La parallèle à la droite [AB] passant parMrencontre (Γ1) en un deuxième pointCet (Γ2) en un deuxième pointD

D1881

Deux cercles (Γ1) et (Γ2) se coupent aux pointsMetN. On trace la tangente com- mune [AB] à ces deux cercles qui est la plus proche du pointMavecAsur (Γ1) etB sur (Γ2). La parallèle à la droite [AB] passant parMrencontre (Γ1) en un deuxième pointCet (Γ2) en un deuxième pointD. Les droites [AC] et [B D] se rencontrent au pointE tandis que la droite [C D] rencontre la droite [AN] au pointP et la droite [B N] au pointQ.

Démontrez dans un ordre quelconque à votre convenance tout ou partie des pro- priétés suivantes :

P1 : E P=EQ P2 : C D=2AB

P3 : La droite [E N] est bissectrice de l’angleC N D P4 : Les pointsA,B,EetNsont cocycliques P5 : Les trianglesNC EetN E Dsont semblables

P6 : La droite [E N] est la symédiane issue deEdans le triangleC E D Solution proposée par Michel ROME

B A

Γ1

Γ2 N

C M D

E

P Q

F

P4 :

En angle de droites, à cause des cocyclicités.

(C A,C M)=(N A,N M), (D M,DB)=(N M,N B) En additionnant

(C A,C M)+(D M,DB)=(N A,N B)

Mais (C M)=(D M), (C A) =(E A) et (DB) =(E B), alors (E A,E B)=(N A,N B) . D’où :N,A,E,Bsont bien cocycliques.

P2 :

Considérons les cercles de centreAetBet passant parM. Ils passent respective- ment parC etD. Ils se recoupent enM⁰ symétrique deM par rapport à la ligne des centres (AB). À cause de l’orthogonalité de (M M⁰) avec (AB) ,M⁰est diamê- tralement opposé àCdonc sur (AC) . De mèmeM⁰est sur (B D). D’oùM⁰=E.

ABapparait comme une ligne des milieux pour la triangleC E D. Ainsi 2AB=C D.

P1 :

(M N) coupe la droite (AB) enFmilieu deAB. CarF A²=F M·F N=F B².

Le théorème de Thalès assure queMest le milieu dePQ.E Mapparait comme la médiatrice dePQ. D’où :E P=EQ.

Relations d’angles :

Comme angles inscrits on a les égalités suivantes : (NC,N A)=(AE,AB)=(N E,N B) (N A,N E)=(B A,B E)=(N B,N D) (E A,E N)=(B A,B N)=(DB,D N)=(M B,M F) Par symétrie par rapport àAB, (M B,M F)= −(E B,E F)

P3 :

. (NC,N E)=(NC,N A)+(N A,N E)=(N E,N B)+(N B,N D)=(N E,N D) démontre queN E est bissectrice deC N D.

P5 :

Les trianglesNC EetN E Dsont semblables comme ayant deux angles respective- ment égaux.

P6 :

E F est médiane deAE B et donc deC E D. On a vu que (E A,E N)= −(E B,E F), ce qui montre queE Nest symédiane deC E Drelative au sommetE.