D 1990 – Un zeste de calcul
Soit un triangle ABC dont les côtés BC, CA et AB ont pour longueurs a, b, c. Les points P et Q sont les projections orthogonales de B et de C sur la bissectrice intérieure (L) de l’angle en A. La parallèle au côté AB passant par P coupe la parallèle au côté AC passant par Q au point R. Soit S le point symétrique de R par rapport à (L).
Calculer la longueur du segment AS en fonction de a, b, c.
Proposition
Par construction : (L) bissectrice de  = angle BAC du triangle (BAC) BP perpendiculaire à (L), coupe le prolongement d’AC en B1 CQ perpendiculaire à (L), coupe le côté AB en C1
(L) perpendiculaire à BB1 en P AP hauteur dans le triangle (BAB1) (L) perpendiculaire à CC1 en Q AQ hauteur dans le triangle (CAC1)
(L) bissectrice et hauteur du triangle (BAB1) triangle (BAB1) isocèle P milieu de BB1 ; AB = AB1 = c ; (L) bissectrice et hauteur du triangle (CAC1) triangle (CAC1) isocèle Q milieu de CC1 ; AC = AC1 = b
Par construction :
La droite PR, parallèle au côté AB du triangle BAB1, coupe AB1 en P1 P1 milieu de AB1 ; AP1 = P1B1 = c/2 ; CB1 = c-b La droite QR parallèle au côté AC du triangle CAC1, coupe AC1 en Q1 Q1 milieu de AC1 ; AQ1 = Q1C1 = b/2 ; BC1 = c-b Nota :
PP1 médiane issue de P dans le triangle rectangle (APB1) PP1 = AP1 = P1B1 = c/2 QQ1 médiane issue de Q dans le triangle rectangle (AQC1) QQ1 = AQ1 = Q1C1 = b/2
Par construction : le quadrilatère [AP1RQ1] a ses côtés opposés parallèles 2 à 2 [AP1RQ1] est un parallélogramme
les côtés opposés sont égaux et parallèles 2 à 2 AP1 = RQ1 = c/2 ; AQ1 = RP1 = b/2
QR = RQ1-QQ1 = (c-b)/2 ; PR = PP1-RP1 = (c-b)/2 QR = PR
Par construction : S symétrique de R par rapport à (L) et S n’est pas sur BC a priori ; (L) perpendiculaire à SR en K ; KS = KR
triangles (SAR), (SQR), (SPR) isocèles et SR parallèle à CC1 et à BB1
AS = AR ; QS = QR ; PS = PR
On obtient : QR = QS = PS = PR = (c-b)/2 le quadrilatère [QRPS] ayant 4 côtés égaux est un losange
les côtés opposés sont parallèles 2 à 2 QS et PR parallèles QS et AB parallèles QS et BC1 parallèles
Si dans le triangle (C1CB), on mène une parallèle à BC1 issue de Q (milieu de CC1), elle coupe le côté BC en son milieu S1 (théorème de Thalès) : QS1 = BC1/2 = (c-b)/2 ; on a montré QS parallèle à BC1 et QS =(c-b)/2 = BC1/2 QS = QS1 et QS parallèle à QS1 S = S1 milieu de BC
AS est la médiane du triangle ABC issue de A Propriété métrique de la médiane AS :
Équation vectorielle du côté AC dans le triangle (ABC) : AC = (AB+BC)
équation scalaire : AC² = AB²+2 AB.BC+BC² = c²+a²-2 BA.BC = a²+c²-2ac.cosB ac.cosB = (a²+c²-b²)/2 (angle B < П/2) Équation vectorielle de la médiane : AS = AB+BC/2
équation scalaire : AS² = AB²+AB.BC+BC²/4 = c²+a²/4-ac.cosB = c²+a²/4-(a²+c²-b²)/2 = (b²+c²)/2-a²/4 = 1/2 (a²+b²+c²) – (3/4) a²
