Soit A un réel aussi grand que l'on veut

Première S2 Exercices sur le chapitre 18 : E2. 2007 2008

E2 Savoir étudier la divergence avec la définition.

P 108 n ° 71.

u_n = 5 + 4n².

Soit A un réel aussi grand que l'on veut.

Alors ] A ; + ∞ [ un intervalle quelconque.

Recherchons n tel que u_n > A.

u_n > A ⇔ 5 + 4n² > A ⇔ 4n² > A − 5 ⇔ n² >

4

A−5 _{⇔ n >}

4 A−5_. Donc à partir du rang n₀ ( n₀ étant strictement plus grand que

4

A−5 _{) on a u}

n > A.

D'après la définition, cela signifie que la suite ( un ) diverge vers + ∞.

v_n = 1 − n²

Nous allons considérer la suite wn = - vn = n² − 1 Soit A un réel aussi grand que l'on veut.

Alors ] A ; + ∞ [ un intervalle quelconque.

Recherchons n tel que w_n > A.

w_n > A ⇔ n² − 1 > A ⇔ n² > A + 1 ⇔ n > A + 1 .

Donc à partir du rang n0 ( n0 étant strictement plus grand que A + 1 ) on a wn > A.

D'après la définition, cela signifie que la suite ( w_n ) diverge vers + ∞.

Donc cela signifie que la suite ( v_n ) diverge vers - ∞.

Démontrons la divergence des suites suivantes définies par leurs termes.

u_n = -5n + 3

Nous allons considérer la suite w_n = - u_n = 5n − 3 Soit A un réel aussi grand que l'on veut.

Alors ] A ; + ∞ [ un intervalle quelconque.

Recherchons n tel que w_n > A.

w_n > A ⇔ 5n − 3 > A ⇔ 5n > A + 3 ⇔ n >

5 A+3_.

Donc à partir du rang n₀ ( n₀ étant strictement plus grand que 5

A+3 _{) on a wn > A.}

D'après la définition, cela signifie que la suite ( w_n ) diverge vers + ∞.

Donc cela signifie que la suite ( u_n ) diverge vers - ∞.

w_n = 2n³ + 7.

Soit A un réel aussi grand que l'on veut.

Alors ] A ; + ∞ [ un intervalle quelconque.

Recherchons n tel que w_n > A.

w_n > A ⇔ 2n³ + 7 > A ⇔ 2 n³ > A − 7 ⇔ n³ >

2

A−7 _{⇔ n >} 3

2 A−7 _. Donc à partir du rang n₀ ( n₀ étant strictement plus grand que ³

2

A−7 _{) on a w}

n > A.D'après la définition, cela signifie que la suite ( w_n ) diverge vers + ∞.