Suites et limites

Chapitre 2

Suites et limites

2.1 Exercices

1. Calcul des limites I.

(a) Calculer lim

n→+∞

n n+2. (b) Calculer lim

n→+∞

n²+1 4n²+5. (c) Calculer lim

n→+∞

√n²+2 2n . (d) Calculer lim

n→+∞

cos√ n n . (e) Calculer lim

n→+∞nsin_n¹2. (f) Calculer lim

n→+∞n²cos_n¹₂sin_n¹₃. (g) Calculer lim

n→+∞

sin(n+1)−sin(n−1) cos(n+1)+cos(n−1). (h) Calculer lim

n→+∞

sin(n+1)+sin(n−1) sinn . (i) Calculer lim

n→+∞

sin√

n³+n²+1 n³+n²+1 . (j) Calculer lim

n→+∞

√n²+1−√ n²+4

2 .

(k) Calculer lim

n→+∞(√

n²+ 7−p

(n+ 3)(n+ 6)).

(l) Calculer lim

n→+∞n(√

n⁴+ 4n+ 5−n²).

(m) Calculer lim

n→+∞

√n(√

n³+n−√

n³+ 1).

(n) Calculer lim

n→+∞

n³ 7ⁿcos√

n.

(o) Calculer lim

n→+∞

2ⁿ n!. (p) Calculer lim

n→+∞3ⁿe⁻³ⁿ. (q) Calculer lim

n→+∞(1 +_n²)ⁿ. (r) Calculer lim

n→+∞(1−_n¹)ⁿ. 21

CHAPITRE 2. SUITES ET LIMITES 22

(s) Calculer lim

n→+∞(1−_n¹₂)ⁿ. (t) Calculer lim

n→+∞n³(1−cos_n¹) sin_n¹. 2. Calcul des limites II.

(a) Calculer en fonction dex∈R: lim

n→+∞

1 1+n²x². (b) Calculer en fonction dex∈R: lim

n→+∞

1−n²x³ 1+n²x². (c) Calculer en fonction dex∈R,x6=−1 : lim

n→+∞

xⁿ−1 xⁿ+1

2

. (d) Calculer en fonction dex >0 : lim

n→+∞

√n(√ⁿ x−1).

3. Convergence I*.Soit (xn) une suite convergente et (yn) la suite d´efinie paryn=xn+1−xn. Montrer `a l’aide de la d´efinition d’une suite conver- gente que la suite (yn) converge et donner sa limite.

4. Convergence II*.Donner un exemple d’une suite (xn) telle que la suite (yn) d´efinie par yn = xn+1−xn converge vers 0 mais la suite (xn) est divergente.

5. Nonexistence d’une limite*.Montrer que lim

n→+∞sinnn’existe pas.

6. Suite g´eom´etrique.Soit (xn) la suite d´efinie par laxn+1 =qxnetx0=a o`uaet qsont r´eels. Montrer quexn=aqⁿ pour toutn∈N.

7. Une suite major´ee par une suite g´eom´etrique. Soit (xn)_n∈N une suite telle que pour tout entier natureln

|xn+1| ≤q|xn|

pour une constanteq∈]0,1[. Montrer par r´ecurrence que pour tout entier natureln

|xn| ≤qⁿ|x0|.

En d´eduire que (x_n) converge et donner sa limite.

8. Suites r´ecurrentes nonlin´eaires I.

(a) Calculer la limite de la suite (x_n) d´efinie par x_n+1=1

4(3x_n+ 1), x₀= 0 (b) Calculer la limite de la suite (xn) d´efinie par

xn+1=1

4(xn+ 4), x0= 0

CHAPITRE 2. SUITES ET LIMITES 23

(c) Calculer la limite de la suite (x_n) d´efinie par x_n+1= xn+ 1

3x_n+ 1, x₀= 1 (d) Calculer la limite de la suite (xn) d´efinie par

xn+1= 1 1 +xn

, x0= 0 (e) Calculer la limite de la suite (xn) d´efinie par

x_n+1=√

3x_n, x₀= 1

9. Suites r´ecurrentes lin´eaires d’ordre 2.

(a) Calculer la limite de la suite (xn) d´efinie par xn+1= 1

2(xn+xn−1), x0= 0, x1= 1 (b) Calculer la limite de la suite (x_n) d´efinie par

xn+1= 1

4(5xn−x_n−1), x0= 0, x1= 1 (c) Montrer que la suite (xn) d´efinie par

x_n+1= 5x_n−4x_n−1, x₀= 0, x₁= 1 est divergente.

10. R´ecurrence logistique - la route vers le chaos.On consid`ere la suite (xn) d´efinie par

xn+1=µxn(1−xn), x0∈[0,1]

pour un param`etreµ∈]0,4]. Montrer quexn∈[0,1] pour tout n∈N. (a) Exempleµ= 1. Montrer que pour toutx0∈[0,1]

n→+∞lim xn= 0.

(b) Exempleµ = 2. Montrer que pour tout x0 ∈[0,1] la suite (xn) est donn´ee par

xn= 1 2−1

2(1−2x0)²ⁿ. Montrer ensuite que pour tout x0∈]0,1[

n→+∞lim xn= 1 2.

CHAPITRE 2. SUITES ET LIMITES 24

(c) Exemple µ = 4. On d´efinit θ₀ par x₀ = sin²θ₀. Montrer que pour tout x₀∈[0,1]

xn = sin²(2ⁿθ0).

Calculer lim

n→+∞xn pour toutθ0 de la formeθ0= ₂^πk et k∈N. Calculer lim

n→+∞x_n pour toutθ₀ de la formeθ₀= _3·2^π_k etk∈N. Donner la suite (x_n) six₀= sin^2π₅, i.e.θ₀=^π₅.

Facultatif pour voir plus : Etudier num´eriquement le comportement dex_n pour d’autres conditions initialesx₀.

2.2 Corrig´ es

1. Calcul des limites.

(a) lim

n→+∞

n n+2 = 1.

(b) lim

n→+∞

n²+1 4n²+5 =¹₄. (c) lim

n→+∞

√n²+2

2n = lim

n→+∞

n√

2+2/n² 2n =¹₂. (d) lim

n→+∞

cos√ n n = 0.

(e) lim

n→+∞nsin_n¹2 = 0 car 0≤sin_n¹ ≤_n¹. (f) lim

n→+∞n²cos_n¹₂sin_n¹₃ = 0.

(g) lim

n→+∞

sin(n+1)−sin(n−1)

cos(n+1)+cos(n−1) = lim

n→+∞

2 cosnsin 1

2 cosncos 1 = tan 1.

(h) lim

n→+∞

sin(n+1)+sin(n−1)

sinn = lim

n→+∞

2 sinncos 1

sinn = 2 cos 1.

(i) lim

n→+∞

sin√

n³+n²+1 n³+n²+1 = 0.

(j) lim

n→+∞

√n²+1−√ n²+4

2 = lim

n→+∞

−3 2(√

n²+1+√

n²+4) = 0.

(k) lim

n→+∞(√

n²+ 7−p

(n+ 3)(n+ 6)) =−⁹₂. (l) lim

n→+∞n(√

n⁴+ 4n+ 5−n²) = 2.

(m) lim

n→+∞

√n(√

n³+n−√

n³+ 1) = ¹₂. (n) lim

n→+∞

n³ 7ⁿcos√

n= 0.

(o) lim

n→+∞

2ⁿ n! = 0.

(p) lim

n→+∞3ⁿe⁻³ⁿ= 0.

(q) lim

n→+∞(1 +_n²)ⁿ= lim

n→+∞(1 +_n¹)ⁿ(1 +_n+1¹ )ⁿ⁺¹ⁿ⁺¹_n+2 =e². (r) lim

n→+∞(1−_n¹)ⁿ= lim

n→+∞

n−1 n

1

(1+_n−1¹ )ⁿ⁻¹ = ¹_e. (s) lim

n→+∞(1−_n¹2)ⁿ= lim

n→+∞(1−¹_n)ⁿ(1 +_n¹)ⁿ = 1.

(t) lim

n→+∞n³(1−cos_n¹) sin_n¹ =¹₂.