D1990 – Un zeste de calcul [** à la main]
Soit un triangle ABC dont les côtés BC,CA et AB ont pour longueurs a,b,c .Les
perpendiculaires issues de B et de C rencontrent la bissectrice intérieure (L) issue de A aux points P et Q. La parallèle au côté AB passant par P coupe la parallèle au côté AC passant par Q au point R. Soit S le point symétrique de R par rapport à (L). Calculer la longueur du segment AS en fonction de a,b,c.
Solution proposée par Marie-Christine Piquet
Il suffit de démontrer que :
a) la droite support du segment RS coupe le segment BC en son milieu S' b) S e t S' sont confondus . Dans ce cas AS est une médiane du triangle ABC .
par construction , la droite support de RS est parallèle et équidistante des droites support de CT et de BP . En effet les triangles QTR & QRP sont isocèles en R . Alors TR = RP = QR . et en appliquant Thales , on peut dire que la droite support de RS coupe BC en son milieu S' La droite (d") parallèle à AB coupe AC en K . et K est le milieu de AC
Soit H le point d'intersection de RS avec la bissectrice (L) ; alors H est milieu de QP et de RS . Ainsi QSPR est un losange et QS est sur la droite (d") tout comme le segment QS' . Les points S & S' sont donc confondus . Et S est aussi milieu de BC . AS est donc la médiane du triangle ABC , issue de A
Et le théorème d'Apollonius ou théorème de la médiane donne: AB² + AC² = 1/2 x BC² + 2AS² .
Alors :
