() () () () LIMITES DE SUITES.

LIMITES DE SUITES.

Pour pouvoir comprendre ce chapitre, vous devez connaître et maîtriser la partie Suites du document :

"A retenir de la première S".

I. Limite d une suite.

1. Limite infinie.

Définition : Une suite ( ) ^u

a pour limite  signifie que tout intervalle ouvert de la forme ] A  [ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. On note alors lim

n

u

.

Une suite ( ) ^u

a pour limite  signifie que tout intervalle ouvert de la forme ]  b [ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. On note alors lim

n

u

Intuitivement, une suite tend vers + si tous ses termes (sauf un nombre fini) finissent par dépasser n’importe quel nombre A .

Graphiquement :

Exemples :

Soit ( ) ^u

la suite définie par u

n , pour tout n de .

Soit ( ) ^v

la suite définie par v

n ², pour tout n de .

2. Limite finie.

Définition : Soit ( ) ^u

une suite numérique et L un nombre réel.

La suite ( ) ^u

converge vers L ou a pour limite L quand n tend vers + signifie que tout intervalle ouvert contenant L contient aussi tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.

On note lim

n

u

L.

Une suite qui n est pas convergente est dite divergente.

Intuitivement, une suite converge vers un réel L lorsque ses termes s accumulent autour de L à partir d un certain rang.

Graphiquement :

Théorème (admis) : La limite d une suite, lorsqu elle existe, est unique.

3. Limites à connaître.

lim

n

1

n lim

n

1

n

lim

n−

¹

n

0 pour tout entier naturel k.

lim

n

n lim

n

n² lim

n

n

lim

n

n pour tout entier naturel k.

4. Des suites sans limite.

Une suite n a pas forcément de limite.

Exemples :

 Soit ( ) ^v

la suite définie par v

sin(n ) pour tout n de .



II. Opérations et limites.

Dans les tableaux (qui sont admis) suivants, L et L sont des réels.

1. Limite d’une somme.

Si ( ) ^u

a pour limite L L ou + L ou +

et si ( ) ^v

^{a pour}

limite

L +

alors ( ^u

^v

) ^{a pour}

limite

2. Limite d’un produit.

Si ( ) ^u

a pour limite L L > 0 ou L > 0 ou L < 0 ou L < 0 ou 0

et si ( ) ^v

a pour limite L + + + ou

alors ( ^u

^v

) ^{a pour}

limite

3. Limite d’un quotient.

a. Si la limite du dénominateur n’est pas nulle.

Si ( ) ^u

a pour limite L ϵ L > 0 ou et si ( ) ^v

a pour limite L ϵ + ou L > 0 L < 0 L > 0 L < 0 + ou

alors

 

  u

v

a pour limite

b. Si la limite du dénominateur est nulle.

Si ( ) ^u

a pour limite L > 0 ou + L > 0 ou + L < 0 ou L < 0 ou 0 et si ( ) ^v

a pour limite

0 en restant positive à partir d’un certain rang

0 en restant positive à partir d’un certain rang

0 en restant positive à partir d’un certain rang

0 en restant positive à partir d’un certain rang

0

alors

 

  u

v

a pour limite

LES CAS DE F I SERONT TRANSFORMES POUR POUVOIR DETERMINER LA LIMITE.

Exemples :

Soit ( ) ^u

la suite définie par u

( n ² 3n 2)

 

  1 n 4

Soit ( ) ^v

la suite définie par v

2n

8 n² 3 n 1

Soit ( ) ^z

la suite définie par z

2n

5n ² 3n 1 3 n

2n 5

Soit ( ) ^w

la suite définie par w

= n² 5 n

III. Limites et comparaison.

1. Théorème des gendarmes.

Théorème des gendarmes (admis) : Si ( ) ^u

^, ( ) ^v

^et ( ) ^w

sont trois suites telles que v

u

w

à partir d un certain rang.

Si les suites ( ) ^v

^et ( ) ^w

convergent vers la même limite L, alors ………

Exemples :

Soit ( ) ^u

la suite définie sur * par u

n ( 1 )

n .

Soit ( ) ^v

la suite définie sur par v

2cos( n) n².

2. Théorèmes de comparaison.

( ) ^u

^et ( ) ^v

sont deux suites. Si à partir d un certain rang n

, u

v

et si lim

n

u

, alors lim

n

v

Démonstration à connaître :

( ) ^u

et ( ) ^v

sont deux suites. Si à partir d un certain rang n

, u

v

et si lim

n

v

, alors lim

n

u

Démonstration à connaître :

IV. Limite d une suite géométrique.

Théorème : Soit q un réel.

Si q 1, alors ...

Si − 1 q 1, alors ...

Si q 1,alors ...

Démonstration à connaître :

Soit q un réel tel que q 1.

Soit q un réel tel que q 1.

Soit q un réel tel que 1 q 0.

Application :

Soit une suite géométrique de premier terme u

et de raison q. Alors, pour tout n de , u

u

q

.

 Soit ( ) ^u

la suite géométrique de premier terme u

5 et de raison 1 3 .

 Soit ( ) ^v

la suite géométrique de premier terme u

5 et de raison 8.