Première S2 Exercices sur le chapitre 16 : E3. 2007 2008
E3 Savoir étudier les variation d'une suite.
P 104 n ° 23. b. c. d. e.
un = 2n − 3
un+1 − un = 2 ( n + 1 ) − 3 − 2n + 3 un+1 − un = 2n + 2 − 3 − 2n + 3 = 2.
un+1 − un > 0.
Donc la suite u est une suite strictement croissante.
un = 4 n
+3 un+1 − un =
4 1 n
3+
+ − n 4
+3 = 3(nn++125)(−n3n+−415) un+1 − un =
) 4 n )(
5 n (
3+ + − un+1 − un < 0.
Donc la suite u est une suite strictement décroissante.
un = n
n 6+ un+1 − un =
1 n
1 n 6+++ −
n n 6+ =
) 1 n ( n
n
² n 6 n 6
² n n
7 + − +− − − un+1 − un =
) 1 n ( n
6+
− un+1 − un < 0.
Donc la suite u est une suite strictement décroissante.
un = n − 1
un+1 − un = n + 1 − 1 − n + 1 = n + 1 − n un+1 − un = n + 1 − n ×
n 1 n
n 1 n
+ + + + un+1 − un =
n 1 n
n 1 n
− ++ − =
n 1 n
1 + + un+1 − un > 0.
Donc la suite u est une suite strictement croissante.
P 104 n ° 24 c. et d . un = 1 − 2 n+1
Soit la fonction f définie sur ] 0 ; + ∞ [ par f ( x ) = 1 − 2 x+1
Alors f est dérivable sur ] 0 ; + ∞ [ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet ensemble.
Et on a : f ' ( x ) = - 2 × 1 x 2
1 + = -
1 x
1 +
Donc pour tout x de ] 0 ; + ∞ [ f ' ( x ) est négatif.
Donc la fonction f est strictement décroissante.
D'où f ( n + 1 ) < f ( n ) pour tout n ∈ ainsi un+1 < un.
Donc la suite u est une suite strictement décroissante.
un = ( - 1 )n .
un+1 − un = ( - 1 )n+1− ( - 1 )n un+1 − un = ( - 1 )n × ( - 1 ) − ( - 1 )n un+1 − un = ( - 1 )n ( - 1 − 1 ) = - 2 ( - 1 )n un+1 − un est tantôt positive et tantôt négative.
Donc la suite u n'est pas une suite monotone.
P 104 n ° 25 b. et d.
un = 3n + 1
un+1 − un = 3n+1 + 1 − ( 3n + 1 )
un+1 − un = 3n × 3 + 1 − 3n − 1 un+1 − un = 3n × ( 3 − 1 ) = 2 × 3n un+1 − un > 0.
Donc la suite u est une suite strictement croissante.
un = 3n² − 1 n
Soit la fonction f définie sur ] 0 ; + ∞ [ par f ( x ) = 3x² − 1
x
Alors f est dérivable sur ] 0 ; + ∞ [ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet ensemble.
Et on a f ' ( x ) = 6x +
² x1 .
Donc pour tout x de ] 0 ; + ∞ [ f ' ( x ) est positif.
Donc la fonction f est strictement croissante.
D'où f ( n + 1 ) > f ( n ) pour tout n ∈ ainsi un+1 > un.
Donc la suite u est une suite strictement croissante.
