Limites de suites

Limites de suites

I Généralités avec les suites (rappels) :

A Suite définie de manière explicite:

Définition 1 :

Une suite est définie de manière explicite si son terme général s'écrit en fonction de .

Exemple 1 :

On définit la suite définie pour tout entier , tel que

Pour ce type de suites, on peut choisir directement le rang , pour lequel on veut calculer .

Par exemple, ici,

B Suite définie par une relation de récurrence:

Définition 1 :

Une suite est définie par récurrence

si on connait son premier terme et si son terme général s' écrit en fonction de termes précédents.

Exemple 1 :

On définit la suite définie pour tout entier , tel que

On a alors par exemple:

La définition d'une suite par récurence illustre l'algorithme de construction de la suite pour passer d'un rang au rang suivant. C'est pratique pour comprendre le programme de la suite, étape par étape.

Inversement, pour calculer le terme de rang 23 par exemple, il faut connaître le terme de rang 22, qui necessite la connaissance du terme de rang 21, etc...

II Limites de suites :

A Approche intuitive :

Chercher la "limite" d'une suite, c'est analyser le comportement des termes de cette suite quand prend des valeurs de plus en plus grandes.

Pour modéliser ce concept, on dit que tend vers . (un)

n

(un) n un = 2n+ 3

n un

u₂₃= 2 × 23 + 3 = 49

(un)

(un) n

u₁= 2u0+ 1 = 2 + 1 = 3

n

n +∞

1 sur 8

La suite définie sur par a pour limite .

En effet, les termes de la suite deviennent aussi grands que l'on souhaite pourvu qu’on choisisse un rang suffisamment grand.

Par exemple, est-il possible de trouver un rang , tel que ? On résout :

Pour tout entier supérieur à , on a donc

B Limite infinie : Définition 1 :

On dit que la suite admet pour limite si est aussi grand que l'on veut pourvu que soit suffisamment grand et on note: .

Remarque 1 :

La même définition en langage mathématique donnerait :

Remarque 2 :

Pour une limite égale à , on note :

C Limite finie : Exemple 1 :

Soit la suite définie pour par

On conjecture que la fraction devient négligeable devant 1 quand devient très grand.

En conséquence, il semble que la limite de cette suite soit égale à 1.

Définition 1 :

On dit que la suite admet pour limite si est aussi proche de que l'on veut pourvu que soit suffisamment grand et on note: .

Application :

En reprenant la conjecture précédente, avec , on noter : . Définition 2 :

Une définition mathématique de la convergence d'une suite vers un réel est :

D Suites convergentes et suites divergentes : Définition 1 :

On dit qu'une suite qui admet une limite finie converge vers . On dit aussi qu'une telle suite est convergente.

(un) N un= 2n+ 1 +∞

n

n un > 1000000 2n+ 1 > 1000000 ⟺ n> 999999 ≈ 500000

500000 2 un> 1000000

(un) +∞ un

n lim

n→+∞un = +∞

∀A∈R, ∃N ∈N, ∀n∈N,n>N,un>A

−∞ lim

n→+∞un= −∞

(un) n∈N^∗ un = 1 − 1

n u₁₀ = 1 − 1 = 0, 9

10

u₁₀₀= 1 − 1 = 0, 99 100

u1000= 1 − 1 = 0, 999

1000 1

n n

(un) L un L

n lim

n→+∞un=L

un = 1 − 1

n lim

n→+∞un = 1

(un) L

∀ϵ> 0, ∃N ∈N, ∀n>N, |un−L| <ϵ

L∈R L

2 sur 8

Exemple 1 :

On peut dire que la suite définie pour par converge vers 1.

est donc une suite convergente.

Définition 2 :

Une suite qui n'est pas convergente est dite divergente.

Exemple 2 :

On a vu précedemment que la suite définie sur par a pour limite . est donc une suite divergente. Sa limite n'est pas finie.

On peut dire que diverge vers . Remarque 1 :

Une suite qui est divergente n'admet pas nécessairement de limite infinie.

Par exemple, la suite de terme générale prend alternativement les valeurs -1 et 1.

C'est une suite alternée, qui n'admet donc pas de limite. Elle est donc divergente.

E Limites de suites de références (propriétés admises):

Propriété 1 :

, , ,

, ,

III Opérations sur les limites

A Limite d'une somme (propriétés admises):

Exemple 1 :

Déterminer la limite de la suite définie pour par Rédaction :

On sait que donc

Quelquesoit la constante, il existe toujours un assez grand pour que l'emporte et fasse tendre la suite vers .

Exemple 2 :

Soit et les suites définies pour tout

par et

On sait que : et

Les deux suites et sont donc toutes les deux des différences de suites qui tendent vers l'infini.

On conjecture les limites de ces suites : .

On conjecture que .

On analyse cette conjecture en observant que pour des très grand, . On dit que l'emporte sur pour des grandes valeurs.

Inversement, .

On conjecture que .

n∈N un= 1 − 1 (un) n

(un) N un= 2n+ 1 +∞

(un)

(un) +∞

(−1)ⁿ

n→+∞lim n= +∞ lim

n→+∞n² = +∞ lim

n→+∞√n= +∞

n→+∞lim 1 = 0

n lim

n→+∞ 1 = 0

n² lim

n→+∞ 1 = 0

√n

(un) n∈N un =n²− 1000

n→+∞lim n²= +∞

n→+∞lim n²− 1000 = +∞

n n²

+∞

(un) (vn) n∈N

un =n²−n vn =n−n²

n→+∞lim n² = +∞ lim

n→+∞n= +∞

(un) (vn)

u100= 100²− 100 = 9900

n→+∞lim un = +∞

n n² ≫n

n² n

v₁₀₀= 100 − 100² = −9900

n→+∞lim un = −∞ 3 sur 8

Les deux suites n'ont pas la même limite,

on ne peut donc pas donner un résultat général pour le schéma : ".

Tableau récapitulatif des sommes de limites (admis) :

Propriété 1 :

On retient qu'on peut opérer avec les limites, quand les suites convergent.

Une limite infinie l'emporte toujours sur une limite finie.

Deux limites infinies de même signes ne changent pas la limite infinie.

Attention, deux limites infinies de signes opposés donnent une Forme Indeterminée, F.I. en abrégé.

Méthode :

Lever une indertermination :

Soit la suite définie pour tout par .

On conjecture que le terme de plus haut degré l'emporte en . Pour le prouver, on factorise par ce terme :

. On sait que :

donc avec la propriété des produits de limites : . Avec la propriété des sommes de limites :

Ce qui permet de conclure, avec la propriété des sommes de limites : donc

B Limite d'un produit (propriétés admises):

Exemple 1 :

1 er cas : Soit et les suites définies pour tout

par et

On sait que : et

La suite est donc une suite sur le schéma :

Or .

Donc .

" +∞ − ∞

∙

∙

∙

∙

+∞ − ∞

(un) n∈N un= 2n²− 4n

+∞

un = 2n²− 4n=n²(2 − 4 × 1) n

n→+∞lim 1 = 0 n

n→+∞lim −4 × 1 = 0 n

n→+∞lim 2 − 4 × 1 = 2 n

n→+∞lim n²(2 − 41)= +∞

n lim

n→+∞un= +∞

(un) (vn) n∈N^∗

un =n² vn= _n¹

n→+∞lim n² = +∞ lim

n→+∞_n¹ = 0

un×vn +∞ × 0

un×vn =n²× 1 =n lim n

n→+∞un×vn = +∞

4 sur 8

Exemple 2 : 2ème cas :

Soit et les suites définies pour tout par et

On sait que : et

La suite est donc une suite sur le schéma :

Or .

Donc .

Les deux cas n'ont pas la même limite,

on ne peut donc pas donner un résultat général pour le schéma :" ".

On ne peut pas dire à l'avance qui l'emporte entre les deux suites.

C'est une forme Indertéerminée.

Tableau récapitulatif des produits de limites (admis) :

Pour les infinis, on applique la règle des signes.

Attention, le produit d'une limite qui tend vers zéro et d'une suite qui tend vers vers l'infini

donne une Forme Indeterminée

(Pour effectuer ce test si vous n'avez pas de codes : user mathsguyon mdp : totoche)

Méthode :

Lever une indertermination :

Soit la suite définie pour tout tel que par .

On sait que : donc .

On sait que : donc

On obtient donc une forme indéterminée : .

On factorise chaque facteur par son terme de plus haut degré :

ou encore : .

On sait que : , et que :

donc avec la propriété des produits de limites :

(un) (vn) n∈N^∗

un =n vn = _n¹2

n→+∞lim n= +∞ lim

n→+∞_n¹2 = 0

un×vn +∞ × 0

un×vn =n× _n¹2 = 1 lim n

n→0un×vn= 0

∞ × 0

+∞ × 0

(un) n∈N n> 2 un = (n²− 1)( 2 )

n− 2

n→+∞lim n²= +∞ lim

n→+∞n²− 1 = +∞

n→+∞lim 1 = 0

n lim

n→+∞ 2 = 0

n− 2

∞ × 0

un=n²(1 − )×

⎛⎜

⎜⎝

⎞⎟

⎟⎠ 1

n² 2 n

1 1 − 2

n

un = 2n(1 − )×

⎛⎜

⎜⎝

⎞⎟

⎟⎠ 1

n²

1 1 − 2

n

n→+∞lim 2n= +∞ lim

n→+∞1 − 1 = 1

n² lim

n→+∞ 1 = 1

1 − 2 lim n

n→+∞un= +∞

5 sur 8

Tableau récapitulatif des quotients de limites (admis) :

On applique la règle des signes si besoin, selon le signe de et de l'infini.

Exemple 1 :

Soit et les suites définies pour tout par

et .

On sait que : donc ,

par propriétés des sommes de limites.

On sait que :

On a alors :

par application de la propriété des quotients de limites : .

Exemple 2 :

1 er cas : Soit et les suites définies pour tout

par et .

On obtient : .

2ème cas : Soit et les suites définies pour tout par et

On obtient : .

Les deux cas n'ont pas la même limite,

on ne peut donc pas donner un résultat général pour le schéma :" ".

On ne peut pas dire à l'avance qui l'emporte entre les deux suites.

C'est une forme Indertéerminée.

L

(un) (vn) n∈N^∗

un = 2 + 1

n² vn=n

n→+∞lim = 1 = 0

n² lim

n→+∞= 2 + 1 = 2 n²

n→+∞lim =n= +∞

n→+∞lim 2 + 1 = 0 n² n

L → 0

∞

(un) (vn) n∈N^∗

un =n² vn=n

n→+∞lim un = +∞

vn

(un) (vn) n∈N^∗

un =n vn =n²

n→+∞lim un = 0 vn

∞ × 0

6 sur 8

Méthode :

Lever une indertermination :

Soit la suite définie pour tout par . On sait que :

et .

On est donc sur une forme indéterminée :

On factorise chaque expression par son terme de plus haut degré :

ou encore :

On sait que : , et

On a "levé" l'indétermination.

donc avec la propriété des quotients de limites :

IV Limites et comparaisons

A Théorèmes de comparaison (admis)

Theoreme 1:

Soit et deux suites définies sur .

Si, à partir d'un certain rang , on a , et , alors

Theoreme 2:

Soit et deux suites définies sur .

Si, à partir d'un certain rang , on a , et , alors

Méthode :

Lever une indertermination avec un théorème de comparaison

Soit la suite définie pour tout par .

L'expression sous la racine carrée est complexe et n'est pas une fonction de "référence".

Pour lever cette difficulté, on remarque que : Or, on sait que :

En application du théorème de comparaison, étant supérieure à une suite divergente vers on obtient :

B Théorèmes d'encadrement (admis)

Theoreme 3:

Soit , et , trois suites définies sur . Si, à partir d'un certain rang , on a ,

∞

∞

(un) n∈N un= n²+ 2

2n²− 1

n→+∞lim n²+ 2 = +∞

n→+∞lim 2n²− 1 = +∞

∞

∞

un =

n²(1 + 2 ) n² n²(2 − 1 )

n²

un = 1 + 2 n² 2 − 1

n²

n→+∞lim 1 + 2 = 1

n² lim

n→+∞2 − 1 = 2 n²

n→+∞lim un = 1 2

(un) (vn) N

N un <vn lim

n→+∞un = +∞

n→+∞lim vn= +∞

(un) (vn) N

N vn<un lim

n→+∞un = −∞

n→+∞lim vn= −∞

(un) n∈N un= 3n²+ √2n³+ 3n²+ 4n+ 5

∀n∈N,un ≥ 3n²

n→+∞lim 3n² = +∞

(un) +∞

n→+∞lim un = +∞

(un) (vn) (wn) N

N vn<un<wn 7 sur 8

et , alors

Méthode :

Lever une indertermination avec le théorème des gendarmes

Soit la suite définie pour tout par . On cherche à déterminer .

Pour tout entier naturel non nul, on sait que:

on peut diviser par car : Ce qui permet de déduire que :

Or, d'une part: et d'autre part:

La suite est donc "encadrée" par deux suites qui convergent vers . Donc, d'après le théorème des gendarmes

n→+∞lim vn = lim

n→+∞wn =L∈R

n→+∞lim un =L

(un) n∈N un= 5 + cos(n) n

n→+∞lim un

− 1 ≤ cos(n) ≤ 1 n

⟺ −1 + 5 ≤ 5 + cos(n) ≤ 5 + 1

⟺ 4 ≤ 5 + cos(n) ≤ 6,

n n> 0 4 ≤ ≤

n

5 + cos(n) n

6 n

≤un≤ 4

n

6 n

n→+∞lim 4 = 0

n lim

n→+∞ 6 = 0 n

(un) 0

n→+∞lim un= 0

8 sur 8