D614 – Le nombre d’or avec une règle à deux graduations
Solution
Question n°1
A l’aide de la règle on peut tracer une parallèle passant par un point quelconque à une droite donnée (D) ainsi qu’une perpendiculaire à cette même droite passant par un point donné.
Sur la figure de gauche, on a le tracé de la droite MM’ parallèle à la droite (D) passant par M.
Pour ce faire, on porte de part et d’autre du point O les segments de longueur unité OA = 1 et OB = 1. On trace MB et sur la droite MB, on choisit un point P extérieur à MB. On trace PA et PO. MA coupe PO en I. La droite BI coupe PA en M’. MM’ est parallèle à AB. Ceci résulte d’une propriété bien connue des droites céviennes.
Sur la figure de droite, on a toujours les points B,O,A distants d’une longueur unité. A partir de O on trace deux segments OI et OJ du même côté par rapport à la droite (D) tels que OI=OJ=1. Les points A,B,I et J sont évidemment sur le cercle de centre O et de rayon unité.
Les triangles BIA et BJA sont rectangles, avec les angles droits en I et J.Si les points I et J ont été choisis pour ne pas être trop éloignés l’un de l’autre, les droites BI et AJ se coupent en S du même côté que I et J par rapport à (D). Dans le triangle SAB, AI et BJ sont les hauteurs issues de A et de B et leur point d’intersection est l’orthocentre du triangle. Il suffit alors de tracer SH qui est perpendiculaire à (D). Si l’on souhaite une perpendiculaire à (D) passant par un point donné M, grâce à la méthode précédemment décrite il n’y a qu’à tracer une parallèle à SH passant par M.
Une règle avec deux graduations permet donc de tracer toute perpendiculaire à une droite passant par un point donné. Si l’on remarque que 5 est l’hypoténuse d’un triangle rectangle dont les côtés de l’angle valent 1 et 2, la construction d’un segment de longueur égale au nombre d’or devient alors très simple :
On trace AB=2 puis BC =1 perpendiculaire à AB. L’hypoténuse AC vaut 5 . On prolonge AC en D tel que AD = 5 +1. D’un point I quelconque du plan non situé sur AD, on mène une parallèle à AD. De part et d’autre de I, on trace les points J et K tels que IJ = IK = 1. Les droites AJ et DK se coupent en P. PI coupe AD en son milieu M. Le segment AM colorié en rouge vaut le nombre d’or (1 5)/2.
Question n°2
Solution de Joseph André Turk (1ère S – Liban)
On trace un angle droit ( [XX'] de 2 unités. / O milieu / OY= 1 unité. => XYX'=90° ) Triangle rectangle AYB / AY = YB = 1 => AB= 2
Soit Y milieu de [AC] => ABC rectangle isocèle Sur [BC], on prend BZ=1 => AZ = 3
Prenons ABZ, on veut prolonger BZ pour obtenir un triangle AZW rectangle en A.
En posant BW = x et AW = y on obtient : x = 2 et y = 6 On place W tel que BW=2 et ZW=1+2=3
Sur WA on place L et K de part et d'autre de A tel que AL=AK=1 .L est sur [WA]
Alors, on a LZK équilatéral de coté 2.
On prend Q milieu de [LZ] et Q' milieu de [ZK] => ZQQ' et QQ'A équilatéraux de coté 1.
Or d'après le théorème des milieux => (QK) coupe [Q'A] en son milieu M, (Q'L) coupe [QA] en son milieu M'.
M'MA est équilatéral de coté 0.5 unité.
Question n°3
D'après la première question, on peut tracer sur une même droite deux segments ayant un sommet commun et de longueurs respectives 1 et (1 5)/2. Comme l'instrument permet de tracer des parallèles à une droite donnée passant par des points donnés, on est donc en mesure de transférer le rapport (1 5)/2 sur n'importe quelle droite et notamment sur trois droites portant un triangle équilatéral de côté 1.
