Première S2 Exercices sur le chapitre 23 : E2. 2007 2008
E2 Homothéties planes.
P 278 n ° 18 b. Construction : voir feuille à petits carreaux.
P 278 n ° 19. Soient A, B et C trois points alignés.
a. L'image de A par l'homothétie de centre B et de rapport 2 est le point C se traduit par : ÄBC = 2 ÄBA . b. A a pour image B par l'homothétie de centre C et de rapport - 3 se traduit par : ÄCB = - 3 ÄCA c. A est l'image de B par l'homothétie de centre C et de rapport 1,5 se traduit par : ÄCA = 1,5 ÄCB . p 278 n ° 20.
a. A ' est l'image de A par l'homothétie de centre G et de rapport 1,5.
b. A ' est l'image de A par l'homothétie de centre G et de rapport - 1.
c. A ' est l'image de A par l'homothétie de centre G et de rapport 2 5 . d. A ' est l'image de A par l'homothétie de centre G et de rapport - 1 2 . e. A ' est l'image de A par l'homothétie de centre G et de rapport - 1
3 . p 278 n ° 21.
a. A ' est le barycentre des points pondérés ( A ; 1 ) , ( G ; 2 ) se traduit par ÄAA ' + 2ÄGA ' = Å0 La propriété fondamentale s'écrit : pour tout point M, on a 3ÄMA' = 1 ÄMA + 2 ÄMG
En particulier pour M = G on a ÄGA ' = 1 3 ÄGA
Autrement dit A ' est l'image de A par l'homothétie de centre G et de rapport 1 3 .
b. A ' est le barycentre des points pondérés ( A ; - 1 ) , ( G ; 3 ) se traduit par - ÄAA ' + 3ÄGA ' = Å0 La propriété fondamentale s'écrit : pour tout point M, on a 2ÄMA' = - ÄMA + 3 ÄMG
En particulier pour M = G on a ÄGA ' = - 1 2 ÄGA
Autrement dit A ' est l'image de A par l'homothétie de centre G et de rapport - 1 2 . P 278 n ° 22b.
Soient O, A et B trois points non alignés.
B ' est le point tel que 4 B'O = ÄOB ⇔ 4 ÄOB ' = - ÄOB ⇔ ÄOB ' = - 1 4 ÄOB Autrement dit B ' est l'image de B par l'homothétie de centre O et de rapport - 1
4 P 278 n ° 24.
a. Dans le plan rapporté à un repère, on considère l'homothétie h de centre I ( 7 ; 1 ) et de rapport -4.
Soit m ( x ; y ) un point de ce plan et soit M ' ( x' ; y' ) son image par h.
Alors ÄIM ' = - 4 ÄIM ⇔ x' − 7 = - 4 ( x − 7 ) et y ' − 1 = - 4 ( y − 1 )
⇔ x' = - 4x + 28 + 7 et y' = -4y + 4 + 1 ⇔ x' = - 4x + 35 et y' = -4y + 5.
b. Soit A ( 1 ; 5 ) alors A ' = h ( A ) a pour coordonnées ( - 4 + 35 ; - 20 + 5 ) cad ( 31 ; - 15 ).
c. soit B ' ( 0 ; 3 ) recherchons les coordonnées de B tel que B ' = h ( B ) alors je cherche x et y tels que 0 = - 4 x + 35 et 3 = - 4y + 5 ⇔ x = 35
4 et y = 1 2 . p 283 n ° 62.
Soit g l'application du plan dans lui même qui au point M ( x ; y ) associe le point M ' ( x' ; y' ) tel que x' = 0,5 x + 2
y' = 0,5y − 1
Soit M ( x ; y ). Alors M est un point invariant par g si et seulement si
g ( M ) = M ⇔ x = 0,5x + 2 et y = 0,5 y − 1 ⇔ 2x = x + 4 et 2y = y − 2 ⇔ x = 4 et y = - 2.
Il existe donc un unique point invariant par g je le nomme I ( 4 ; - 2 ).
ÄIM ' ( x' − 4 ; y' + 2 ) donc ÄIM ' ( 0,5x − 2 ; 0,5y + 1 ) ainsi ÄIM ' ( 0,5 ( x − 4 ; y + 2 )) ÄIM ( x − 4 ; y + 2 ).
Donc les vecteurs sont colinéaires et ÄIM ' = 0,5 ÄIM .D'où g est l'homothétie de centre I et de rapport 0,5.
