Première S2 Exercices sur le chapitre 21 : E2. page n ° 1 2007 2008
E2 Savoir déterminer des intersections dans l'espace.
N ° 2 EABCD est une pyramide à base carrée de hauteur [ EA ].
Le point F appartient au segment [ EA ].
Le point G appartient au plan ( ABC ).
Le point H appartient au segment [ EC ].
Déterminer, dans chacun des cas suivants, l'intersection, Si elle existe, de la droite et du plan donné.
A ) La droite ( FG ) et le plan ( ABC ).
G ∈ ( FG ) et G ∈ ( ABC )
Donc G appartient à l'intersection de la droite ( FG ) et du plan ( ABC ).
D'après les positions relatives des droites et plans de l'espace, ( FG ) ∩ ( ABC ) = { G }.
B ) La droite ( DG ) et le plan ( ABC ).
D ∈ ( DG ) et D ∈ ( ABC )
Donc D appartient à l'intersection de la droite ( DG ) et du plan ( ABC ).
G ∈ ( DG ) et G ∈ ( ABC )
Donc G appartient à l'intersection de la droite ( DG ) et du plan ( ABC ).
Donc ( DG ) ∩ ( ABC ) = ( DG ).
C ) La droite ( FH ) et le plan ( ABC ).
F ∈ [ AE ] et H ∈ [ EC ] donc la droite ( FH ) est incluse dans le plan ( AEC ).
Appelons I le point d'intersection des droites ( AC ) et ( FH ) dans le plan ( AEC ).
Alors I ∈ ( FH ) et I ∈ ( ABC ).
Donc ( FH ) ∩ ( ABC ) = { I }.
D ) La droite ( AB ) et le plan ( EDH ).
La droite ( AB ) est incluse dans le plan ( ABC ).
La droite ( CD ) est incluse dans le plan ( ABC ).
La droite ( CD ) est incluse dans le plan ( EDH ).
Donc l'intersection entre la droite ( AB ) est le plan ( EDH ) est celle entre la droite ( AB ) et la droite ( CD ).
Or ces deux droites sont parallèles. Donc l'intersection entre la droite ( AB ) et le plan ( EDH ) est vide.
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N ° 3 A ) ( EAG ) et ( ABC ).
A ∈ ( EAG ) et A ∈ ( ABC ) donc A ∈ ( EAG ) ∩ ( ABC ).
G ∈ ( EAG ) et G ∈ ( ABC ) donc G ∈ ( EAG ) ∩ ( ABC ).
Donc l'intersection des plans ( EAG ) et ( ABC ) est la droite ( AG ).
B ) ( EFH ) et ( EDC ).
E ∈ ( EFH ) et E ∈ ( EDC ). Donc E ∈ ( EFH ) ∩ ( EDC ).
H ∈ ( EFH ) et H ∈ ( EDC ). Donc H ∈ ( EFH ) ∩ ( EDC ).
Or les plans ( EFH ) et ( EDC ) ne sont pas confondus.
Donc l'intersection des plans ( EFH ) et ( EDC ) est la droite ( EH ).
C ) ( EBC ) et ( AFG ).
( AG ) est une droite incluse dans le plan ( ABC ).
( BC ) est une droite incluse dans le plan ( ABC ).
Ces droites ( AG ) et ( BC ) se coupent en un point que l'on appelle J.
J ∈ ( EBC ) et J ∈ ( AFG ) donc J ∈ ( EBC ) ∩ ( AFG ).
E ∈ ( EBC ) et E ∈ ( AFG ) donc E ∈ ( EBC ) ∩ ( AFG ).
Or ces deux plans ( EBC ) et ( AFG ) ne sont pas confondus.
Donc l'intersection des plans ( EBC ) et ( AFG ) est la droite ( EJ ).
D ) ( GHB ) et ( EAC ).
( GB ) est une droite incluse dans le plan ( ABC ).
( AC ) est une droite incluse dans le plan ( ABC ).
Ces deux droites ( GB ) et ( AC ) se coupent en un point que l'on appelle K.
K ∈ ( GHB ) et K ∈ ( EAC ) donc K ∈ ( GHB ) ∩ ( EAC ) H ∈ ( GHB ) et H ∈ ( EAC ) donc H ∈ ( GHB ) ∩ ( EAC ).
Or ces deux plans ( GHB ) et ( EAC ) ne sont pas confondus.
Donc l'intersection des plans ( GHB ) et ( EAC ) est la droite ( HK ).
