La géométrie dans l'espace a été créée pour décrire, représenter et étudier les corps solides ( cubes, pyramides, polyèdres, sphères, cylindres, cônes… ) qui constituent les formes usuelles de notre environnement industriel, architectural et mobilier… Elle a fait l'objet d'études poussées dès le troisième siècle avant Jésus-Christ en Grèce. Ces études culminent avec le beau et difficile résultat des éléments d'Euclide : il n'existe que cinq polyèdres réguliers. ( Polyèdre : mot issu des mots grecs polus, " nombreux " et hedra, base : un polyèdre est un solide de l'espace de dimensions trois dont la frontière est la réunion de faces, ou parties du plan, qui présentent des côtés communs, les arêtes. ) Les 5 polyèdres réguliers sont :
le cube ( les faces sont des carrés ),
le tétraèdre régulier ( ses quatre faces sont des triangles équilatéraux ), l'octaèdre ( ses huit faces sont des triangles équilatéraux ),
l'icosaèdre ( ses vingt faces sont des triangles équilatéraux ), et le dodécaèdre ( ses douze faces sont des pentagones réguliers ).
1 Perspective cavalière.
Dans une représentation en perspective cavalière :
1. Les segments visibles sont dessinés en traits pleins ; les autres sont dessinés en pointillés.
2. Deux droites de l'espace parallèles sont représentées par deux droites parallèles.
3. Des droites concourantes sont représentées par des droites concourantes.
4. Des points alignés sont représentés par des points alignés.
5. Le milieu d'un segment est représenté par le milieu du segment dessiné.
6. Dans un plan de face, une figure est représentée en vraie grandeur.
E1 Des bases de géométrie dans l'espace.
N ° 1
Soit ABCDEFGH un cube d'arête 3 cm.
Marquer un point M sur le segment [ AB ].
Marquer le point I milieu du segment [ BC ].
Que peut on dire des droites ( AD ) et ( FG ) ? Quel est le plan frontal ?
Comment appelle t-on la droite ( AD ) ?
2 Positions relatives de droites et de plans de l'espace.
Règle 1 Dans l'espace :
Deux points distincts A et B définissent une droite et une seule, notée ( AB ).
Trois points distincts A, B et C non alignés définissent un plan et un seul, noté ( ABC ).
Règle 2
Si deux points distincts A et B appartiennent au même plan P, alors tous les points de la droite ( AB ) appartiennent au plan P. On dit que la droite ( AB ) est incluse dans le plan P. On note ( AB ) ⊂ P.
Règle 3
Tous les résultats de la géométrie plane s'appliquent dans n'importe quel plan de l'espace.
Positions relatives de deux plans de l'espace
Soient P et Q deux plans distincts de l'espace.
Il existe deux possibilités et deux seulement : P et Q n'ont aucun point commun.
P et Q se coupent suivant une droite.
Dessins : voir feuille annexe.
Positions relatives d'une droite et d'un plan
Soit P un plan et D une droite de l'espace.
Il existe trois possibilités et trois seulement : D et P n'ont aucun point commun.
D est incluse dans le plan P.
D et P ont un seul point commun.
Positions relatives de deux droites.
Soient D et D ' deux droites de l'espace.
Il existe trois possibilités et trois seulement :
D et D ' n'ont aucun point commun et ne sont pas coplanaires.
D et D ' n'ont aucun point commun et sont coplanaires.
D et D ' ont un seul point commun.
E2 Savoir déterminer des intersections dans l'espace.
N ° 2
EABCD est une pyramide à base carrée de hauteur [ EA ].
Le point F appartient au segment [ EA ].
Le point G appartient au plan ( ABC ).
Le point H appartient au segment [ EC ].
Déterminer, dans chacun des cas suivants, l'intersection,
Si elle existe, de la droite et du plan donné. F
A ) La droite ( FG ) et le plan ( ABC ). H
B ) La droite ( DG ) et le plan ( ABC ).
C ) La droite ( FH ) et le plan ( ABC ).
D ) La droite ( AB ) et le plan ( EDH ).
N ° 3
Même configuration qu'au N ° 1
Déterminer, dans chacun des cas suivants, l'intersection, des deux plans donnés.
A ) ( EAG ) et ( ABC ).
B ) ( EFH ) et ( EDC ).
C ) ( EBC ) et ( AFG ).
D ) ( GHB ) et ( EAC ).
3 Parallélisme dans l'espace.
Théorème 1
Par un point de l'espace, il passe :
Une droite et une seule parallèle à une droite donnée.
Un plan et un seul parallèle à un plan donné.
Théorème 2
Si deux droites sécantes d'un plan P sont respectivement parallèles à deux droites sécantes d'un plan Q, Alors les plans P et Q sont parallèles.
Théorème 3
Si deux plans sont parallèles, alors toute droite incluse dans l'un des plans parallèle est parallèle à l'autre plan.
Si deux droites sont parallèles, alors tout plan qui contient l'une des droites est parallèle à l'autre droite.
Théorème 4
Si deux plans sont parallèles,
alors tout plan qui coupe l'un coupe l'autre et les droites d'intersection sont parallèles.
Théorème du toit.
Si deux droites parallèles D et D ' sont incluses respectivement dans deux plans P et P’ sont sécants selon une droite ∆, alors la droite ∆ d’intersection de ces plans est parallèle à D et à D’.
Autrement dit : si une droite est parallèle à deux plans sécants, alors elle est parallèle à leur intersection.
E3 Savoir prouver un parallélisme.
N ° 4
ABCDEFGH est un cube.
I est le milieu du segment [ FG ]. J est le milieu du segment [ BC ].
Démontrer que la droite ( AJ ) est parallèle au plan ( EFG ).
Démontrer que le plan ( AEI ) est parallèle à la droite ( CG ).
N ° 5
ABCDEFGH est un cube. Et P est un plan.
Soit ( IJ ) la droite d'intersection du plan P et du plan ( AEH ).
Soit ( KL ) la droite d'intersection du plan P et du plan ( BFG ).
Démontrer que les droites ( IJ ) et ( KL ) sont parallèles.
4 Orthogonalité dans l'espace.
Définition 1
On dit que deux droites de l'espace sont orthogonales lorsqu'elles sont parallèles à deux droites perpendiculaires.
( Dans l'espace, deux droites sont perpendiculaires lorsqu'elles sont coplanaires et se coupent en angle droit )
Théorème 6
Si deux droites de l'espace sont orthogonales, alors toute droite parallèle à l'une est orthogonale à l'autre.
Définition 2
On dit qu'une droite D est orthogonale à un plan P lorsqu'elle est orthogonale à n'importe quelle droite incluse dans le plan P.
Théorème 7
Par un point de l'espace, il passe :
Une droite et une seule orthogonale à un plan donné.
Un plan et un seul orthogonal à une droite donnée.
Théorème 8
Une droite D est orthogonale à un plan P si et seulement si la droite D est orthogonale à deux droites sécantes du plan P.
Théorème 9
Si une droite D est orthogonale en A à un plan P,
Alors la droite D est perpendiculaire à toutes les droites du plan passant par A
Théorèmes 10
Si deux droites sont parallèles, alors tout plan orthogonal à l'une des deux droites est orthogonal à l'autre droite.
Si deux droites sont orthogonales à un même plan, alors ces deux droites sont parallèles.
Si deux plans sont orthogonaux à une même droite, alors ces deux plans sont parallèles.
Si deux plans sont parallèles, alors toute droite orthogonale à l'un des plans est orthogonale à l'autre plan.
Dessins : voir feuille annexe.
E4 Savoir prouver une orthogonalité.
N ° 6
ABCDEFGH est un cube.
Recopier et compléter les phrases suivantes : Les droites ( EH ) et ( FG ) sont …
Les droites ( GC ) et ( FB ) sont … Les droites ( FG ) et ( FB ) sont … Les droites ( EH ) et ( GC ) sont … Les droites ( EH ) et ( AD ) sont … Les droites ( AD ) et ( CG ) sont … Les droites ( EA ) et ( BC ) sont … Les droites ( EA ) et ( DC ) sont … La droite ( EA ) est … au plan ( ABC ).
Les droites ( EA ) et ( AC ) sont …
N ° 7 SABCD est une pyramide de hauteur [ SA ] à base carrée.
1 ) Nommer :
a ) une droite perpendiculaire à la droite ( BC ).
b ) une droite orthogonale et non coplanaire à la droite ( BC ).
c ) une droite orthogonale et non coplanaire à la droite ( DB ).
d ) une droite orthogonale et non coplanaire à la droite ( SB ).
2 ) Dans chacun des cas suivants, nommer une droite orthogonale au plan donné : a ) plan ( SAB ).
b ) plan ( ADC ).
c ) plan ( SAD ).
d ) plan ( SAC ).
5 Sections planes.
Rechercher la section d'un tétraèdre ou d'un cube avec un plan P, c'est déterminer les droites d'intersection du plan P avec les faces du tétraèdre ou du cube.
Sections planes d'un cube. ( Théorème admis ).
La section d'un cube par un plan P est :
Un carré lorsque P est parallèle à une face du cube.
Un segment ou un rectangle lorsque P est parallèle à une arête du cube.
Un point, un triangle, un trapèze, un pentagone ou un hexagone dans les autres cas.
Sections planes d'un tétraèdre ( théorème admis ).
La section d'un tétraèdre par un plan P est :
Un point ou un triangle lorsque P est parallèle à une face du tétraèdre.
Un point, un segment, un triangle, ou un quadrilatère dans toutes les autres situations.
Méthode :
On dispose des trois règles suivantes :
A ) Règle A : on a le droit de relier deux points de la même face.
B ) Règle B : on a le droit de créer des points sur les arêtes en prolongeant les segments.
C ) Règle C : deux plans parallèles à une même droite ( d ) et qui se coupent, se coupent suivant une droite parallèle à ( d ).
Vous n'êtes pas obligé d'appliquer l'intégralité de ces règles, ni même de respecter un ordre pour y arriver.
Exemple :
ABCD est un tétraèdre.
M, N et P sont trois points donnés appartenant respectivement aux arêtes [ AC ], [ AD ] et [ BC ].
Les droites ( MN ) et ( CD ) ne sont pas parallèles.
Traçons en rouge la section du tétraèdre par le plan ( MNP ) et justifions cette construction.
E5 Savoir déterminer des sections planes.
N ° 8
ABCDEFGH est un cube. M, N, et P sont des points donnés appartenant respectivement aux arêtes [ AB ], [ EF ], et [ FG ].
a ) Déterminer l'intersection du plan ( MNP ) avec les faces ABFE, EFGH et ABCD.
b ) Tracer, en rouge, la section du cube par le plan ( MNP ).
N ° 9
Dans chaque cas, ABCDEFGH est un cube et M, N et P sont des points des arêtes du cube.
Reproduire la figure et construire en rouge la section du cube par le plan ( MNP ).
Cube 1 du n ° 8 Cube 2 du n ° 9 Cube 3 du n ° 9
Cube 4 du n ° 9 Cube 5 du n ° 9 Tétraèdre du n ° 10
N ° 10
ABCD est un tétraèdre tel que : AB = 6 cm ; AD = 4cm ; AC = 7 cm et ADB = Æ ADC = Æ BDC = 90 °.Æ M, N et P sont les points appartenant respectivement aux côtés [ AB ], [ AD ] et [ BC ] tels que : AM = 4 cm ; AN = 2 cm et BP = 3,5 cm.
Déterminer la section du tétraèdre ABCD par le plan ( MNP ).
N ° 11 ABCD est un tétraèdre.
Les points M, N et P appartiennent respectivement aux arêtes [ AB ], [ AC ] et [ CD ].
Déterminer la section du tétraèdre par le plan ( MNP ).
6 Les vecteurs coplanaires.
Les définitions et les calculs sur les vecteurs dans l'espace sont identiques à ce qui a été fait dans le plan.
Un vecteur est défini par sa direction, son sens et sa longueur.
Somme de deux vecteurs
Relation de Chasles : ÄAB + ÄBC = ÄAC et règle du parallélogramme.
Colinéarité
Les vecteurs Åu et Åv non nuls sont colinéaires s'il existe un réel k tel que Åv = k Åu.
Les points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs ÄAB et ÄAC sont colinéaires.
Quatre points de l'espace sont coplanaires si et seulement si ils appartiennent à un même plan.
Dire que les vecteurs Åu, Åv , Åw de l'espace sont coplanaires signifie qu'ils admettent des représentants dont les origines et les extrémités sont des points coplanaires.
Deux vecteurs sont toujours coplanaires : il existe toujours un plan contenant les points O, A et B.
Si les vecteurs Åu et Åv sont colinéaires, alors quelque soit le vecteur Åw, les vecteurs Åu, Åv , et Åw sont coplanaires.
Caractérisation vectorielle d'un plan de l'espace :
Soient A, B et C trois points non alignés et x et y deux réels quelconques.
Alors le plan ( ABC ) est l'ensemble des points M défini par ÄAM = x ÄAB + y ÄAC .
On dit que ÄAB et ÄAC sont deux vecteurs directeurs du plan ( ABC ).
Conséquence :
Quatre points A, B, C et D de l'espace sont coplanaires s'il existe deux réels a et b tels que ÄAD = a ÄAB + b ÄAC
Soient Åu, Åv et Åw trois vecteurs.
Alors les propriétés ci dessous sont équivalentes : Les vecteurs Åu, Åv et Åw sont coplanaires.
Il existe trois réels x, y et z non nuls tels que : xÅu + y Åv + z Åw = Å0 Il existe deux réels a et b tels que Åw = a Åu + b Åv .
Remarques :
Pour tout vecteurs Åu et Åv de l'espace, les vecteurs Å0 , Åu et Åv sont coplanaires.
Lorsqu'il existe deux réels a et b tels que Åw = a Åu + b Åv
on dit que le vecteur Åw est une combinaison linéaire des deux vecteurs Åu et Åv .
Deux points du plan sont toujours alignés, trois points de l'espace sont toujours coplanaires.
Ainsi la coplanarité s'étudie à partir de quatre points ou de trois vecteurs.
Le barycentre dans l'espace est défini comme dans le plan.
Il a les mêmes propriétés.
L'associativité du barycentre existe aussi dans l'espace.
Exemple : ABCDEFGH est un cube. I est le centre du carré ABCD et J est le centre du carré EFGH.
Les vecteurs ÄAB , ÄFG , et ÄEJ sont ils coplanaires ? Les vecteurs ÄEF , ÄDH, et ÄBC sont ils coplanaires ?
E6 Savoir travailler avec les vecteurs de l'espace.
ABCDEFGH est un cube. I est le centre du carré ABCD et J est le centre du carré EFGH.
Les vecteurs ÄAC , ÄBF , et ÄAG sont ils coplanaires ? Les vecteurs ÄCD , ÄBG , et ÄHB sont ils coplanaires ? Les vecteurs ÄAE , ÄDJ , et ÄIB sont ils coplanaires ? Les vecteurs ÄID , ÄEH , et ÄBF sont ils coplanaires ? P 256 n ° 28 et 29.
