Ch 8 : Produit scalaire - Orthogonalité

(1)

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Objectif n° 1 : Produit scalaire de deux vecteurs

Exercice 1 :

Baptiste débute comme pilote (musher) de traîneau. Il s’entraîne sur une trajectoire rectiligne d’un point A vers un point B distants de 100 m.

Il exerce successivement différentes forces sur le traîneau ( ^F1, ^F2, ^F3 et ^F4 ) et on s’intéresse à leur influence sur son déplacement.

1. Parmi les forces à représentées ci-contre, quelles sont celles qui sont favorables au déplacement du traîneau ? Celles qui s’y opposent ? Celles qui semblent ne pas avoir d’effet ?

2. Parmi les deux forces ^F1 et ^F2, on va déterminer laquelle est la plus favorable au déplacement.

En physique, on appelle travail d’une force ^F lors d’un déplacement d’un point A vers un point B le nombre W égal à AB  F  cos θ

W représente une énergie et s’exprime en joules, F représente l’intensité de la force et s’exprime en newtons, et AB s’exprime en mètres. θ désigne l'angle entre les vecteurs ^AB et ^F .

Sachant que l'intensité de la force ^F1 est de 200 newtons et celle de la force ^F2 est de 400 newtons, calculer le travail de ces deux forces ( arrondi au joule près ). On rappelle que les points A et B sont distants de 100 m.

D'un point de vue mathématique, le travail d’une force au cours d’un déplacement d’un point A à un point B est appelé le produit scalaire des vecteurs ^AB et ^F que l'on note ^AB .^F ; on en déduit la définition suivante :

Soient ^u et ^v deux vecteurs non nuls et A, B et C trois points tels que ^u =^AB et ^v = ^AC .

Nommons θ la mesure algébrique de l'angle BAC.

On appelle produit scalaire des vecteurs ^u et ^v le réel noté ^u .^v défini par : ^u .^v = AB  AC  cos θ ou encore

u .^v = u  v cos⁽

u

s'appelle la norme , c'est-à-dire la " longueur ", du vecteur ^u )

Définition 1

(2)

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Exemple: dans la figure ci-dessus ^u .^v = AB  AC  cos θ = 8  3  cos (

3 ) = 8  3  1 2 = 12.

Remarques :

1. Dans la définition ci-dessus, on suppose que les vecteurs ^u et ^v ne sont pas nuls. Par convention, si l'un des deux vecteurs est nul, on pose que le produit scalaire est nul. On a donc ^u .^0 = 0 et ^0 .^v = 0.

2. Le produit scalaire ^u .^u se note ^u² et on a ^u² =

2

u

 cos 0 . Donc ^u² =

2

u

Exercice 2 :

Dans la figure ci-contre, ABCD est un rectangle tel que AB = 4 et AD = 2.

AED est un triangle équilatéral situé à l'intérieur de ABCD.

Calculer les produits scalaires suivants :

1. ^AE .^AD 2. ^AB .^DA 3. ^DC .^AE 4. ^DE .^BC Exercice 3 :

Soit ABCD un carré de centre O et de 4 cm de côté.

1. Démontrer que BD = 4 2.

2. Dans chacun des cas suivants, représenter les deux vecteurs et calculer chacun des produits scalaires.

AB .^AC ^AB .^AD ^AC .^AO ^OC .^OD ^OC .^OA ^DA .^OB

On admet les propriétés suivantes :

u , ^v , ^w désignent trois vecteurs quelconques, k et k ' désignent des réels quelconques.

* ^u .^v = ^v .^u On dit que le produit scalaire est symétrique

* ( k × ^u ) . ( k ' × ^v ) = k k ' × ^u .^v

* ^u . ( ^v + ^w ) = ^u .^v + ^u .^w

* ( ^v + ^w ) . ^u = ^v .^u + ^w.^u

Ces trois résultats se résument en disant que le produit scalaire est linéaire Propriétés 2

(3)

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Exercice 4 :

Soient ^u , ^v et ^w trois vecteurs tels que ^u .^v = 5 , ^u .^w = – 3 , ^v .^w = – 2 ,

u  1

et

v  7

. Calculer chacun des produits scalaires ci-dessous :

1. ^w.^u 2. 2^u .3^w 3. ^v ² 4. ^u .( ^v + ^w ) 5. ( 2^u – 3^v ).^w 6. ( 3^u +^v ).( 5^v – 2^u ) 7. ( ^u +^v )²

Exercice 5 :

Considérons le rectangle ABCD ci-contre dans lequel AB = 6 et AD = 4.

On note I le milieu de [AB] et J le milieu de [BC].

1. On se propose de calculer le produit scalaire ^DI .^DJ a. Décomposer en utilisant la relation de Chasles

DI .^DJ = ( D… + ^ ^A .. ).( …C + ^ ^…. ).

b. En déduire la valeur du produit scalaire ^DI .^DJ . 2. Calculer la longueur DI.

3. On donne DJ = 40. Déterminer la valeur arrondie au degré de l'angle IDJ

Exercice 6 :

Considérons le triangle ABC ci-contre; H est le pied de la hauteur issue de C.

1. Exprimer le produit scalaire ^AB .^AC en fonction de cos .

2. a. En utilisant la relation de Chasles, démontrer que : ^AB .^AC = ^AB .^AH b. En déduire la valeur de ^AB .^AC

3. A l'aide des résultats précédents, déterminer la valeur exacte de cos  et en déduire la valeur arrondie au degré près de .

(4)

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Objectif n° 2 : Vecteurs orthogonaux

Exercice 7 :

Baptiste débute comme pilote (musher) de traîneau. Il s’entraîne sur une trajectoire rectiligne d’un

La définition ci-dessus permet d'énoncer la propriété ci-contre :

Exercice 7 :

On considère un carré ABCD de côté c.

On nomme I et J les milieux respectifs de [AD] et [BC].

1. Exprimer en fonction de c chacun des produits scalaires ^AD .^AI et ^DJ .^BA .

2. En utilisant la relation de Chasles et la linéarité du produit scalaire, démontrer que ^AJ .^BI = 0.

3. Que peut-on en déduire pour les vecteurs ^AJ et ^BI ? pour les droites (AJ) et (BI) ? Exercice 8 :

Considérons le triangle ABC ci-contre dans lequel H est le pied de la hauteur issue de A.

A l'aide des données de la figure, calculer chacun des produits scalaires suivants : 1. ^BA .^BC 2. ^AH .^AB 3. ^AB .^AC

Exercice 9 :

Dans la figure ci-contre, ABC est un triangle équilatéral de côté 6, ABD est un triangle isocèle en D avec AD = 3 3 et O est le milieu du segment [AB].

Calculer chacun des produits scalaires suivants :

1. ^AB .^AC 2. ^CO .^BD 3. ^OA .^BD 4. ^CA .^BD

Exercice 10 :

Considérons le pavé droit COAVENIR ci-dessous dans lequel : CO = 5, CV = 3 et CE = 4.

1. Démontrer que ^EO .^NI = 0. Que peut-on en déduire pour les vecteurs ^EO et ^NI ? 2. Calculer ^VI .^RA

3. Calculer ^CN .^RO

Soient ^u et ^v deux vecteurs non nuls et A, B et C trois points tels que

u =^AB et ^v = ^AC .

Nommons θ la mesure algébrique de l'angle BAC.

Si θ = 

2 ou si θ = – 

2 alors on dit que les vecteurs ^u et ^v sont orthogonaux et on note ^u ⊥^v

Définition 3

2 vecteurs non nuls ^u et ^v sont orthogonaux si et seulement si ^u .^v = 0 Propriété fondamentale 4

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Objectif n° 3 : Produit scalaire, orthogonalité et repères

Exercice 7 :

Baptiste débute comme pilote (musher) de traîneau. Il s’entraîne sur une trajectoire rectiligne d’un

Exercice 11 :

Considérons le pavé droit COAVENIR ci-contre dans lequel : CO = 5, CV = 3 et CE = 4.

Parmi les repères suivants, indiquer ceux qui sont ( ne sont pas ) orthogonaux, orthonormés en justifiant : 1. ( O ; ^OV , ^OC , ON ) ^ 2. ( E ; ^EN , ^ER , ^EC )

3. ( V ; 1 5

VA , 1 3

VC , 1 4

VR ) 4. ( I ; 1 2

IA , 1 3

IN , 1 5

IR )

Exercice 12 :

Dans un repère orthonormé de l'espace on donne : ^u

 

 

 

 

2 1 – 5

, ^v

 

 

 

 

3 4 2

et ^w

 

 

 

 

1 – 2

3

1. Les vecteurs ^u et ^v sont-ils orthogonaux ? 2. Les vecteurs ^v et ^w sont-ils orthogonaux ? 3. Calculer

u

Remarque : la question 3 de l'exercice précédent met en évidence le résultat suivant :

Dans un repère orthonormé, si ^u

 

 

 

 

x y z

alors

u  x ²  y ²  z ²

Soit ( O ; ^i , ^j , ^k ) un repère de l'espace.

* Si les vecteurs ^i , ^j et ^k sont deux à deux orthogonaux ( c'est-à-dire si ^i .^j =^i .^k = ^j .^k = 0 ), alors on dit que le repère ( O ; ^i , ^j , ^k ) est orthogonal .

* Si, de plus, la norme des vecteurs ^i , ^j et ^k est égale à 1 ( c'est-à-dire si

i  j  k  1

), alors on dit que le repère ( O ; ^i , ^j , ^k ) est orthonormé ( ou orthonormal ) .

Définition 5

Soit ( O ; ^i , ^j , ^k ) un repère orthonormé de l'espace.

On considère les vecteurs ^u et ^v de coordonnées ^u

 

 

 

 

x y z

et ^v

 

 

 

 

x' y' z'

et les points A et B de coordonnées A ( xA ; yA ; zA) et B ( xB ; yB ; zB). Alors : 1.



u . 

v = x x ' + y y ' + z z '

2.

^u et

v sont orthogonaux si et seulement si

x x ' + y y ' + z z ' = 0

3.

AB = ( x

B

– x

A

)² + ( y

B

– y

A

)² + ( z

B

– z

A

)²

Propriété 6

(6)

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Exercice 13 :

Considérons le pavé droit ABCDEFGH ci-contre dans lequel AB = 4, AE = 3 et AD = 12.

On nomme L le milieu de [AG].

On définit les vecteurs ^i = 1 4

AB , ^j = 1 12

AD et ^k = 1 3

AE . 1. Justifier que le repère ( A, ^i , ^j , ^k ) est orthonormé.

2. Préciser les coordonnées des points A, B, C et G dans ce repère.

3. En déduire les coordonnées du point L, puis celles des vecteurs ^LB et ^LC . 4. L'angle BLC est-il droit ?

Exercice 14 :

La molécule de méthane CH4 est constitué de 4 atomes d'hydrogène et d'un atome de carbone. Elle peut être modélisée comme l'indique la figure ci-contre : les atomes d'hydrogène peuvent être positionnés sur les sommets A, C, F et H d'un cube ABCDEFGH; l'atome de carbone est alors positionné au centre O de ce cube.

On se place dans le repère orthonormé ( A; ^AB ,^AD ,^AE ).

1. Préciser les coordonnées des points A, H et O.

2. Calculer le produit scalaire ^OA .^OH.

3. Calculer les longueurs OA et OH.

4. En déduire la mesure arrondie au degré de l'angle AOH.

(7)

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Objectif n° 4 : Orthogonalité dans l'espace

Attention : ne pas confondre, dans l'espace, " droites perpendiculaires " et " droites orthogonales" :

* si les deux droites ( d ) et ( d ’ ) sont orthogonales mais ne sont pas coplanaires, alors elles n'ont pas de points d'intersection;

elles ne sont donc pas perpendiculaires.

* si les deux droites ( d ) et ( d ’ ) sont orthogonales ET sécantes, alors on peut dire qu'elles sont perpendiculaires.

Remarque : pour prouver qu'une droite est perpendiculaire à un plan, il suffit de prouver que cette droite est orthogonale à deux droites sécantes du plan.

Exercice 15 :

On considère le cube ABCD ci-contre.

1. Citer plusieurs couples de droites orthogonales ( et non perpendiculaires ) 2. Citer plusieurs couples de droites perpendiculaires.

3. Justifier que la droite (EC) est orthogonale à la droite (BG).

Exercice 16 :

Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère les points A ( 2 ; – 3 ; 5 ) , B ( 1 ; 0 ; 7 ) et C ( – 4 ; 1 ; 3 ).

1. Démontrer que les points A, B et C définissent un plan.

2. Démontrer que le vecteur ^n

 

 

 

 

1 1 – 1

est normal au plan (ABC).

Soient ( d ) et ( d ’ ) deux droites de vecteurs directeurs ^u et ^v .

Si les deux vecteurs ^u et ^v sont orthogonaux, alors on dit que les droites ( d ) et ( d ’ ) sont orthogonales.

Définition 7

Une droite ( d ) et un plan (

P

) sont perpendiculaires lorsque ( d ) est orthogonale à toutes les droites de (

P

⁾

Définition 8

Soit (

P

) un plan et soit ^n un vecteur non nul. Soient A et B deux points tels que ^AB = ^n Si la droite (AB) est orthogonale au plan (

P

), alors on dit que

le vecteur ^n est un vecteur normal au plan (

P

).

Définition 9

Pour qu'un vecteur ^n soit normal à un plan (

P

), il suffit que ^n soit orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de (

P

).

Propriété 10

(8)

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Exercice 17 :

On se place dans l'espace. Pour chacune des propositions suivantes, répondre par Vrai ou Faux ( V ou F ) N'hésitez pas à faire des figures à main levée, aidez vous avec des stylos, des feuilles ….

Proposition V ou F

1 Soient (d) et (d ') deux droites de vecteurs directeurs respectifs ^u et u '. ^ Si ^u et u ' sont orthogonaux, alors (d) et (d ') sont perpendiculaires. ^

2 ^{Soient (}

P

^{) et (}

P

' ) deux plans de vecteurs normaux respectifs ^n et n '. ^ Si ^n et n ' sont orthogonaux, alors (^

P

) et (

P

' ) sont perpendiculaires.

3 Si deux droites sont orthogonales à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles.

4 Si deux droites sont parallèles, alors toute droite orthogonale à l’une est orthogonale à l’autre.

5 Si ^n est un vecteur non nul, alors il existe un unique plan de vecteur normal ^n . 6 Si deux plans sont perpendiculaires à une même droite alors ils sont parallèles entre eux.

7 Si deux droites sont parallèles à un même plan alors elles sont parallèles entre elles.

8 Si une droite est perpendiculaire à un plan alors elle est orthogonale à n’importe quelle droite de ce plan.

9 Si une droite est orthogonale à deux droites strictement parallèles d’un plan alors elle est perpendiculaire à ce plan.

10 Si deux droites sont perpendiculaires à un même plan, alors elles sont parallèles entre elles.

11 Si deux plans sont perpendiculaires, alors toute droite de l’un est orthogonale à toute droite de l’autre.

12 L’ensemble des points équidistants de deux points distincts est une droite.

13

Soit (

P

) un plan de vecteur normal ^n .

Si n’ est un vecteur non nul colinéaire à ^ ^n , alors ^n’ est normal au plan (

P

^{) .}

14 Si A est un point et si ^n est un vecteur non nul, alors il existe un unique plan passant par A et de vecteur normal ^n .

15

Soient (

P

^{) et (}

P

' ) deux plans de vecteurs normaux respectifs ^n et n '. ^ Si ^n et n ' sont colinéaires, alors (^

P

) et (

P

' ) sont parallèles.

16

Soit (d) une droite de vecteur directeur ^u et soit (

P

) un plan de vecteur normal ^n . Si ^u et ^n sont colinéaires, alors la droite (d) est parallèle au plan (

P

^{) .}

17

P

) un plan de vecteur normal ^n . Si ^u et ^n sont colinéaires, alors la droite (d) est perpendiculaire au plan (

P

^{) .}

18

P

) un plan de vecteur normal ^n . Si ^u et ^n sont orthogonaux, alors la droite (d) est parallèle au plan (

P

^{) .}

19

P

) un plan de vecteur normal ^n . Si ^u et ^n sont orthogonaux, alors la droite (d) est perpendiculaire au plan (

P

^{) .}

(9)

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L'exercice précédent illustre un certain nombre de propriétés dont les plus importantes sont données ci-dessous. Ces propriétés se

retiennent facilement de manière intuitive ( n'hésitez pas à faire des figures à main levée pour les retrouver ).

Exercice 18 :

Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère les droites (d) et (d ' ) de représentations paramétriques : Droite (d) :

 



x = 1 + 3 k y = 2k z = 1 + k

k ∈ ℝ Droite (d ' ) :



 

x = 2 + k ' y = 1  2k ' z = 1 + k’

k ' ∈ ℝ

1. Déterminer les coordonnées d'un vecteur directeur ^u de la droite (d) et d'un vecteur directeur u ' de la droite (d ' ). ^ 2. Démontrer que les droites (d) et (d ' ) sont orthogonales.

3. Les droites (d) et (d ' ) sont-elles perpendiculaires ? Justifier.

Dans tout ce qui suit : (d) et (d ’) sont deux droites de vecteurs directeurs respectif ^u et ^v , (

P

^{) et (}

P '

) sont deux plans de vecteurs normaux respectifs ^n et ^n'.

u et ^v orthogonaux

⇔ (d) et (d ’) orthogonales

u et ^n orthogonaux

⇔ (d) et (

P

) parallèles.

u et ^n colinéaires

⇔ (d) et (

P

) perpendiculaires.

n et n' colinéaires ^

⇔ (

P

^{) et (}

P '

) parallèles

n et ^n' orthogonaux

⇔ (

P

^{) et (}

P '

) perpendiculaires. Dans l'espace, l'ensemble des points M équidistants de deux points A et B est un plan.

Ce plan se nomme le plan médiateur du segment [AB]; il passe par le milieu de [AB] et il est perpendiculaire à la droite (AB) ( le vecteur ^AB est normal à ce plan )

Propriétés 11

(10)

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Objectif n° 5 : Projeté orthogonal d'un point sur une droite, sur un plan – Distance d'un point à une droite, à un plan.

Exercice 19 :

Considérons le prisme droit ABCDEF ci-contre qui a pour bases les triangles ABC et DEF rectangles respectivement en B et en E.

On nomme I, J et K les milieux respectifs de [EB], [FC] et [DA].

Compléter :

Exercice 19 :

Considérons le prisme droit ABCDEF ci-contre qui a pour bases les triangles ABC et DEF rectangles respectivement en B et en E.

Le projeté orthogonal de …. sur …. est …

K le plan (ABC)

C le plan (DEF)

A la droite (BC)

J la droite (DA)

F le plan (DAB)

la droite (CF) J

K I

la droite (EB) I Soit A un point et soit (d) une droite de l'espace.

On appelle projeté orthogonal du point A sur la droite (d), le point H situé à l'intersection de la droite (d) et du plan passant par A et perpendiculaire à (d).

Soit A un point et soit (

P

) un plan de l'espace.

On appelle projeté orthogonal du point A sur le plan (

P

), le point H situé à l'intersection du plan (

P

) et de la droite passant par A et perpendiculaire à (

P

^{) .}

Définitions 12

Soit A un point et soit (d) une droite de l'espace.

On appelle distance du point A à la droite (d) la plus petite des longueurs AM, M étant un point de (d).

Si on nomme H le projeté orthogonal de A sur la droite (d), alors la distance du point A à la droite (d) est la longueur AH.

Soit A un point et soit (

P

) un plan de l'espace.

On appelle distance du point A au plan (

P

) la plus petite des longueurs AM, M étant un point de (

P

^{) .}

Si on nomme H le projeté orthogonal de A sur le plan (

P

) alors la distance du point A au plan (

P

) est la longueur AH.

Définitions – Propriétés 13

(11)

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Exercice 20 :

Dans un repère orthonormé de l'espace, considérons les points A ( 2 ; 3 ; 3 ) , B ( – 1 ; 17 ; – 17 ) et le vecteur ^n

 

 

 

 

2 3 – 4

.

On nomme (

P

) le plan passant par A et de vecteur normal ^n . 1. Démontrer que le point H ( – 9 ; 5 ; – 1 ) appartient à (

P

^).

2. Démontrer que H est le projeté orthogonal du point B sur le plan (

P

^).

3. En déduire la distance du point B au plan (

P

^).

Exercice 21 :

On considère le cube ABCDEFGH ci-contre dans lequel I, J et K sont les milieux respectifs de [AB], [EH] et [BC].

1. Préciser les coordonnées des points I, J et K dans le repère ( A; ^AB ,^AD ,^AE ).

2. Démontrer que le triangle IJK est rectangle en I.

3. Calculer l'aire du triangle IJK.

4. On admet que le point M ( 1 2 ; 1

2 ; 1

2 ) est le projeté orthogonal de F sur le plan (IJK).

En déduire la distance du point F au plan (IJK).

5. Calculer le volume du tétraèdre IJKF.

On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par la formule V = 1

3

B

^{× h où}

B

est l'aire d'une base du tétraèdre et h la hauteur correspondante.

(12)

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Objectif n° 6 : Equation cartésienne d'un plan

Exercice 22 dans un repère orthonormal de l'espace, on considère le point A ( 1 ; 2 ;  2 ) et le vecteur  n

 

 

 

 

2

 1 1

.

Appelons (

P

) le plan passant par A et de vecteur normal  n . Soit M ( x ; y ; z ) un point quelconque de l'espace.

M appartient à (

P

) si et seulement si les vecteurs ^AM et 

n sont orthogonaux c'est-à-dire : M



(

P

)

⇔

^AM .

n = 0

1. Traduire cette égalité à l'aide de x, y et z.

L'équation obtenue s'appelle une équation cartésienne de (

P)

2. Le point B ( 2 ;  5 ; 1 ) appartient il à (

P

) ? Justifier.

Cet exercice met en évidence la propriété ci-contre :

Exercice 23 on se place dans un repère orthonormal de l'espace.

Déterminer une équation cartésienne des plans (

P

1) et (

P

2) ci-dessous :

(

P

1) passant par A (  1 ; 0 ; 1 ) de vecteur normal  n

 

 

 

 

 3 1 2

. (

P

2) plan médiateur de [CD] avec C (  1 ; 3 ; 1 ) et D ( 0 ; 5 ;  3 ).

On admet la réciproque de la propriété précédente :

Remarque : si l'espace est muni d'un repère ( O; ^i ,^j , ^k ).

* le plan ( O;

 j ,



k ) a pour équation x = 0.

Tout plan parallèle au plan ( O; ^j , ^k ) a une équation de la forme : x = a ( a ∈ ℝ )

* le plan ( O;

 i ,



k ) a pour équation y = 0.

Tout plan parallèle au plan ( O; ^i , ^k ) a une équation de la forme : y = b ( b ∈ ℝ)

* le plan ( O;

 i ,



j ) a pour équation z = 0.

Tout plan parallèle au plan ( O; ^i , ^j ) a une équation de la forme : z = c ( c ∈ ℝ )

Dans un repère orthonormal, tout plan de vecteur normal  n

 

 

 

 

a b c a une équation cartésienne de la forme ax + by + cz + d = 0

Propriété 14

Dans un repère orthonormal, l'ensemble des points M ( x ; y ; z ) vérifiant ax + by + cz + d = 0 ( avec (a;b;c) ≠ (0;0;0) ) est un plan de vecteur normal 

n

 

 

 

 

a b c

Propriété 15

(13)

--- Document disponible sur :

vh-dellac.webnode.fr

Terminale

Ch 8 : Produit scalaire - Orthogonalité

Page 13/13

Exercice 24 dans un repère orthonormal de l'espace, on considère :

Le plan (

P

1) d'équation 2x  y + z = 1 . Le plan (

P

2) d'équation 3x  2y + z + 5 = 0 . 1. Déterminer les coordonnées d'un vecteur 

n1 normal de (

P

1) . Le vecteur  m1

 

 

 

 

4

 2 3

est-il normal à (

P

1) ? Justifier.

2. Déterminer les coordonnées d'un vecteur 

n2 normal de (

P

2) . Le vecteur  m2

 

 

 

 

 9 6

 3

est-il normal à (

P

2) ? Justifier.

3. Les plans (

P

1) et (

P

2) sont-ils parallèles ? Justifier.

4. Les plans (

P

1) et (

P

2) sont-ils perpendiculaires ? Justifier.

5. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (d) passant par A ( 1 ; 2 ; 3 ) et perpendiculaire au plan (

P

1).

6. Déterminer une équation cartésienne du plan (

P

3) passant par A ( 1 ; 2 ; 3 ) et parallèle au plan (

P

1).

Exercice 25 dans un repère orthonormal de l'espace, on considère :

* les points A ( 1 ; 2 ;  1 ) ; B ( 3 ;  1 ; 0 ) et C ( 2 ; 1 ; 4 ),

* le plan (

P

) d'équation cartésienne 4x  6y + 2z + 6 = 0 ,

* le plan (

P '

) passant par C et perpendiculaire à la droite (AB).

1. Donner une représentation paramétrique de la droite (BC).

2. Déterminer une équation cartésienne de (

P '

^{) .}

3. Les plans (

P

) et (

P '

) sont-ils parallèles ? Justifier.

4. a. Démontrer que la droite (BC) et le plan (

P

) sont sécants.

b. Déterminer les coordonnées du point I d'intersection de la droite (BC) et du plan (

P

^{) .}

Exercice 26

Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère les points : A ( 5 ;  5 ; 2 ) ; B (  1 ; 1 ; 0 ) ; C ( 0 ; 1 ; 2 ) et D ( 6 ; 6 ;  1 ).

1. Déterminer la nature du triangle BCD et calculer son aire.

2. a. Montrer que le vecteur  n

 

 

 

 

 2 3 1

est un vecteur normal au plan (BCD).

b. Déterminer une équation cartésienne du plan (BCD)

3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (d) orthogonale au plan (BCD) et passant par le point A.

4. Déterminer les coordonnées du point H, intersection de la droite (d) et du plan (BCD) 5. Déterminer le volume du tétraèdre ABCD.

On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par la formule V = 1

3

B

^{× h où}

B

est l'aire d'une base du tétraèdre et h la hauteur correspondante.

6. On admet que AB = 76 et que AC = 61. Déterminer une valeur approchée au dixième de degré de l'angle _BAC