos 2x) De même

cos 2x= 1−2 sin²x ⇐⇒ sin²x= ¹₂(1−cos 2x) b. Forme linéaire de cosacosb







cos(a+b) = cosacosb−sinasinb (1) cos(a−b) = cosacosb+ sinbsina (2)

(1) + (2) ⇐⇒ cosacosb= ¹₂(cos(a+b) + cos(a−b))